Ejercicios: Técnicas de recuento

Una plataforma de streaming permite personalizar el perfil de usuario eligiendo un avatar entre 4 animales distintos (león, panda, gato y lobo) y un color de fondo entre 3 opciones (azul, verde y naranja).

1. a) Describe el espacio muestral $E$ de las posibles combinaciones de perfil.
2. b) ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? Utiliza el principio multiplicativo para justificarlo.

En el menú de la cafetería de tu instituto puedes elegir un primer plato entre ensalada, pasta o arroz; un segundo entre pollo o pescado; y un postre entre fruta o yogur.

1. a) Representa mediante un diagrama de árbol todas las opciones posibles de menú completo.
2. b) Si eliges un menú al azar, ¿cuál es la probabilidad de que incluya "pasta" de primero?

Un candado de combinación para una taquilla tiene un código de 3 cifras. Cada cifra puede ser un número del $1$ al $5$.

1. a) ¿Cuántas combinaciones diferentes se pueden crear si los números se pueden repetir?
2. b) ¿Cuántas combinaciones hay si los tres números deben ser distintos?

En una clase de 1º de Bachillerato hay 30 alumnos. Se sabe que 18 de ellos han aprobado el último examen de Matemáticas y 12 han aprobado el de Inglés. Si hay 5 alumnos que han aprobado ambas asignaturas:

1. a) Calcula la probabilidad de que, al elegir un alumno al azar, este haya aprobado Matemáticas o Inglés.
2. b) Calcula la probabilidad de que no haya aprobado ninguna de las dos asignaturas.

Cinco amigos (Ana, Beto, Clara, David y Elena) van al cine y se sientan en una fila de cinco butacas consecutivas.

1. a) ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse en la fila?
2. b) Si deciden que Ana y Beto deben sentarse siempre en los dos extremos de la fila, ¿cuántas disposiciones diferentes son posibles ahora?

Se extrae una bola de una urna que contiene 10 bolas numeradas del $1$ al $10$. Consideramos los siguientes sucesos:

$A = \text{"Obtener un número primo"}$

$B = \text{"Obtener un múltiplo de 3"}$

1. a) Escribe los elementos que forman los sucesos $A \cup B$ y $A \cap B$.
2. b) Calcula las probabilidades $P(A)$, $P(B)$ y $P(A \cup B)$ aplicando la Regla de Laplace.

Un grupo de música tiene preparadas 10 canciones para su nuevo álbum, pero la discográfica les dice que solo pueden incluir 4 de ellas.

1. a) ¿Cuántas selecciones diferentes de 4 canciones pueden hacer si no importa el orden en el que se elijan?
2. b) ¿Cómo se llaman este tipo de agrupaciones en combinatoria? Justifica tu respuesta.

En un torneo local de ajedrez participan 8 jugadores. Se van a repartir tres trofeos diferentes para el primer, segundo y tercer clasificado.

1. a) ¿De cuántas formas distintas pueden repartirse los tres premios?
2. b) Si el campeón del año pasado vuelve a participar y estamos seguros de que quedará entre los tres primeros, ¿cuántas clasificaciones de podio son posibles ahora?

Un grupo de 12 estudiantes de 1º de Bachillerato ha sido seleccionado para asistir a un congreso sobre sostenibilidad. El centro debe elegir a 4 de ellos para formar una comisión de portavoces.

• a) ¿De cuántas formas diferentes se puede elegir la comisión si no hay distinción de cargos?

• b) Si entre los 12 estudiantes hay 7 chicas y 5 chicos, ¿cuál es la probabilidad de que la comisión esté formada exactamente por 2 chicos y 2 chicas?

Una plataforma de contenido en streaming utiliza un código de seguridad para el control parental. El código consta de 2 letras (de un alfabeto de 26, sin la Ñ) seguidas de 3 dígitos (del 0 al 9).

• a) ¿Cuántos códigos diferentes se pueden crear si se pueden repetir letras y números?

• b) Si un usuario olvida su código pero recuerda que empieza por la letra "A" y termina en el número "7", ¿cuántas combinaciones posibles tendría que probar?

• c) Si el código se generase de forma aleatoria sin permitir repetición de ningún carácter (letras o números), ¿cuál sería la probabilidad de que el código fuera "BX123"?

En una liga de baloncesto local, se ha analizado la efectividad de los lanzamientos de tres puntos de un jugador. Se sabe que si anota el primer triple, la probabilidad de anotar el segundo es de $0,7$. Sin embargo, si falla el primero, la probabilidad de anotar el segundo es solo de $0,4$. Se sabe que la probabilidad de anotar el primer triple de un partido es de $0,5$.

• a) Dibuja el diagrama de árbol asociado al experimento de lanzar dos triples consecutivos.

• b) Calcula la probabilidad de que el jugador anote exactamente uno de los dos lanzamientos.

• c) Si sabemos que el jugador ha fallado el segundo lanzamiento, ¿cuál es la probabilidad de que hubiera anotado el primero?

Una empresa tecnológica fabrica auriculares inalámbricos en dos plantas, una en España y otra en Vietnam. La planta de España produce el $40\%$ del total y Vietnam el resto. Se ha detectado que el $3\%$ de los auriculares de España tienen fallos de conexión, mientras que en la planta de Vietnam este fallo aparece en el $6\%$ de la producción.

• a) Si compramos unos auriculares al azar, ¿cuál es la probabilidad de que funcionen correctamente?

• b) Si compramos unos auriculares y resultan tener fallos de conexión, ¿cuál es la probabilidad de que hayan sido fabricados en la planta de España?

Se ha realizado una encuesta a 200 jóvenes sobre sus hábitos de lectura y de consumo de televisión. Los datos se recogen en la siguiente tabla de contingencia:

Si elegimos un joven al azar de esta encuesta, calcula:

• a) La probabilidad de que lea habitualmente y vea la televisión menos de 2 horas al día.

• b) Sabiendo que el joven lee habitualmente, ¿cuál es la probabilidad de que vea la televisión más de 2 horas al día?

• c) ¿Son los sucesos "Leer habitualmente" y "Ver la televisión más de 2 horas al día" independientes? Justifica la respuesta matemáticamente.

En una caja de herramientas hay 5 destornilladores de estrella y 3 de punta plana. Se eligen 2 destornilladores al azar, uno tras otro y sin devolver el primero a la caja.

• a) Calcula la probabilidad de que los dos sean del mismo tipo.

• b) Calcula la probabilidad de que el segundo sea de punta plana sabiendo que el primero fue de estrella.

• c) Si el experimento se hiciera con devolución (reemplazamiento), ¿cómo cambiaría la probabilidad del apartado a)?

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un espacio muestral tales que conocemos sus probabilidades: $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,4$ y $P(A \cap B) = 0,2$.

Calcula las siguientes probabilidades utilizando las propiedades de la probabilidad:

• a) $P(A \cup B)$

• b) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ (Probabilidad de que no ocurra ni A ni B).

• c) $P(A | \bar{B})$ (Probabilidad de A condicionado a que no ocurra B).

Un diseñador de moda está creando una colección cápsula. Para el desfile final, tiene que organizar a 6 modelos en una fila única.

• a) ¿De cuántas formas distintas pueden desfilar las 6 modelos?

• b) Si entre las modelos hay dos que son hermanas y el diseñador insiste en que deben desfilar una inmediatamente después de la otra, ¿de cuántas formas se puede organizar ahora la fila?

• c) Si el diseñador decide que las dos hermanas no pueden estar juntas en ningún caso, ¿cuántas opciones tiene?

Un sistema de seguridad informática requiere que las contraseñas tengan exactamente $8$ caracteres. Estos deben elegirse entre las $26$ letras del alfabeto (sin distinguir mayúsculas de minúsculas) y los $10$ dígitos numéricos ($0-9$). Una contraseña se considera "robusta" si contiene al menos dos dígitos numéricos y no repite ningún carácter. Si un programa genera una contraseña aleatoria que cumple la condición de no repetir caracteres, calcula la probabilidad de que esta sea "robusta".

En un torneo de debate intercentros participan $12$ estudiantes: $7$ chicas y $5$ chicos. Para la fase final, se debe elegir un equipo de $4$ representantes de forma aleatoria. Calcula la probabilidad de que el equipo elegido cumpla simultáneamente que:

• Haya representación de ambos sexos.

• El número de chicas sea estrictamente mayor que el de chicos.

Una empresa de logística organiza sus rutas utilizando un código de barras de $10$ franjas verticales. Cada franja puede ser de color negro, gris o blanco. Por motivos de legibilidad del escáner, no se permiten códigos donde haya tres franjas consecutivas del mismo color.

1. ¿Cuántos códigos diferentes de $10$ franjas se pueden formar en total (sin restricciones)?

2. Si se elige un código al azar entre todos los posibles (sin restricciones), ¿cuál es la probabilidad de que las franjas en las posiciones impares sean todas negras y las de las posiciones pares sean todas blancas o grises?

Un analista de datos estudia el comportamiento de los usuarios en una plataforma de streaming. Dispone de la siguiente información sobre una muestra de $500$ usuarios:

• El $65\%$ son menores de $25$ años.

• El $40\%$ de los usuarios utiliza la plataforma principalmente para ver documentales.

• Entre los que no ven documentales, el $70\%$ son menores de $25$ años.

Si se selecciona un usuario al azar y resulta ser menor de $25$ años, calcula la probabilidad de que su preferencia principal sean los documentales. Utiliza una tabla de contingencia para organizar la información.

En una caja de herramientas hay $15$ bombillas LED, de las cuales se sabe que $3$ están defectuosas. Si extraemos $4$ bombillas una a una y sin devolución:

1. Calcula la probabilidad de que la cuarta bombilla extraída sea la segunda defectuosa que aparece en el proceso.

2. Si las extracciones se hiciesen con devolución, ¿cambiaría la probabilidad anterior? Justifica la respuesta utilizando técnicas de recuento.

Se sabe que en una determinada ciudad el $20\%$ de los días llueve ($LL$), el $10\%$ hace mucho viento ($V$) y el $5\%$ se dan ambas condiciones simultáneamente.

1. Calcula la probabilidad de que en un día elegido al azar no llueva y no haga viento.

2. Sabiendo que un día no ha llovido, ¿cuál es la probabilidad de que hiciera mucho viento?

3. ¿Son los sucesos "llover" y "hacer mucho viento" independientes? Demuéstralo matemáticamente.

Un examen tipo test consta de $5$ preguntas con $4$ opciones de respuesta cada una, de las cuales solo una es correcta. Un alumno que no ha estudiado nada decide responder al azar. Sin embargo, tiene una estrategia: para cada pregunta, descarta una de las opciones que sabe con seguridad que es falsa (por ser absurda) y elige al azar entre las tres restantes.

1. Calcula la probabilidad de que obtenga exactamente $3$ aciertos.

2. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte al menos una pregunta?

Una urna contiene $n$ bolas blancas y $6$ bolas rojas. Se extraen dos bolas simultáneamente (o sucesivamente sin devolución). Si se sabe que la probabilidad de que las dos bolas sean blancas es igual a $1/3$, determina el número total de bolas que hay en la urna. (Nota: deberás plantear una ecuación combinatoria y resolverla para hallar el valor de $n$).