Ejercicios: Dominio; recorrido; simetría; periodicidad; intersecciones y signo

Un dispositivo inteligente registra el nivel de batería de un teléfono móvil a lo largo de una mañana. La función $B(t)$ representa el porcentaje de carga en función del tiempo $t$ (en horas) transcurrido desde las 8:00 h.

Observando la gráfica, indica:

1. El dominio de la función (intervalo de tiempo registrado).

2. El recorrido o imagen (valores mínimo y máximo de batería).

3. ¿En qué momentos la batería se mantiene constante?

Determina el dominio de definición de las siguientes funciones analíticas:

1. $f(x) = \frac{x + 5}{x - 4}$

2. $g(x) = x^2 - 3x + 2$

3. $h(x) = \sqrt{x - 3}$

Halla los puntos de intersección con los ejes de coordenadas para la función cuadrática que representa el beneficio de una pequeña tienda de camisetas:

$B(x) = -x^2 + 6x - 5$

(Donde $x$ es el precio en euros y $B(x)$ el beneficio en cientos de euros).

Estudia la simetría (par, impar o ninguna) de las siguientes funciones mediante el cálculo de $f(-x)$:

1. $f(x) = x^4 + 3x^2$

2. $g(x) = x^3 - x$

3. $h(x) = \frac{2}{x}$

Dada la siguiente gráfica que representa el ritmo respiratorio de un deportista en reposo (volumen de aire en litros frente al tiempo en segundos), identifica razonadamente si la función es periódica y, en caso afirmativo, indica cuál es su período.

Estudia el signo de la función lineal $f(x) = 3x - 9$. Para ello:

1. Calcula el punto donde la función se anula (punto de corte con el eje $X$).

2. Indica en qué intervalo de $x$ la función es positiva ($f(x) > 0$) y en cuál es negativa ($f(x) < 0$).

Determina el dominio de las siguientes funciones logarítmicas recordando que el argumento debe ser estrictamente mayor que cero:

1. $f(x) = \log(x + 2)$

2. $g(x) = \ln(6 - 2x)$

A partir de la gráfica de la función $f(x)$ que se muestra a continuación, determina:

1. El valor de las intersecciones con el eje $Y$ y con el eje $X$.

2. Los intervalos donde la función es positiva.

Dada la función analítica $f(x) = \frac{\sqrt{x+5}}{x^2 - 16}$, realiza las siguientes tareas:

1. Determina el dominio de definición de la función, expresando el resultado en forma de intervalo.

2. Calcula los puntos de intersección con los ejes de coordenadas.

3. Estudia el signo de la función en su dominio.

Un sismógrafo ha registrado la intensidad de una réplica tras un pequeño terremoto. La gráfica de la intensidad $I$ (en grados) respecto al tiempo $t$ (en minutos) viene dada por la siguiente imagen:

A partir de la gráfica, identifica:

1. El dominio y el recorrido (imagen) de la función.

2. Los intervalos donde la intensidad es positiva.

3. ¿Existe algún momento en el que la intensidad sea nula? Indica los valores de $t$.

Determina algebraicamente si las siguientes funciones presentan algún tipo de simetría (par, impar o ninguna):

1. a) $f(x) = \frac{3x^2}{x^4 + 5}$

1. b) $g(x) = \frac{x^3 - x}{x^2 + 1}$

1. c) $h(x) = 2x^2 - 3x + 1$

Una plataforma de streaming ofrece dos planes mensuales. El plan "Premium" cuesta 15 € fijos al mes e incluye 100 horas de contenido. A partir de la hora 100, el usuario debe pagar 0,50 € por cada hora adicional.

1. Escribe la expresión analítica de la función definida a trozos que relaciona el coste mensual $C$ con las horas de visualización $h$.

2. Representa gráficamente la función.

3. Determina el recorrido de la función si el máximo de horas que un usuario puede visualizar al mes es de 300.

La altura de una cabina en una noria respecto al suelo, en metros, viene dada por una función periódica. Observa el esquema de un ciclo completo:

Si la noria tarda 8 minutos en dar una vuelta completa y la altura mínima es de 2 metros y la máxima de 25 metros:

1. Indica cuál es el periodo de la función.

2. Determina el recorrido de la función altura.

3. Si empezamos a contar el tiempo en el punto más bajo, ¿cuál será la altura a los 4 minutos? ¿Y a los 12 minutos?

Estudia los puntos de corte con los ejes y el signo de la función logarítmica:

$$f(x) = \log_{2}(x^2 - 3)$$

Nota: Recuerda que para estudiar el signo debes tener en cuenta el dominio de la función.

Dada la función $f(x) = \frac{2x - 6}{x + 3}$, calcula:

1. Su dominio de definición.

2. Las intersecciones con los ejes $OX$ y $OY$.

3. Encuentra el valor de $x$ para el cual la imagen es $y = 1$.

4. Razona si el valor $y = 2$ pertenece al recorrido de la función.

Analiza la siguiente función definida a trozos:

$$f(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{si } x < -2 \\ x^2 - 2 & \text{si } -2 \leq x \leq 2 \\ 2 & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

1. Calcula $f(-4)$, $f(0)$ y $f(5)$.

2. Estudia la continuidad en los puntos de salto $x = -2$ y $x = 2$.

3. Determina los intervalos donde la función tiene signo negativo.

Un equipo de biólogos está estudiando la viabilidad de una población de microorganismos en un entorno controlado. La tasa de crecimiento potencial de la colonia, en función de la temperatura del agua $x$ (en grados Celsius), viene modelada por la expresión:

$$f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 16}}{\ln(x - 5)}$$

Determina de forma razonada el dominio de definición de esta función, teniendo en cuenta las restricciones físicas de la raíz cuadrada, el logaritmo neperiano y el denominador de la fracción. Interpreta el resultado indicando a partir de qué temperatura es posible empezar el experimento.

Considera la función $f(x) = \frac{ax^3 + bx}{x^2 + k}$. Halla los valores de los parámetros $a$, $b$ y $k$ sabiendo que se cumplen simultáneamente las siguientes condiciones:

1. La función es impar.

2. Tiene una asíntota vertical en la recta $x = 2$.

3. La gráfica de la función corta al eje de abscisas en el punto $(3, 0)$.

4. Presenta una asíntota oblicua cuya pendiente es $m = 2$.

Justifica algebraicamente si, con los valores obtenidos, la función presenta alguna simetría adicional respecto al origen.

El valor de mercado de una nueva criptomoneda durante sus primeras 24 horas de lanzamiento se ha comportado según la siguiente función definida a trozos, donde $t$ representa el tiempo en horas y $V(t)$ el valor en euros:

$$V(t) = \begin{cases} 2^t - 1 & \text{si } 0 \leq t < 4 \\ \frac{24t - 36}{t + 2} & \text{si } 4 \leq t \leq 24 \end{cases}$$

1. a) Estudia la continuidad de la función en el punto de ruptura $t = 4$.
2. b) Determina el recorrido (imagen) de la función en el intervalo completo $[0, 24]$.
3. c) Halla los intervalos de signo (cuándo el valor es positivo) y los puntos de intersección con los ejes.

La temperatura media $T$ (en ºC) de una ciudad costera a lo largo de un año se puede aproximar mediante una función periódica. Se sabe que la temperatura mínima es de $8^\circ\text{C}$ (alcanzada a principios de enero, $t=0$) y la máxima de $28^\circ\text{C}$ (alcanzada a principios de julio, $t=6$). La función responde al modelo:

$$T(t) = A \cdot \cos(Bt) + C$$

1. a) Determina los valores de $A$, $B$ y $C$ sabiendo que el periodo es de 12 meses.
2. b) Calcula en qué meses del año la temperatura es superior a $23^\circ\text{C}$ (intervalos de signo de la diferencia $T(t) - 23$).
3. c) Indica los puntos de intersección de la función con la recta horizontal $y = 18$.

Sea la función $f(x) = |x^2 - 2x - 3|$.

1. a) Expresa la función como una función definida a trozos eliminando el valor absoluto.
2. b) Halla los puntos de intersección con los ejes y estudia el signo de la función original.
3. c) Determina el dominio y el recorrido de la función. ¿Es la función simétrica respecto a la recta $x = 1$? Justifica tu respuesta.

Dada la función racional $g(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - 5x + 6}$:

1. a) Determina su dominio. Presta especial atención a los puntos donde el numerador también se anula.
2. b) Identifica las asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas) y estudia la posición de la curva respecto a ellas.
3. c) Halla el recorrido de la función analizando si existe algún valor de $y$ que no pueda ser alcanzado.
4. d) Estudia los intervalos donde la función es positiva y donde es negativa.

Un analista financiero utiliza la función $P(x) = \log_2(x^2 - kx + 9)$ para predecir el comportamiento de un índice bursátil.

1. a) ¿Para qué valores del parámetro $k$ el dominio de la función es todo el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$?
2. b) Si $k = 6$, determina el dominio de la función y las intersecciones con el eje OX.
3. c) Para $k = 0$, estudia la simetría de la función y explica si es par, impar o ninguna de las dos.

Dibuja la gráfica aproximada de una función $f(x)$ que cumpla simultáneamente todas estas propiedades:

1. Su dominio es $\mathbb{R} - \{-2, 2\}$.

2. Es una función par.

3. Tiene asíntotas verticales en $x = -2$ y $x = 2$, tales que $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ y $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$.

4. Tiene una asíntota horizontal en $y = 1$ cuando $x \to \infty$.

5. Los puntos de intersección con el eje OX son $(-1, 0)$ y $(1, 0)$.

6. El punto de intersección con el eje OY es $(0, -2)$.

Una vez esbozada, indica razonadamente los intervalos de signo de la función.