Exercicis: Interessos bancaris

Després de treballar durant l'estiu com a monitor de campament, has aconseguit estalviar $1500 \text{ €}$. Decideixes obrir un compte d'estalvis que t'ofereix un interès simple del $2,5 \%$ anual. Si mantens els diners al banc durant exactament un any sense fer cap moviment:

1. a) Quin serà l'interès ($I$) que generarà el teu capital en acabar l'any?
2. b) Quin serà el capital final ($C_f$) disponible al teu compte?

Per comprar-te una tauleta d'última generació que costa $600 \text{ €}$, demanes un petit préstec a una entitat financera que et cobra un interès simple del $6 \%$ anual. Si et compromets a retornar els diners juntament amb els interessos en un únic pagament al cap de 8 mesos, calcula:

1. a) El rèdit ($r$) expressat en tant per un.
2. b) El temps ($t$) expressat en anys.
3. c) L'interès total que hauràs de pagar pel préstec.

Els teus avis t'han regalat $2000 \text{ €}$ pel teu 16è aniversari i decideixes invertir-los en un producte bancari a interès compost del $3 \%$ anual durant 3 anys. En ser interès compost, els interessos es capitalitzen anualment (s'afegeixen al capital per generar nous interessos).

Calcula el capital final ($C_f$) que tindràs al cap dels 3 anys utilitzant la fórmula:

Observa la publicitat següent d'un banc destinada a joves estalviadors:

"Fes créixer els teus estalvis! Ingressa $3000 \text{ €}$ amb nosaltres i al cap de dos anys et retornarem $3180 \text{ €}$."

Suposant que el banc aplica un interès simple anual, identifica els elements financers següents:

1. Capital inicial ($C_0$).

2. Temps de l'operació ($t$).

3. Interès total generat ($I$).

4. Rèdit o taxa d'interès anual ($R$) en percentatge.

Calcula quin capital inicial ($C_0$) hauríem de dipositar en un compte bancari perquè, amb un interès simple del $4 \%$ anual, obtinguem exactament $120 \text{ €}$ d'interessos al cap d'un any.

Una plataforma de microcrèdits en línia ofereix diners ràpids amb un interès simple del $1 \%$ mensual. Si un usuari sol·licita $400 \text{ €}$ per reparar la seva moto i planeja retornar-ho tot al cap d'un trimestre (3 mesos):

1. a) Quin és l'interès que pagarà cada mes?
2. b) Quina és la quantitat total (capital + interessos) que retornarà en acabar els tres mesos?

Un banc ofereix dos tipus de comptes per a joves:

• Compte A: Interès simple del $3,1 \%$ anual.

• Compte B: Interès compost del $3 \%$ anual.

Si has d'ingressar $1000 \text{ €}$ durant un sol any, quin dels dos comptes et donarà un benefici més gran al final d'aquest any? Justifica la teva resposta fent els càlculs necessaris.

Representa gràficament el creixement dels interessos acumulats d'una inversió de $1000 \text{ €}$ a un interès simple del $5 \%$ anual durant els primers 4 anys.

Completa primer la taula de valors (interessos acumulats al final de cada any) abans de dibuixar la gràfica:

• Any 1: $I = \dots$

• Any 2: $I = \dots$

• Any 3: $I = \dots$

• Any 4: $I = \dots$

Després, dibuixa uns eixos: el temps (en anys, de 0 a 4) a l'eix horitzontal i l'interès (en €) a l'eix vertical. Tria una escala adequada, marca els punts de la taula (més el punt de l'any 0) i uneix-los.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La Lucía vol rendibilitzar $2.500$ € obrint un dipòsit a termini fix de $3$ anys al $4$ % d'interès nominal anual amb liquidació trimestral d'interessos. En resoldre l'exercici per esbrinar quants diners tindrà al final, escriu al seu quadern:

1. a) Localitza i explica raonadament l'error conceptual que ha comès la Lucía en el seu plantejament, indicant per què el resultat obtingut és incoherent amb les condicions pactades.
2. b) Corregeix el càlcul aplicant la fórmula adequada de capitalització fraccionada i determina el capital final exacte que rebrà.

Un banc promociona un compte d'estalvi a $5$ anys amb un interès nominal anual del $3$ % i liquidació mensual d'interessos, en el qual decideixes ingressar $10.000$ € sense fer retirades.

1. a) Sense aplicar encara la fórmula de l'interès compost fraccionat, fes una estimació ràpida del benefici total aproximat calculant els interessos mitjançant la fórmula de l'interès simple. Justifica si el capital final real obtingut amb l'interès compost mensual serà més gran, més petit o igual que la teva estimació prèvia.
2. b) Calcula amb precisió el capital final i els interessos reals generats emprant la fórmula de capitalització composta fraccionada.
3. c) Compara ambdós resultats i raona si la capitalització mensual suposa una diferència econòmica substancial o moderada respecte al càlcul simple per a aquest termini i tipus d'interès.

En Marcos ha rebut un premi de $6\,000$ € i decideix invertir-lo durant 4 anys. El seu banc li ofereix dues opcions diferents per rendibilitzar els seus diners:

• Opció A: Un dipòsit a interès simple amb un rèdit anual del $4,5$ %.

• Opció B: Un compte d'estalvi a interès compost amb un rèdit anual del $4,2$ % i capitalització anual dels interessos.

Calcula el capital final que obtindria amb cada opció i raona quina li resulta més avantatjosa econòmicament en finalitzar els 4 anys.

Una entitat financera ofereix un pla d'inversió amb un interès nominal anual del $3,6$ %. Per atreure diferents perfils d'estalviadors, permet triar la freqüència amb què s'abonen els interessos al compte. Si una persona inverteix un capital inicial de $12\,000$ € durant 5 anys, determina la diferència entre el capital final obtingut si la capitalització és:

1. a) Semestral.
2. b) Mensual.

Expressa els resultats arrodonint als cèntims d'euro.

El banc "Futuro Seguro" publicita un compte d'estalvi amb un interès nominal anual del $5$ %, realitzant l'abonament d'interessos de forma trimestral. Calcula la Taxa Anual Equivalent (TAE) d'aquest producte financer. Si el banc decidís canviar la liquidació a una freqüència mensual mantenint la mateixa TAE, quin hauria de ser el nou interès nominal anual?

La Sara vol fer un viatge de voluntariat internacional d'aquí a uns anys. El cost total estimat del projecte és de $4\,500$ €. Actualment disposa de $3\,200$ € que ha dipositat en un compte que li ofereix un $3,75$ % d'interès compost anual. Utilitzant logaritmes, calcula quant de temps (expressat en anys i mesos) haurà de mantenir els diners invertits per aconseguir exactament la quantitat necessària per al seu viatge.

Un estudiant de 1r de Batxillerat decideix obrir un pla de pensions juvenil. Per a fer-ho, es compromet a ingressar $100$ € al principi de cada mes durant els pròxims 10 anys. Si l'entitat financera li assegura un rèdit anual del $3$ % amb capitalització mensual dels interessos, quin capital total tindrà acumulat en acabar els 10 anys?

Per finançar la compra d'un cotxe elèctric que costa $24\,000$ €, una família lliura una entrada de $6\,000$ € i finança la resta mitjançant un préstec bancari a un interès nominal del $6$ % anual. El préstec s'ha d'amortitzar en 5 anys mitjançant mensualitats iguals pagades al final de cada mes.

1. a) Calcula l'import de la quota mensual que ha d'abonar la família.
2. b) Quin és l'import total d'interessos que acabarà pagant la família al banc després dels 5 anys?

Un jove emprenedor sol·licita un microcrèdit de $8\,000$ € per comprar equipament informàtic. El banc li ofereix dues modalitats de retorn:

• Modalitat 1: Pagament únic al final de 3 anys amb un interès compost del $7$ % anual.

• Modalitat 2: Amortització mitjançant quotes anuals constants durant 3 anys a un interès nominal del $7,5$ %.

Calcula quants diners paga de més en concepte d'interessos en la modalitat que resulti més cara.

Invertim $15\,000$ € en un producte financer que ofereix un interès compost amb capitalització trimestral. Al cap de dos anys, el capital s'ha transformat en $16\,254,47$ €. Determina el rèdit anual (percentatge d'interès nominal) al qual s'ha realitzat l'operació. Arrodoneix el percentatge final a un nombre enter.

La Paula necessita reunir exactament $12.000$ € d'aquí a $4$ anys per comprar una furgoneta de segona mà. Per aconseguir-ho, va a dues entitats bancàries per fer una única aportació inicial avui:

• Entitat A: Li ofereix un dipòsit amb un interès nominal del $3,6$ % anual amb capitalització mensual d'interessos.

• Entitat B: Li exigeix ingressar exactament $10.000$ € avui, garantint-li assolir els $12.000$ € al cap dels $4$ anys mitjançant capitalització anual d'interessos.

1. a) Planteja l'equació corresponent a l'Entitat A i calcula quin capital inicial exacte ha de dipositar la Paula avui per assolir el seu objectiu.
2. b) Per a l'Entitat B, planteja l'equació que relaciona el capital inicial amb el capital final i aïlla el tipus d'interès nominal anual ($r$) que li estan aplicant realment. Arrodoneix el percentatge resultant a dos decimals.

Segons dades del Banc d'Espanya sobre dipòsits remunerats per a llars, una família analitza dues alternatives per col·locar $6.000$ € dels seus estalvis durant un període de $2$ anys:

• Opció A (Dipòsit Termini Fix): Ofereix un interès compost del $2,8$ % anual amb capitalització trimestral i sense comissions de cap mena.

• Opció B (Compte Fidelitat): Ofereix un interès nominal del $3,4$ % anual amb capitalització anual, però aplica una comissió fixa de manteniment i administració de $25$ € que es descompta en finalitzar cadascun dels dos anys després de liquidar els interessos.

1. a) Modela matemàticament l'evolució dels diners en ambdues opcions any rere any i calcula el saldo final disponible després dels $2$ anys en cadascuna.
2. b) Suposa que el capital inicial fos una variable $C$ desconeguda. Planteja la inequació que permet deduir a partir de quina quantitat mínima inicial resultaria més avantatjosa l'Opció B enfront de l'Opció A per a aquest mateix termini de $2$ anys (considerant capitalització anual en ambdues per a la comparació). Interpreta el resultat en termes de costos fixos enfront de rendiment percentual.

Un jove que acaba d'aconseguir la seva primera feina sol·licita un préstec de $15.000$ € per comprar-se un cotxe. El banc li ofereix dues opcions:

• Opció A: Interès nominal del $6,5\%$ anual amb capitalització mensual i una comissió d'obertura del $2\%$ que es suma al capital inicial.

• Opció B: Interès nominal del $7,2\%$ anual amb capitalització trimestral, sense comissions d'obertura, però amb una despesa fixa de manteniment de $15$ € al trimestre.

Calcula la TAE real de totes dues opcions per a un període d'un any i determina raonadament quina és més avantatjosa si el préstec es retorna íntegre en acabar el primer any.

Una família decideix obrir un pla de pensions per a la seva filla recent nascuda. Ingressen $100$ € al començament de cada mes en un compte amb un interès nominal del $4,8\%$ anual capitalitzable mensualment. Volen saber en quin moment el capital acumulat superarà els $50.000$ €. Utilitza logaritmes per calcular el nombre exacte de mesos necessaris i expressa el resultat final en anys i mesos.

Per finançar la compra d'un vehicle híbrid de $28.000$ €, una persona conscienciada amb el medi ambient signa un préstec a $6$ anys amb un interès del $5,5\%$ anual. Després d'haver pagat exactament les primeres $36$ mensualitats, rep una herència i decideix realitzar una amortització parcial de $8.000$ €. Si decideix mantenir el temps restant del préstec, quants diners s'estalviarà en interessos totals respecte al pla original?

Un inversor analitza un producte d'estalvi que ofereix un interès compost del $3,2\%$ anual amb capitalització diària (considera anys de $360$ dies). Si la inflació mitjana prevista per als pròxims $5$ anys és del $2,5\%$ anual, calcula la rendibilitat real neta (poder adquisitiu guanyat) d'una inversió inicial de $10.000$ € al cap d'aquest temps. Pista: Compara el montant final obtingut amb el valor que haurien de tenir els diners per mantenir el seu valor enfront de la inflació.

Es contracta una hipoteca de $180.000$ € a $25$ anys amb un tipus d'interès del $2,25\%$ anual. El contracte inclou una clàusula de "període de carència" de $2$ anys, durant els quals el client només paga mensualment els interessos generats, sense amortitzar capital. Calcula:

1. La quota mensual durant els dos primers anys.

2. La quota mensual definitiva per als $23$ anys restants.

Una jove obre un dipòsit d'estalvi de $10.000$ € amb l'objectiu de reunir l'entrada del seu primer pis. L'entitat acorda retornar el capital més els interessos acumulats en un únic pagament quan el montant s'hagi triplicat. Si l'interès pactat és del $12\%$ anual amb capitalització semestral, quants anys i mesos hauran de transcórrer perquè es realitzi aquest pagament? Fes servir logaritmes en el procés.

Un fons d'inversió garanteix un montant de $30.000$ € d'aquí a $10$ anys mitjançant aportacions fixes anuals al principi de cada any. El tipus d'interès és del $3,5\%$ anual. Tanmateix, a causa d'una crisi financera, al final del cinquè any l'interès baixa al $2\%$ anual per a la resta del període. Si l'inversor manté les seves aportacions anuals iguals a les calculades originalment, quin capital tindrà realment al final dels $10$ anys?

Calcula el capital inicial necessari que ha de dipositar una persona en una entitat financera que ofereix un $4,2\%$ d'interès nominal anual amb capitalització mensual, perquè els seus hereus puguin percebre una renda mensual de $1.500$ € de forma perpètua (considera el límit quan el nombre d'anys tendeix a infinit, o simplement el capital que genera aquests interessos cada mes sense reduir-se). Quina seria la TAE d'aquesta operació?

Una família sol·licita un préstec personal de $30.000$ € al $6$ % d'interès nominal anual per reformar el seu habitatge, a retornar en $5$ anys ($60$ mesos). L'entitat bancària els proposa dos mètodes de pagament diferents per afrontar el préstec:

• Mètode 1 (Amortització mensual estàndard): Paguen des del primer mes una quota fixa mensual de $579,98$ €.

• Mètode 2 (Carència durant el primer any): Durant els primers $12$ mesos només abonen els interessos mensuals que genera el deute pendent (període de carència). A partir del mes $13$, i durant els $4$ anys restants ($48$ mesos), passen a abonar una quota mensual constant de $704,55$ €.

1. a) Per al Mètode 1, calcula el desglossament del mes 1: determina quina part de la quota es destina al pagament d'interessos, quants diners amortitzen deute real i quin és el deute pendent a l'inici del mes 2.
2. b) Per al Mètode 2, calcula la quota fixa mensual que pagaran durant els primers $12$ mesos de carència i troba la suma total de diners desemborsats al llarg dels $5$ anys en cadascun dels dos mètodes.
3. c) Justifica detalladament per què el Mètode 2 resulta econòmicament més car en conjunt, basant-te en el concepte de deute pendent i en com influeix l'amortització en el càlcul dels interessos de períodes successius.

Un treballador de $30$ anys a Espanya decideix planificar la seva jubilació per als $65$ anys (d'aquí a $35$ anys). Per a fer-ho, ingressarà una quantitat fixa $A$ al principi de cada any en un pla d'inversió que garanteix un interès compost del $4$ % anual amb capitalització anual.

1. a) Sabent que la primera aportació genera interessos durant $35$ anys, la segona durant $34$ anys, i així successivament fins a l'última aportació (que genera interessos durant $1$ any), dedueix l'expressió algebraica del capital final acumulat com la suma dels termes d'una progressió geomètrica, demostrant que:

1. b) Si l'objectiu fixat és acumular un capital final de $150.000$ € en jubilar-se, calcula el valor exacte de l'aportació anual $A$ que ha de realitzar.
2. c) Si en lloc de començar als $30$ anys hagués posposat l'inici del pla fins als $45$ anys (disposant únicament de $20$ anys d'aportacions anuals al mateix $4$ % d'interès per assolir un objectiu idèntic de $150.000$ €), calcula la nova aportació anual necessària. En vista d'ambdós resultats, raona matemàticament l'impacte del factor temporal i la no-linealitat de l'interès compost en l'acumulació de capital.