Máximo común divisor

Observa los divisores de los números $24$ y $36$:

• $Div(24) = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$

• $Div(36) = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$

A partir de estas listas:

1. a) Escribe los divisores comunes de ambos números.
2. b) Identifica cuál es el mayor de esos divisores comunes. ¿Cómo llamamos a ese número?

En un curso de 2° de secundaria hay $24$ alumnos y $16$ alumnas. El profesor de Educación Física quiere formar equipos del mismo tamaño, lo más grandes posible, de manera que en cada equipo haya solo chicos o solo chicas.

1. a) ¿Cuántos alumnos habrá en cada equipo?
2. b) ¿Cuántos equipos de chicos y cuántos de chicas se formarán?

Calcula el máximo común divisor (m.c.d.) de los siguientes números utilizando el método de descomposición en factores primos (recuerda: se toman los factores comunes elevados al menor exponente):

1. a) $12$ y $18$
2. b) $20$ y $30$
3. c) $15$ y $25$

Dos números se llaman primos entre sí si su único divisor común es el $1$. Comprueba si las siguientes parejas de números son primos entre sí calculando su máximo común divisor:

1. a) $8$ y $15$
2. b) $14$ y $21$
3. c) $9$ y $20$

Calcula el Máximo Común Divisor de los siguientes grupos de números utilizando el método de descomposición en factores primos:

1. a) $m.c.d.(120, 150)$
2. b) $m.c.d.(72, 108, 144)$
3. c) $m.c.d.(45, 60, 105)$

Recuerda expresar primero cada número como producto de sus factores primos y luego seleccionar los factores comunes elevados al menor exponente.

El Algoritmo de Euclides es un método antiguo y eficaz para hallar el $m.c.d.$ de dos números mediante divisiones sucesivas. Consiste en dividir el mayor entre el menor; si el resto no es cero, se divide el divisor entre el resto, y así sucesivamente hasta que el resto sea cero. El último divisor utilizado es el $m.c.d.$

Utiliza este método para hallar el $m.c.d.(525, 225)$. Comprueba el resultado realizando después la descomposición factorial habitual.

Utiliza el Algoritmo de Euclides para hallar el $m.c.d.(2\,310, 1\,485)$. Una vez hallado, indica si los números son primos entre sí y justifica tu respuesta basándote en los divisores obtenidos durante el proceso del algoritmo.

Se sabe que el producto de dos números naturales es $2160$ y que su mínimo común múltiplo ($m.c.m.$) es $180$. Utilizando la relación que existe entre el producto de dos números, su $m.c.d.$ y su $m.c.m.$, averigua cuál es el Máximo Común Divisor de dichos números.

Encuentra dos números naturales, a los que llamaremos $x$ e $y$, sabiendo que su producto es $x \cdot y = 11\,250$ y que su mínimo común múltiplo es $m.c.m.(x, y) = 750$.

Se tienen dos números naturales $A$ y $B$ tales que su $m.c.d.(A, B) = 15$. Si multiplicamos el número $A$ por $12$ y el número $B$ por $12$, ¿cuál será el nuevo máximo común divisor de los números resultantes? Justifica tu respuesta aplicando las propiedades de los divisores.

Determina todos los pares de números naturales cuya suma sea $168$ y cuyo máximo común divisor sea $m.c.d.(a, b) = 24$.

Ayuda: Si el M.C.D. es 24, puedes escribir los números como $a = 24 \cdot p$ y $b = 24 \cdot q$, donde $p$ y $q$ deben ser primos entre sí.

En un campamento de aventura en la Cordillera Real, los instructores tienen dos cuerdas de escalada: una mide $20$ metros y la otra $28$ metros. Quieren cortarlas en pedazos iguales, de la mayor longitud posible y sin que sobre nada de cuerda. ¿Cuánto debe medir cada pedazo?

Ximena tiene una cinta de color azul de $18$ cm y una cinta roja de $24$ cm. Necesita cortarlas en tiras de la misma longitud para hacer unos lazos decorativos. Si quiere que las tiras sean lo más largas posible y no quiere desperdiciar nada de cinta:

1. a) ¿Cuál será la longitud de cada tira?
2. b) ¿Cuántas tiras obtendrá de cada color?

Para el torneo de convivencia del colegio, se han inscrito $48$ alumnos de 1° de secundaria y $60$ alumnos de 2° de secundaria. Se quieren formar equipos con el mismo número de personas, sin mezclar alumnos de distintos cursos y de manera que los equipos sean lo más numerosos posible.

1. a) ¿Cuántos alumnos habrá en cada equipo?
2. b) ¿Cuántos equipos de 1° de secundaria habrá en total? ¿Y de 2° de secundaria?

Un banco de alimentos ha recibido $210$ latas de conserva de atún, $126$ paquetes de arroz y $84$ botes de legumbres. Quieren preparar el mayor número posible de cajas de ayuda idénticas que contengan los tres tipos de alimentos, de forma que no sobre nada.

1. a) ¿Cuántas cajas de ayuda podrán preparar?
2. b) ¿Cuántos productos de cada tipo habrá en cada una de las cajas?

Un coleccionista de cómics tiene tres estanterías con las siguientes cantidades: $135$ ejemplares de superhéroes, $90$ de manga y $60$ de cómics europeos. Desea guardarlos en archivadores iguales con el mismo número de ejemplares cada uno, sin mezclarlos y de forma que el número de archivadores sea el mínimo posible (es decir, que cada archivador esté lo más lleno posible).

1. a) ¿Cuántos cómics debe poner en cada archivador?
2. b) ¿Cuántos archivadores necesitará en total para toda su colección?

Queremos decorar una pared del aula de música que mide $120$ cm de alto por $180$ cm de ancho con cartulinas cuadradas. Si queremos que las cartulinas sean lo más grandes posible y que cubran la pared exactamente sin tener que cortarlas:

1. a) ¿Cuánto debe medir el lado de cada cartulina?
2. b) ¿Cuántas cartulinas necesitaremos en total?

Un operario municipal quiere embaldosar una zona rectangular de un parque que mide $24$ metros de largo por $18$ metros de ancho. Para ello, va a utilizar baldosas cuadradas lo más grandes posible y no quiere tener que cortar ninguna.

1. a) Determina la medida del lado de cada baldosa.
2. b) Calcula el número total de baldosas que se necesitarán para cubrir toda la superficie.

Un arquitecto está diseñando el suelo de una sala de trofeos de un club de e-sports. La sala tiene una forma rectangular de $12,6$ metros de largo por $7,2$ metros de ancho. Se desea cubrir el suelo con baldosas cuadradas del mayor tamaño posible, de manera que no haya que cortar ninguna y que el diseño sea perfectamente simétrico.

Sin embargo, el arquitecto quiere dejar un pequeño canal de ventilación de $60$ cm de ancho a lo largo de todo el perímetro de la sala, por lo que el área real a embaldosar será un rectángulo interior más pequeño.

Calcula la medida del lado de la baldosa más grande que se puede utilizar para cubrir ese rectángulo interior y cuántas baldosas se necesitarán en total.

Una empresa de logística quiere transportar tres tipos de mercancías en contenedores cúbicos iguales, lo más grandes posible, para aprovechar al máximo el espacio de un gran almacén de carga. Las cantidades de mercancía se miden en volumen:

• Cajas de tecnología: $1\,512$ $m^3$

• Cajas de alimentación: $1\,848$ $m^3$

• Cajas de textil: $1\,260$ $m^3$

Si cada contenedor debe ir lleno con un solo tipo de mercancía y no puede sobrar espacio en ninguno de ellos, ¿cuál debe ser el volumen de cada contenedor cúbico? ¿Cuántos contenedores de textil habrá en el almacén?

Un centro de rescate de fauna marina ha recibido una donación de tres mangueras de alta resistencia para limpiar los tanques. Las longitudes de las mangueras son de $156$ metros, $144$ metros y $108$ metros.

Quieren cortarlas en trozos de la misma longitud, sin que sobre nada, para distribuirlos entre diferentes equipos de voluntarios. El jefe del centro pone como condición que los trozos deben ser lo más largos posible, pero por razones de seguridad, ningún trozo puede medir más de $15$ metros.

¿Qué longitud deberá tener cada trozo para cumplir todas las condiciones? ¿Cuántos voluntarios recibirán una manguera?