Números decimales: concepto
En la pista de atletismo del colegio, durante el Día del Estudiante, Valentina corre los 100 metros en $12{,}58$ segundos y Mateo en $12{,}6$ segundos. El $58$ es mucho más grande que el $6$, ¿ganó entonces Mateo? Para decidirlo hay que saber leer, ordenar y comparar decimales. También vas a conocer los decimales que no se acaban ni se repiten, como $\pi = 3{,}14159...$, y vas a ver que entre dos decimales siempre hay otro.
Valor de posición y lectura
En un decimal, cada cifra vale diez veces menos que la que tiene a su izquierda. Por eso la coma separa las unidades de las partes más chicas.
| Centenas | Decenas | Unidades | , | Décimas | Centésimas | Milésimas | Diezmilésimas |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 8 | , | 0 | 5 | 2 |
El número $48{,}052$ se lee «cuarenta y ocho unidades y cincuenta y dos milésimas». Tiene 4 decenas, 8 unidades, 0 décimas, 5 centésimas y 2 milésimas.
Cada cuadradito es $0{,}01$. Cada columna de 10 cuadraditos es $0{,}1$. La figura muestra $3$ décimas y $7$ centésimas: $0{,}37$.
En un laboratorio de biología, un alumno está midiendo el grosor de diferentes hojas de plantas. Escribe con cifras los siguientes números decimales obtenidos en sus…
En un laboratorio de biología, un alumno está midiendo el grosor de diferentes hojas de plantas. Escribe con cifras los siguientes números decimales obtenidos en sus mediciones:
- a) Doce unidades y ocho décimas.
- b) Siete unidades y veinticinco centésimas.
- c) Cero unidades y ciento cuatro milésimas.
- d) Cinco unidades y nueve diezmilésimas.
En los Juegos Olímpicos, los tiempos de natación se miden con mucha precisión. Un nadador ha tardado $48,052$ segundos en completar una prueba. Indica qué lugar ocupa…
En los Juegos Olímpicos, los tiempos de natación se miden con mucha precisión. Un nadador ha tardado $48,052$ segundos en completar una prueba. Indica qué lugar ocupa cada cifra en este número:
-
El $4$ ocupa las:
-
El $8$ ocupa las:
-
El $0$ ocupa las:
-
El $5$ ocupa las:
-
El $2$ ocupa las:
Observa la siguiente cuadrícula que representa la unidad dividida en cien partes iguales. Indica qué número decimal representa la parte sombreada en color naranja y cómo…
Observa la siguiente cuadrícula que representa la unidad dividida en cien partes iguales. Indica qué número decimal representa la parte sombreada en color naranja y cómo se lee dicho número.
Decimales en la recta numérica
Para ubicar un decimal, divides cada unidad en 10 partes iguales (décimas). Si hace falta más precisión, divides cada décima en 10 (centésimas), y así sucesivamente.
Los negativos van a la izquierda del $0$ y se ubican igual, pero hacia ese lado: $-0{,}25$ está a la misma distancia del $0$ que $0{,}25$, del otro lado.
Identifica qué números decimales están representados por las letras $A$, $B$ y $C$ en la siguiente recta numérica:
Identifica qué números decimales están representados por las letras $A$, $B$ y $C$ en la siguiente recta numérica:
Dibuja una recta numérica en tu cuaderno y representa los siguientes números decimales. Para los números negativos, utiliza un color diferente al de los positivos.…
Dibuja una recta numérica en tu cuaderno y representa los siguientes números decimales. Para los números negativos, utiliza un color diferente al de los positivos.
$A = 0,4$
$B = -0,25$
$C = 0,85$
$D = -0,7$
Te puede ayudar tomar la recta desde $-1$ hasta $1$, con el $0$ en el centro, y dividir cada unidad en 20 partes iguales, de modo que cada marca valga $0,05$. Por ejemplo, si cada unidad ocupa 10 cm de cuaderno, cada marca estará separada 0,5 cm. Escribe junto a cada punto su letra y su valor.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Exactos, periódicos y su fracción
Un decimal puede ser de varios tipos:
-
Exacto: tiene un número limitado de cifras. Ejemplo: $4{,}25$.
-
Periódico puro: después de la coma se repite un bloque, el período. Ejemplo: $7{,}\widehat{3} = 7{,}333...$
-
Periódico mixto: entre la coma y el período hay cifras que no se repiten, el anteperíodo. Ejemplo: $1{,}02\widehat{5} = 1{,}02555...$ (anteperíodo $02$, período $5$).
Un decimal sale de dividir el numerador entre el denominador de una fracción. ¿Se puede saber qué tipo es sin hacer la cuenta?
Del decimal periódico a la fracción
Para volver a la fracción (la generatriz) se usan estas reglas, que ya conoces de 1.° de secundaria.
-
Puro: numerador = número sin coma menos la parte entera; denominador = tantos $9$ como cifras tiene el período. Ejemplo: $0{,}\hat{7} = \frac{7}{9}$.
-
Mixto: numerador = número sin coma menos el número formado por las cifras del anteperíodo; denominador = tantos $9$ como cifras tiene el período, seguidos de tantos $0$ como cifras tiene el anteperíodo. Ejemplo: $0{,}1\hat{6} = \frac{16 - 1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$.
Clasifica los siguientes números decimales indicando si son exactos, periódicos puros o periódicos mixtos: a) $4,25$ b) $7,\widehat{3}$ c) $1,02\widehat{5}$ d)…
Clasifica los siguientes números decimales indicando si son exactos, periódicos puros o periódicos mixtos:
- a) $4,25$
- b) $7,\widehat{3}$
- c) $1,02\widehat{5}$
- d) $12,444...$
- e) $0,123$
- f) $5,6\widehat{12}$
Sin realizar la división de sus términos, indica qué tipo de número decimal generará cada una de las siguientes fracciones (exacto o periódico). Justifica tu respuesta…
Sin realizar la división de sus términos, indica qué tipo de número decimal generará cada una de las siguientes fracciones (exacto o periódico). Justifica tu respuesta analizando los factores primos del denominador:
- a) $\dfrac{7}{40}$
- b) $\dfrac{5}{12}$
- c) $\dfrac{11}{21}$
- d) $\dfrac{3}{250}$
Observa la siguiente figura, donde un cuadrado de área $1\text{ u}^2$ se ha dividido en secciones. a) Expresa en forma decimal la parte sombreada en naranja. b) Expresa…
Observa la siguiente figura, donde un cuadrado de área $1\text{ u}^2$ se ha dividido en secciones.
- a) Expresa en forma decimal la parte sombreada en naranja.
- b) Expresa en forma decimal la parte que queda en blanco.
- c) ¿Qué tipo de números decimales has obtenido (exactos o periódicos)?
Ordenar varios decimales a la vez
Para comparar dos decimales ya tienes un método: igualas la cantidad de cifras con ceros y comparas columna por columna, de izquierda a derecha. Con más de dos números es lo mismo.
Vuelve al principio: $12{,}6 = 12{,}60$ y $12{,}58 < 12{,}60$, porque $5$ décimas son menos que $6$ décimas. Valentina tardó menos, así que ganó.
Ordena los siguientes números decimales de menor a mayor: $$0,52 \quad | \quad 0,509 \quad | \quad 0,6 \quad | \quad 0,521 \quad | \quad 0,5$$
Ordena los siguientes números decimales de menor a mayor:
$$0,52 \quad | \quad 0,509 \quad | \quad 0,6 \quad | \quad 0,521 \quad | \quad 0,5$$En un campeonato de Fórmula 1, los tiempos de clasificación de cuatro pilotos para una vuelta al circuito han sido los siguientes: Piloto A: $1:24,058\text{ s}$ Piloto…
En un campeonato de Fórmula 1, los tiempos de clasificación de cuatro pilotos para una vuelta al circuito han sido los siguientes:
-
Piloto A: $1:24,058\text{ s}$
-
Piloto B: $1:24,5\text{ s}$
-
Piloto C: $1:24,06\text{ s}$
-
Piloto D: $1:24,0578\text{ s}$
Ordena a los pilotos de más rápido a más lento utilizando los signos $>$ o $<$ según corresponda.
Ordena de menor a mayor los siguientes números decimales, justificando tu respuesta mediante la expansión de al menos cuatro de sus cifras decimales: $A = 2,3\hat{5}$…
Ordena de menor a mayor los siguientes números decimales, justificando tu respuesta mediante la expansión de al menos cuatro de sus cifras decimales:
-
$A = 2,3\hat{5}$
-
$B = 2,\widehat{35}$
-
$C = 2,35$
-
$D = 2,35\hat{3}$
-
$E = 2,355$
-
$F = 2,353$
Una vez ordenados, encuentra un número decimal exacto y un número decimal periódico puro que se encuentren comprendidos entre los dos valores centrales de tu lista.
Decimales que no se acaban ni se repiten: los irracionales
$\sqrt{2} = 1{,}4142135...$ Por más cifras que calcules, nunca aparece un período. Este número no es exacto ni periódico: es irracional. Lo mismo ocurre con la raíz no exacta de un número natural que no es cuadrado perfecto, como $\sqrt{3}$ o $\sqrt{5}$.
Los números que sí se escriben como fracción (exactos y periódicos) son los racionales. Todos los números juntos, racionales e irracionales, forman el conjunto de los números reales, $\mathbb{R}$. Los irracionales no tienen fracción generatriz: por eso se comparan con una aproximación decimal. Escribimos $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$, donde $\mathbb{I}$ es el conjunto de los irracionales. Entre ellos, $\pi$ y $e$ son trascendentes (no son solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros), mientras que $\sqrt{2}$ y $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1{,}6180...$ (el número de oro) son irracionales algebraicos.
Clasifica los siguientes números decimales en la tabla adjunta (Exacto, Periódico Puro, Periódico Mixto o Irracional): $3,141592...$ (Número $\pi$) $2,15$ $7,444...$…
Clasifica los siguientes números decimales en la tabla adjunta (Exacto, Periódico Puro, Periódico Mixto o Irracional):
-
$3,141592...$ (Número $\pi$)
-
$2,15$
-
$7,444...$
-
$0,1232323...$
-
$\sqrt{2}$
-
$5,0616161...$
| Exacto | P. Puro | P. Mixto | Irracional |
|---|---|---|---|
Representa en la recta numérica de forma aproximada los siguientes números y determina de forma exacta cuál de ellos es el mayor: $X = 1,4\hat{6}$ $Y = \sqrt{2}$ (usa la…
Representa en la recta numérica de forma aproximada los siguientes números y determina de forma exacta cuál de ellos es el mayor:
-
$X = 1,4\hat{6}$
-
$Y = \sqrt{2}$ (usa la aproximación $1,4142...$)
-
$Z = \frac{11}{7}$
Como $\sqrt{2}$ es un número irracional, no tiene fracción generatriz. Por eso:
-
Para $X$, calcula su fracción generatriz y compárala con $Z$ (por ejemplo, reduciéndolas a común denominador).
-
Para $Y$, usa su aproximación decimal y compárala con los otros dos.
Justifica la posición de cada número en la recta realizando las divisiones necesarias con al menos tres cifras decimales. Usa la recta de la figura, donde cada marca pequeña vale $0,01$.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
La recta es «densa»: siempre hay otro decimal en medio
Entre $1{,}54$ y $1{,}55$ parece que no entra nada. Pero mira una cifra más: $1{,}541$, $1{,}542$, $1{,}543$... Entre dos decimales hay infinitos decimales, por cerca que estén.
Tres hermanos miden su estatura. Lucía mide $1,54$ metros y Marcos mide $1,55$ metros. Encuentra un número decimal que esté comprendido entre la estatura de Lucía y la…
Tres hermanos miden su estatura. Lucía mide $1,54$ metros y Marcos mide $1,55$ metros. Encuentra un número decimal que esté comprendido entre la estatura de Lucía y la de Marcos.
Intercala tres números racionales (en forma de fracción) entre los números decimales $0,\hat{7}$ y $0,7\hat{8}$. Para resolverlo, sigue estos pasos: 1. Obtén las…
Intercala tres números racionales (en forma de fracción) entre los números decimales $0,\hat{7}$ y $0,7\hat{8}$.
Para resolverlo, sigue estos pasos:
-
Obtén las fracciones generatrices de ambos números.
-
Reduce dichas fracciones a común denominador.
-
Encuentra tres fracciones que se sitúen entre ellas y comprueba que sus expresiones decimales cumplen la condición de intercalación.
Aproximar y medir el error
Al cortar cifras, el número cambia un poquito. Lo puedes medir:
-
Error absoluto = $|\text{valor real} - \text{aproximación}|$.
-
Error relativo = $\dfrac{\text{error absoluto}}{\text{valor real}}$. Dice qué fracción del número real es el error, así que sirve para comparar aproximaciones.
En un laboratorio de biología, se ha medido el tamaño de un microorganismo obteniendo un valor de $0,04586$ mm. Por un error en el software, el microscopio muestra este…
En un laboratorio de biología, se ha medido el tamaño de un microorganismo obteniendo un valor de $0,04586$ mm. Por un error en el software, el microscopio muestra este valor aproximado de dos formas distintas:
-
Aproximación X: truncado a las milésimas.
-
Aproximación Y: redondeado a las milésimas.
Calcula el error relativo cometido en cada una de las dos aproximaciones. ¿Cuál de las dos estimaciones es más precisa para el estudio científico? Justifica tu respuesta comparando los errores obtenidos.