Experiencias aleatorias y espacio muestral
El sábado, en el club de barrio, tiran una moneda para ver quién saca primero. ¿Podés saber de antemano si va a salir cara? Hay situaciones en las que, por mucho que sepas, no podés adivinar el resultado antes de jugar. Eso tiene un nombre en matemática: azar.
Experiencias aleatorias y deterministas
¿Cuáles de estas experiencias son aleatorias? ¿Por qué? a) Sacar una carta de una baraja bien mezclada y anotar su palo. b) Medir la longitud de tu cuaderno con una…
¿Cuáles de estas experiencias son aleatorias? ¿Por qué?
- a) Sacar una carta de una baraja bien mezclada y anotar su palo.
- b) Medir la longitud de tu cuaderno con una regla.
- c) Anotar el número de goles del próximo partido de tu equipo.
- d) Calcular el perímetro de una mesa conocidas sus medidas.
Indicá si cada una de las siguientes experiencias es aleatoria o determinista, justificando tu respuesta: a) Calcular lo que cuestan $3$ kg de naranjas a $\$2\,100…
Indicá si cada una de las siguientes experiencias es aleatoria o determinista, justificando tu respuesta:
- a) Calcular lo que cuestan $3$ kg de naranjas a $\$2\,100$ el kilo.
- b) Anotar el resultado de lanzar una chinche y ver si cae de punta o de costado.
- c) Medir el tiempo que tarda en hervir un litro de agua al fuego.
- d) Anotar quién gana el partido de básquet del sábado.
- e) Calcular el área de un cuadrado de $5$ cm de lado.
Espacio muestral
Apretá «Lanzar» muchas veces y comprobá que el dado siempre cae en uno de esos 6 resultados, nunca en otro:
Escribe el espacio muestral (todos los resultados posibles) de estos experimentos: a) Lanzar un dado y anotar los puntos. b) Lanzar una moneda y anotar el resultado. c)…
Escribe el espacio muestral (todos los resultados posibles) de estos experimentos:
- a) Lanzar un dado y anotar los puntos.
- b) Lanzar una moneda y anotar el resultado.
- c) Sacar al azar una bola de un bombo con los números del $1$ al $5$.
Escribe el espacio muestral de cada uno de estos experimentos aleatorios: a) Lanzar una moneda y anotar el resultado. b) Sacar una bola de una urna que contiene una bola…
Escribe el espacio muestral de cada uno de estos experimentos aleatorios:
- a) Lanzar una moneda y anotar el resultado.
- b) Sacar una bola de una urna que contiene una bola roja, una verde, una azul y una amarilla, y anotar su color.
- c) Hacer girar una ruleta con los números del $1$ al $6$ y anotar el número.
- d) Elegir al azar un día de la semana y anotar si es «laborable» o «fin de semana».
Experiencias con más de un paso
Si la experiencia tiene dos pasos (tirar dos monedas, o un dado y una moneda), conviene no olvidarse de ningún resultado. Hay dos herramientas: el diagrama de árbol y la tabla de doble entrada.
Cada camino del árbol, de izquierda a derecha, es un resultado. Acá hay $4$: $E = \{CC, CX, XC, XX\}$. Notá que $CX$ y $XC$ son distintos: en uno la cara salió en la primera moneda y en el otro, en la segunda.
Lanzamos dos monedas al aire y anotamos si sale cara (C) o cruz (+) en cada una. La figura muestra el espacio muestral del experimento. a) ¿Cuántos resultados posibles…
Lanzamos dos monedas al aire y anotamos si sale cara (C) o cruz (+) en cada una. La figura muestra el espacio muestral del experimento.
- a) ¿Cuántos resultados posibles tiene el experimento? Escribilos.
- b) ¿Son equiprobables? Razoná tu respuesta.
- c) ¿De cuántas formas puede ocurrir el suceso «sale al menos una cara»?
- d) ¿Y el suceso «salen las dos iguales»?
Sucesos: cierto, posible e imposible
Un suceso es cualquier resultado o conjunto de resultados de la experiencia («sacar un número par»).
| Suceso | Qué significa | Ejemplo con un dado |
|---|---|---|
| Cierto (o seguro) | Ocurre siempre | «sacar un número menor que 7» |
| Posible | Puede ocurrir, pero no es seguro | «sacar un 4» |
| Imposible | No puede ocurrir nunca | «sacar un 8» |
Al lanzar un dado de $6$ caras, clasificá estos sucesos en seguro, posible o imposible: a) Sacar un $5$. b) Sacar un $7$. c) Sacar un número menor que $7$. d) Sacar un…
Al lanzar un dado de $6$ caras, clasificá estos sucesos en seguro, posible o imposible:
- a) Sacar un $5$.
- b) Sacar un $7$.
- c) Sacar un número menor que $7$.
- d) Sacar un número mayor que $2$.
En una caja hay $6$ figuritas: $4$ de jugadores y $2$ de escudos. Si sacamos una figurita al azar, clasificá estos sucesos en seguro, posible o imposible: a) Sacar una…
En una caja hay $6$ figuritas: $4$ de jugadores y $2$ de escudos. Si sacamos una figurita al azar, clasificá estos sucesos en seguro, posible o imposible:
- a) Sacar una figurita de jugador.
- b) Sacar una figurita de entrenador.
- c) Sacar una figurita de jugador o de escudo.
- d) Sacar una figurita de escudo.
Sucesos contrarios e incompatibles
Con un mismo experimento podemos mirar dos sucesos a la vez y preguntarnos cómo se relacionan.
Con un dado:
-
«sacar par» $=\{2, 4, 6\}$ y «sacar impar» $=\{1, 3, 5\}$ son contrarios: nunca salen juntos y no queda ningún resultado afuera.
-
«sacar un 2» y «sacar un 5» son incompatibles, pero no contrarios: no pueden salir juntos, pero si sale un $3$ no ocurrió ninguno de los dos.
-
«sacar par» y «sacar un número mayor que 4» no son incompatibles: el $6$ cumple los dos.
Comparar la probabilidad de los sucesos
Entre «imposible» y «cierto» hay muchos sucesos posibles, y unos tienen más chances que otros. Para ordenarlos, comparamos cuántos resultados los cumplen.
Si en una bolsa hay $9$ bolas rojas y $1$ azul:
-
«sacar roja» es muy probable (9 de 10 bolas);
-
«sacar azul» es poco probable (1 de 10);
-
«sacar verde» es imposible (no hay verdes);
-
«sacar roja o azul» es cierto.
Orden de más a menos probable: cierto, roja, azul, imposible.
Juegos con azar y sin azar
No todos los juegos dependen del azar.
-
Con azar: el resultado lo decide un dado, una moneda o un mazo. En la generala o en el truco, nadie sabe qué dados o cartas saldrán; ni el mejor jugador puede asegurar el resultado de una tirada.
-
Sin azar: el resultado depende solo de las decisiones de los jugadores. En el ajedrez o el tatetí no interviene ningún dado: quien piensa mejor tiene ventaja.
Muchos juegos mezclan las dos cosas: en el truco el reparto es azaroso, pero decidir cómo jugar las cartas es habilidad.
En una bolsa hay $9$ bolas rojas y $1$ bola azul. Ordená los siguientes eventos del experimento «sacar una bola al azar» desde el más probable hasta el menos probable,…
En una bolsa hay $9$ bolas rojas y $1$ bola azul. Ordená los siguientes eventos del experimento «sacar una bola al azar» desde el más probable hasta el menos probable, explicando tu criterio:
-
Evento A: «sacar una bola roja».
-
Evento B: «sacar una bola azul».
-
Evento C: «sacar una bola que no sea verde».
-
Evento D: «sacar una bola verde».
Indicá si las siguientes afirmaciones sobre el azar son verdaderas o falsas, razonando tu respuesta: a) Sacar un $7$ al lanzar un dado es un suceso imposible. b) Si un…
Indicá si las siguientes afirmaciones sobre el azar son verdaderas o falsas, razonando tu respuesta:
- a) Sacar un $7$ al lanzar un dado es un suceso imposible.
- b) Si un suceso es muy improbable, entonces es imposible.
- c) Si lanzo una moneda $10$ veces, es seguro que saldrá cara exactamente $5$ veces.
- d) Si salieron $4$ caras seguidas, en el siguiente lanzamiento es más probable que salga cruz «para compensar».
a) Inventá un experimento aleatorio cuyo espacio muestral tenga exactamente $6$ resultados equiprobables. Escribí cuál es su espacio muestral. b) Inventá ahora un…
- a) Inventá un experimento aleatorio cuyo espacio muestral tenga exactamente $6$ resultados equiprobables. Escribí cuál es su espacio muestral.
- b) Inventá ahora un experimento aleatorio que también tenga $6$ resultados posibles pero que no sean equiprobables, y explicá por qué no lo son.
- c) Para tu experimento del ítem b), describí un evento seguro, uno imposible y uno poco probable.
En una bolsa opaca hay únicamente bolas rojas y azules, en total $10$ bolas, pero no sabemos cuántas hay de cada color. a) Describí un evento seguro de este experimento…
En una bolsa opaca hay únicamente bolas rojas y azules, en total $10$ bolas, pero no sabemos cuántas hay de cada color.
- a) Describí un evento seguro de este experimento (extraer una bola al azar).
- b) Describí un evento imposible.
- c) Si te dicen que el evento «sacar bola roja» es muy improbable, ¿qué podés deducir sobre la composición de la bolsa? Da dos composiciones posibles coherentes con esa información.
- d) ¿Y si «sacar bola roja» fuera tan probable como «sacar bola azul»?
Lanzamos dos dados de colores distintos (uno azul y uno verde) y anotamos la suma de los puntos obtenidos. a) ¿Cuántos resultados distintos puede tomar la suma?…
Lanzamos dos dados de colores distintos (uno azul y uno verde) y anotamos la suma de los puntos obtenidos.
- a) ¿Cuántos resultados distintos puede tomar la suma? Escríbelos todos.
- b) ¿Son equiprobables esos resultados? Compruébalo completando en tu cuaderno una tabla de doble entrada con los $36$ pares posibles (dado azul, dado verde) y contando de cuántas formas se obtiene cada suma.
- c) ¿Qué suma es la más probable? ¿Cuántas formas hay de obtenerla?
- d) ¿Y la menos probable?
Volvé al principio: no podés saber de antemano si saldrá cara porque tirar una moneda es una experiencia aleatoria: conocemos el espacio muestral (cara o cruz), pero el resultado de cada tirada depende del azar.