Ejercicios: La tasa anual equivalente

Una cuenta de ahorros para jóvenes ofrece una tasa de interés nominal anual (APR) del $3 \%$ con capitalización mensual. Calcula el rendimiento porcentual anual (APY) de esta cuenta.

Para financiar un viaje de fin de año escolar, un grupo de estudiantes deposita sus ahorros en un producto financiero que ofrece un $4 \%$ de interés nominal anual con capitalización trimestral. Determina la TAE (tasa de rendimiento anual efectivo, o APY) de la operación.

Un banco ofrece dos tipos de depósitos a un año:

• Depósito A: $5 \%$ APR (tasa nominal) con pago de intereses semestral.

• Depósito B: $5.05 \%$ APY (rendimiento porcentual anual) con pago de intereses anual.

Calcula el APY del Depósito A para saber cuál de los dos es más rentable.

Completa la siguiente tabla indicando el valor de $n$ (número de periodos de capitalización al año) que debes utilizar en la fórmula del APY (rendimiento porcentual anual) para cada caso:

Un banco anuncia una cuenta de ahorro con una TAE (APY) del $2.5 \%$ y liquidación de intereses anual. Si el periodo de liquidación es de un año completo, ¿cuál es el interés nominal anual (TIN) de esta cuenta? Explica por qué en este caso coinciden ambos valores.

Calcula el APY (rendimiento porcentual anual) correspondiente a una tasa de interés nominal del $12 \%$ anual capitalizable trimestralmente. Si después decidimos cambiar a una capitalización mensual manteniendo la misma tasa nominal, ¿aumentará o disminuirá el APY? Compruébalo realizando el segundo cálculo.

Marta quiere calcular la Tasa Anual Equivalente ($\text{TAE}$) de una cuenta de ahorro que anuncia un $\text{TIN}$ del $3\,\%$ con pago mensual de intereses y sin comisiones. En su cuaderno escribe la siguiente resolución:

Marta nota que el resultado obtenido es exagerado para una cuenta de ahorro real, pero no encuentra el error.

1. a) Identifica y explica detalladamente el error que cometió Marta al introducir el tipo nominal en la fórmula.
2. b) Corrige el planteamiento y halla la verdadera $\text{TAE}$ de la cuenta, expresando el resultado en porcentaje y redondeando a dos cifras decimales.
3. c) Explica por qué, conceptualmente, la $\text{TAE}$ correcta debe ser solo ligeramente superior al $3\,\%$ anunciado y no un valor tan distante.

Una entidad bancaria ofrece un certificado de depósito (CD) a plazo fijo a $1$ año con un $\text{TIN}$ del $4\,\%$, sin comisiones y con liquidación trimestral de intereses ($n = 4$).

1. a) Antes de realizar ningún cálculo con la fórmula, haz una estimación cualitativa y razonada: ¿esperas que la $\text{TAE}$ sea menor que el $4\,\%$, exactamente igual al $4\,\%$, ligeramente superior (por ejemplo, entre el $4.05\,\%$ y el $4.10\,\%$) o muy superior (por encima del $5\,\%$)? Justifica tu previsión apoyándote en el mecanismo de reinversión de los intereses generados a lo largo del año.
2. b) Aplica la fórmula de la $\text{TAE}$ para calcular su valor numérico exacto (redondea a dos cifras decimales en porcentaje).
3. c) Compara el valor obtenido con tu estimación previa y valora si tiene sentido económico que la diferencia entre $\text{TIN}$ y $\text{TAE}$ sea de esa magnitud para tasas de interés moderadas.

Dos bancos digitales, NeoBank y BancaApp, quieren captar tus ahorros para un fondo que estás creando para tu viaje de graduación.

• NeoBank te ofrece un interés nominal anual del $3.5\%$ con capitalización mensual de los intereses.

• BancaApp te ofrece un interés nominal anual del $3.55\%$ con capitalización semestral.

Calcula el rendimiento porcentual anual (APY) de ambas opciones y determina cuál es más rentable para tus ahorros.

Quieres comprar una tableta gráfica que cuesta $450$ dólares y decides financiarla con una tarjeta de crédito de una tienda de electrónica. El contrato indica que el interés mensual que te aplicarán es del $1.8\%$.

1. a) Calcula el interés nominal anual que te están cobrando.
2. b) Halla la TAE (tasa anual equivalente, o APY) asociada a esta operación financiera.

Un banco anuncia un préstamo personal para jóvenes con una tasa efectiva anual (EAR) del $7.2\%$. Si los intereses se liquidan mensualmente y no existen comisiones adicionales, ¿cuál es la tasa de interés nominal anual (APR) que te están aplicando?

Una entidad financiera ofrece un depósito a plazo fijo de un año con un interés nominal del $4\%$. Sin embargo, el banco te cobra una comisión de apertura fija de $25$ dólares que se descuenta al inicio de la inversión. Si decides invertir $2,000$ dólares:

1. a) ¿Qué capital real estás invirtiendo tras pagar la comisión?
2. b) ¿Qué capital recibirás al finalizar el año?
3. c) Teniendo en cuenta que al final del año recibes el capital más los intereses, calcula la TAE real (APY) de la operación considerando la comisión como un menor capital inicial.

Has visto un anuncio de "microcréditos rápidos" en internet. Te prestan $300$ dólares para un gasto urgente y debes devolver $315$ dólares al cabo de exactamente un mes.

1. a) Calcula el interés mensual en tanto por ciento.
2. b) Calcula la TAE (tasa anual equivalente, o APY) de este préstamo si se mantuvieran las mismas condiciones durante todo un año. ¿Te parece un interés razonable comparado con un préstamo bancario habitual?

El banco AhorroFácil liquida los intereses de sus cuentas cada trimestre. Si un cliente quiere obtener un rendimiento real (APY) del $5\%$, ¿qué interés nominal anual debería ofrecer el banco?

Compara las siguientes tres ofertas de inversión para un capital de $5,000$ dólares durante un año:

• Oferta A: $4.2\%$ de interés nominal anual, con capitalización trimestral.

• Oferta B: $4.15\%$ de interés nominal anual, con capitalización mensual.

• Oferta C: $4.25\%$ de interés anual simple (los intereses no se reinvierten).

Calcula el APY (rendimiento porcentual anual) de cada una (en el caso C, el APY coincide con el interés simple al ser un año) y ordénalas de mejor a peor.

Una empresa de telefonía ofrece financiar un smartphone de alta gama. El teléfono cuesta $1,100$ dólares al contado. La financiación consiste en $12$ cuotas mensuales de $98$ dólares.

1. a) Calcula el total pagado al finalizar el año.
2. b) Si el exceso pagado sobre el precio al contado se considera intereses devengados al final del año, ¿qué interés simple anual estarías pagando?
3. c) Si la entidad financiera nos dice que la TAE de la operación es del $13.5\%$, comprueba si el capital final de invertir $1,100$ dólares a ese interés compuesto mensual coincide aproximadamente con el total de las cuotas pagadas.

Un neobanco que opera en Estados Unidos desea lanzar una cuenta de ahorro remunerada sin cargos de mantenimiento. El equipo de mercadeo tiene como objetivo fijar una $\text{TAE}$ exacta del $3.50\,\%$, abonando los intereses mes a mes ($n = 12$).

1. a) Escribe la ecuación que permite obtener el $\text{TIN}$ anual ($r$) a partir de la $\text{TAE}$ fijada y del número de periodos de liquidación anuales.
2. b) Despeja algebraicamente la variable $r$ y calcula el $\text{TIN}$ que la entidad debe publicar en su documentación precontractual, redondeando a dos decimales de porcentaje.
3. c) Si el banco decidiera cambiar la periodicidad de pago a diaria ($n = 365$), ¿el $\text{TIN}$ necesario para mantener esa misma $\text{TAE}$ del $3.50\,\%$ tendría que ser mayor o menor que el obtenido en el apartado anterior? Razona tu respuesta analizando la relación entre la frecuencia de capitalización y la acumulación de intereses.

Dispones de $\$10,000$ y te ofrecen dos opciones de depósito a plazo fijo a $1$ año sin comisiones:

• Opción A: $\text{TIN}$ del $3.20\,\%$ con capitalización semestral ($n = 2$).

• Opción B: $\text{TIN}$ del $3.18\,\%$ con capitalización diaria ($n = 365$).

Para decidir qué producto contratar, dos compañeros de clase proponen estrategias distintas:

• Método 1 (Vía TAE): Calcular directamente la $\text{TAE}$ de cada alternativa mediante su fórmula y elegir la que presente un porcentaje mayor.

• Método 2 (Vía Capital Final): Calcular el capital final acumulado al término del año aplicando la capitalización compuesta periodo a periodo sobre los $\$10,000$ y elegir la que proporcione más dólares de ganancia.

1. a) Aplica numéricamente ambos métodos y confirma si los dos conducen a la misma decisión.
2. b) Justifica qué método resulta más eficiente y generalizable si se tuviera que asesorar a un conjunto de clientes que disponen de importes muy diversos (desde $\$500$ hasta $\$500,000$).
3. c) Imagina que la Opción A añade una comisión de mantenimiento de cuenta de $\$12$ al final del año. Explica por qué el Método 1 requeriría adaptar el cálculo y cuál sería el impacto cualitativo de ese gasto en la rentabilidad efectiva real.

Una conocida cadena de tiendas de tecnología ofrece una promoción para comprar una computadora de última generación que cuesta $\$1,500$. La oferta consiste en un préstamo a $12$ meses con un $0 \%$ de interés nominal ($TIN$), pero con una comisión de apertura de $\$75$ que se paga en la primera cuota. Si comparamos esta oferta con un préstamo bancario tradicional que no tiene comisiones pero aplica un interés compuesto mensual, ¿cuál debería ser el $TIN$ de este segundo préstamo para que su Tasa Anual Equivalente ($TAE$) sea idéntica a la de la oferta de la tienda?

Un "microcrédito" por internet ofrece $\$300$ a devolver en un único pago a los $15$ días. El prestamista cobra $\$12$ en concepto de "honorarios de gestión", pero en su publicidad indica que la tasa de interés es del $0 \%$. Calcula la $TAE$ real de esta operación financiera considerando que un año tiene $365$ días. Reflexiona sobre por qué este dato es obligatorio por ley en la publicidad de estos productos.

Comparamos dos tarjetas de crédito. La Tarjeta Platino cobra un interés nominal mensual del $1.8\,\%$ sin cuota de mantenimiento. La Tarjeta Oro cobra un $1.5\,\%$ nominal mensual pero tiene una cuota fija de mantenimiento de $\$45$ al año. Un usuario mantiene una deuda promedio constante de $\$1,200$ durante todo el año.

1. a) Calcula la $TAE$ de la Tarjeta Platino y la $TAE$ del interés de la Tarjeta Oro (sin contar la cuota de mantenimiento).

1. b) Calcula el costo anual total de cada tarjeta (intereses y cuota) para una deuda promedio de $\$1,200$.

1. c) Escribe el costo anual de cada tarjeta en función de la deuda promedio $D$ y determina a partir de qué cantidad de deuda promedio anual empezaría a ser más rentable la Tarjeta Oro.

Una plataforma de crowdlending permite prestar dinero a pequeñas y medianas empresas. Una empresa solicita $\$5,000$ y se compromete a devolver $\$5,600$ al cabo de $9$ meses en un único pago. Calcula la $TAE$ que obtendrán los inversionistas si la plataforma cobra una comisión de gestión del $1 \%$ sobre el capital final cobrado en el momento del vencimiento. Compara este resultado con la $TAE$ que se obtendría si no existiera dicha comisión de gestión.

En un concesionario de vehículos de movilidad urbana ofrecen financiar un ciclomotor eléctrico de $\$3,000$ para devolver el importe íntegro en un único pago al cabo de $1$ año, presentando dos promociones alternativas:

• Promoción 'Sin Intereses': Se anuncia con un $\text{TIN}$ del $0\,\%$. Sin embargo, el contrato incluye una comisión de estudio y apertura del $3\,\%$ sobre el precio del vehículo ($\$90$) que se suma a la deuda a devolver al año, y unos gastos iniciales de gestión de $\$60$ que deben pagarse al contado en el instante de la entrega ($t = 0$).

• Promoción 'Financiación Estándar': $\text{TIN}$ del $4.50\,\%$ anual con liquidación trimestral de intereses acumulativos ($n = 4$), sin ningún tipo de comisiones de apertura ni gastos iniciales, abonando capital más intereses al finalizar el año.

1. a) Modela el flujo monetario de la Promoción 'Sin Intereses': determina la cantidad neta de dinero que realmente recibe financiada el comprador en $t = 0$ y el importe total que desembolsa al cabo de $1$ año. Con estos dos importes, calcula la $\text{TAE}$ efectiva del préstamo.
2. b) Modela y calcula la $\text{TAE}$ correspondiente a la Promoción 'Financiación Estándar'.
3. c) Determina razonadamente cuál de las dos ofertas resulta financieramente más ventajosa para el comprador y reflexiona sobre el motivo por el cual la normativa de transparencia bancaria exige destacar la $\text{TAE}$ en toda oferta publicitaria, aun cuando el $\text{TIN}$ anunciado sea del $0\,\%$.