Ejercicios: Concepto de función

En una tienda de aplicaciones, cada juego premium tiene un precio fijo de $\$2,50$. Queremos analizar la relación entre el número de juegos comprados y el costo total de la compra.

1. a) Identifique cuál es la variable independiente y cuál es la variable dependiente.
2. b) ¿Es esta relación una función? Razone su respuesta basándose en la definición de función.
3. c) Escriba la expresión algebraica (fórmula) que relaciona ambas magnitudes, llamando $x$ al número de juegos e $y$ al costo total.

Observe las siguientes relaciones entre magnitudes y determine, en cada caso, si se trata de una función o no:

1. a) A cada número de teléfono celular le asociamos el nombre de su dueño en la agenda.
2. b) A cada estudiante de su clase le asociamos su estatura medida en pulgadas.
3. c) A cada código de barras de un supermercado le asociamos el precio del producto correspondiente.
4. d) A cada persona le asociamos el color de ojos de sus hermanos.

Lucía está controlando el consumo de batería de su teléfono inteligente mientras juega a un videojuego. La siguiente gráfica muestra el porcentaje de batería restante según el tiempo que lleva jugando (en minutos):

A partir de la gráfica, responda:

1. a) ¿Qué porcentaje de batería tenía al empezar a jugar (tiempo = $0$)?
2. b) ¿Cuánta batería le queda tras $20$ minutos de juego?
3. c) Si la batería llega al $0\%$, ¿cuántos minutos ha estado jugando en total?

Dada la función definida por la expresión algebraica $f(x) = 3x - 2$, complete la siguiente tabla de valores en su cuaderno:

$x$ (Entrada)	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$ (Salida)

Una vez completada, indique cuál es la imagen de $x = -1$.

Para que una gráfica represente una función, cualquier línea vertical que tracemos debe cortar a la gráfica en un único punto. Utilice esta "prueba de la línea vertical" para decidir cuál de las siguientes gráficas NO es una función:

Justifique su elección explicando qué ocurre en la gráfica elegida al trazar una línea vertical.

El precio de una suscripción mensual a una plataforma de series es de $\$9$, pero el primer mes tiene una oferta y solo cuesta $\$3$.

1. a) Elabore una tabla que relacione el número de meses suscrito (de $1$ a $4$ meses) con el gasto total acumulado.
2. b) Represente estos cuatro puntos en un sistema de ejes cartesianos.
3. c) ¿Tiene sentido unir los puntos con una línea continua? Explique por qué.

Un excursionista sube una montaña siguiendo un sendero. La función que relaciona su altitud sobre el nivel del mar, $H$ (en pies), con la distancia horizontal recorrida, $d$ (en millas), es $H(d) = 400 + 150d$.

1. a) ¿A qué altitud se encuentra el punto de inicio de la ruta ($d = 0$)?
2. b) Si el excursionista ha recorrido $3$ millas en horizontal, ¿a qué altitud se encuentra?
3. c) Identifique las variables de la función y explique su significado físico.

Observe los puntos representados en el siguiente plano cartesiano, que muestran la temperatura de un invernadero durante las primeras horas de la mañana:

Indique las coordenadas $(x, y)$ de los cuatro puntos marcados en la gráfica y explique qué significa cada una de ellas en el contexto del problema. (Ejemplo: A la hora $1$, la temperatura es de... ).

En una escuela secundaria, se están analizando diferentes relaciones entre magnitudes. Determine de forma razonada cuáles de las siguientes situaciones corresponden a una función y, en caso afirmativo, identifique la variable independiente y la variable dependiente:

1. a) A cada número de identificación de los estudiantes se le asocia su edad actual.
2. b) A cada temperatura máxima alcanzada en el patio durante un día se le asocian las horas en las que se registró dicha temperatura.
3. c) A la cantidad de gigabytes ($GB$) consumidos en una tarifa móvil se le asocia el precio mensual de la factura.
4. d) A cada número natural se le asocian sus divisores.

Una empresa de renta de scooters eléctricos cobra una tarifa fija de $\$1,20$ por desbloquear el vehículo y una cuota variable de $\$0,15$ por cada minuto de uso.

1. a) Identifique las dos variables que intervienen y clasifíquelas en dependiente e independiente.
2. b) Escriba la expresión analítica o fórmula que permite calcular el costo total de la renta, $y$, en función del tiempo de uso en minutos, $x$.
3. c) Calcule cuánto pagará un estudiante que utiliza el scooter durante $22$ minutos para ir de su casa a la escuela secundaria.

Observe las siguientes gráficas representadas en el plano cartesiano. Utilizando el criterio de la recta vertical, indique razonadamente cuál de ellas representa una función y cuál no.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2 - 4}{2}$, realice las siguientes tareas:

1. a) Calcule las imágenes de los valores $x = 0$, $x = 2$ y $x = -4$.
2. b) Determine el valor de $x$ (antiimagen) cuya imagen es $f(x) = 6$.
3. c) ¿Pertenece el punto $P(-1, -1.5)$ a la gráfica de la función? Justifique su respuesta realizando los cálculos necesarios.

La siguiente tabla muestra la cantidad de agua (en galones) que queda en una alberca portátil mientras se está vaciando mediante una bomba de extracción:

Tiempo (minutos)	0	5	10	15	20
Agua (galones)	4500	3600	2700	1800	900

1. a) ¿Es una relación funcional? Explique por qué.
2. b) Represente los puntos en un sistema de ejes coordenados eligiendo una escala adecuada.
3. c) Si la tendencia se mantiene constante, ¿cuánto tiempo tardará la alberca en vaciarse por completo?
4. d) ¿Qué volumen de agua habrá a los $12$ minutos de empezar el vaciado?

El área de un rectángulo cuya base mide el doble que su altura se puede expresar como una función.

1. a) Si llamamos $x$ a la medida de la altura del rectángulo, escriba la expresión analítica de la función área $A(x)$.
2. b) ¿Cuál es la variable independiente y cuál la dependiente?
3. c) Calcule el área cuando la altura es de $4,5$ $cm$.
4. d) Si el área del rectángulo es de $50$ $cm^2$, ¿cuánto mide su altura?

Un excursionista registra el porcentaje de batería que queda en su teléfono inteligente a lo largo de una caminata por la montaña. La gráfica resultante es la siguiente:

A la vista de la gráfica, responda:

1. a) ¿Cuáles son las variables independiente y dependiente? Indique las unidades de medida.
2. b) ¿Cuál era el porcentaje de batería al inicio de la excursión?
3. c) ¿Es una función creciente o decreciente? ¿Qué significado físico tiene esto en el contexto del problema?
4. d) Estime cuánto tiempo ha pasado cuando al teléfono le queda exactamente el $50$% de la carga.

Considere la relación que asocia a cada número entero $x$ con su valor absoluto más tres unidades, es decir, $y = |x| + 3$.

1. a) Elabore una tabla de valores para los números enteros comprendidos entre $-3$ y $3$.
2. b) Represente los puntos obtenidos en un sistema de ejes cartesianos.
3. c) ¿Tiene sentido unir los puntos con una línea continua si el enunciado dice que $x$ es un número entero? Explique por qué.
4. d) Indique cuál sería el recorrido (conjunto de valores que toma la variable dependiente) basándose en su tabla y gráfica.

Un programador de videojuegos está diseñando el sistema de recompensas de un nuevo nivel. La cantidad de "Créditos Estelares" ($C$) que recibe un jugador depende del tiempo ($t$) en minutos que tarda en completar una misión, según la relación:

$$C(t) = \frac{600}{t-5}$$

1. a) Indique razonadamente si esta relación es una función para cualquier valor de $t$ mayor que cero.
2. b) Si el tiempo mínimo para completar la misión físicamente es de 6 minutos y el máximo permitido por el servidor es de 60 minutos, determine el dominio y el recorrido de esta función en este contexto real.
3. c) ¿Qué ocurre con la recompensa a medida que el jugador se acerca al tiempo de 5 minutos? ¿Tendría sentido que el dominio incluyera el valor $t = 5$?

Considere la relación que asocia a cada número real $x$ su distancia al número entero más cercano. Por ejemplo, si $x = 2,3$, su distancia al entero más cercano (2) es $0,3$. Si $x = 2,8$, su distancia al entero más cercano (3) es $0,2$.

1. a) Represente gráficamente esta relación en el intervalo $x \in [0, 3]$.
2. b) Explique por qué esta relación es una función.
3. c) Determine el recorrido (imagen) de la función.
4. d) ¿Es una función periódica? En caso afirmativo, indique cuál es su periodo.

Una empresa de mensajería con drones cobra por sus servicios de la siguiente forma: un costo fijo de $\$5$ por gestión y, además, $\$2$ por cada libra de peso. Sin embargo, si el paquete supera los $10 kg$, el costo por libra adicional (solo las libras que pasen de 10) se reduce a la mitad.

1. a) Exprese la función $P(x)$ que representa el precio total del envío en función de las libras $x$ del paquete. Atención: la función debe tener dos expresiones (una función definida a trozos).
2. b) Calcule $P(8)$ y $P(15)$.
3. c) Represente la gráfica de la función.
4. d) Si un cliente ha pagado $\$31$, ¿cuántas libras pesaba su paquete?

Se quiere construir un marco rectangular de madera para un espejo. Se dispone de un listón de madera de $4$ pies de longitud total para hacer todo el contorno.

1. a) Si llamamos $x$ a la longitud de la base del marco (en pies), exprese la función $A(x)$ que calcula el área encerrada por el marco.
2. b) ¿Cuál es el dominio de esta función teniendo en cuenta las restricciones físicas del problema?
3. c) Calcule el área cuando la base mide $0,5 m$ y cuando mide $1,5 m$.
4. d) ¿Para qué valor de $x$ se obtiene el área máxima? ¿Qué forma geométrica tiene el marco en ese caso?

Analice las siguientes gráficas y determine si representan una función o no. Justifique su respuesta utilizando el concepto de relación entre variable independiente y dependiente.

1. a) $x^2 + y^2 = 25$ (Una circunferencia de radio 5 centrada en el origen).
2. b) $y = \sqrt{x}$ (Considerando solo la raíz positiva).
3. c) Una línea vertical en el plano cartesiano que pasa por $x = 4$.
4. d) Una parábola tumbada cuya ecuación es $x = y^2$.

Un tanque de agua tiene forma de cono invertido. Se está llenando de agua a un ritmo constante. La relación entre el volumen de agua ($V$) y la altura que alcanza el agua ($h$) viene dada por la función:

$$V(h) = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (0,5h)^2 \cdot h$$

1. a) Simplifique la expresión de la función $V(h)$.
2. b) ¿Es una función lineal? Justifique su respuesta observando el grado de la variable $h$.
3. c) Calcule la antiimagen de $V = \frac{2\pi}{3}$, es decir, la altura $h$ necesaria para tener ese volumen.
4. d) Si el tanque tiene una altura total de $4 metros$, ¿cuál es el dominio y el recorrido de la función en esta situación?

Observe la siguiente tabla de valores que relaciona dos magnitudes, $A$ y $B$:

Magnitud A ($x$)	-2	-1	0	1	2
Magnitud B ($y$)	5	2	1	2	5

1. a) Encuentre una expresión analítica (fórmula) que relacione $y$ con $x$.
2. b) Indique si es una función y justifique por qué.
3. c) Determine los puntos de corte con los ejes.
4. d) Si ampliamos la tabla con el valor $x = 1$ y le asignamos $y = 3$, ¿seguiría siendo una función? Razone la respuesta.

Una compañía de telefonía ofrece una tarifa para adolescentes llamada "Gamer Pro". El costo mensual ($C$) en dólares depende de los Gigabytes ($g$) consumidos:

• Los primeros $20 GB$ son gratuitos (incluidos en la cuota fija de $\$15$).

• A partir de $20 GB$, cada Gigabyte extra cuesta $\$1,5$, pero solo hasta un máximo de $50 GB$ de consumo total.

• Si se consumen más de $50 GB$, la velocidad se reduce y no se cobra nada más.

1. a) Represente gráficamente la función $C(g)$ para un consumo de entre $0$ y $80 GB$.
2. b) Defina la función mediante una expresión analítica a trozos.
3. c) Indique los intervalos donde la función es constante y donde es creciente.
4. d) ¿Cuál es el dominio y el recorrido de esta función?