Ecuaciones de primer grado
En la librería del barrio pagas con un billete de S/ 20 tres cuadernos iguales y te devuelven S/ 2. ¿Cuánto cuesta cada cuaderno? Plantear $3x + 2 = 20$ ya lo sabes hacer desde 1.° de secundaria. Ahora vas a resolver ecuaciones más largas, con paréntesis y denominadores a la vez, y a descubrir qué pasa cuando una ecuación no tiene solución o las tiene todas.
Ecuaciones y la balanza
Si la igualdad es cierta para cualquier valor de la letra, como $x + x = 2x$, se llama identidad. No es una ecuación que haya que resolver: siempre se cumple.
La regla de oro: lo que haces en un miembro, lo haces en el otro. Así la balanza sigue en equilibrio.
Cada vez que haces lo mismo en ambos miembros obtienes una ecuación equivalente: tiene exactamente la misma solución. Por ejemplo, $3x + 1 = 10$, $3x = 9$ y $x = 3$ son equivalentes, porque las tres se cumplen solo con $x = 3$. Resolver es ir pasando a ecuaciones equivalentes cada vez más simples.
Hay otros dos caminos informales para ecuaciones sencillas. Ensayo y error: pruebas valores y te acercas a la solución. En $x + 5 = 12$ pruebas $x = 6$ (da $11$, falta uno), luego $x = 7$ (da $12$ ✓). Complementación: preguntas qué le falta a $5$ para llegar a $12$: le faltan $7$, así que $x = 7$. Con ecuaciones más largas conviene la balanza o la transposición.
Clasifica las siguientes igualdades matemáticas en identidades o ecuaciones, explicando brevemente por qué en cada caso: a) $3x + 5 = 20$ b) $2(x + 1) = 2x + 2$ c)…
Clasifica las siguientes igualdades matemáticas en identidades o ecuaciones, explicando brevemente por qué en cada caso:
- a) $3x + 5 = 20$
- b) $2(x + 1) = 2x + 2$
- c) $x + x = 2x$
- d) $x - 7 = 10$
Observa la siguiente balanza que se encuentra en equilibrio. Si las pesas circulares representan la incógnita $x$ y las pesas cuadradas representan $1$ kg cada una,…
Observa la siguiente balanza que se encuentra en equilibrio. Si las pesas circulares representan la incógnita $x$ y las pesas cuadradas representan $1$ kg cada una, escribe la ecuación que representa la imagen y halla el valor de $x$ aplicando la lógica del equilibrio (quitar la misma cantidad en ambos platos).
Comprueba si los valores propuestos para la incógnita son solución de las siguientes ecuaciones: a) $2x - 3 = 7$ ¿Es $x = 5$ la solución? b) $\frac{x}{4} + 1 = 6$ ¿Es…
Comprueba si los valores propuestos para la incógnita son solución de las siguientes ecuaciones:
- a) $2x - 3 = 7$ ¿Es $x = 5$ la solución?
- b) $\frac{x}{4} + 1 = 6$ ¿Es $x = 20$ la solución?
- c) $3(x - 2) = 12$ ¿Es $x = 4$ la solución?
Resuelve mentalmente estas ecuaciones de un solo paso aplicando la regla de la suma (lo que está sumando pasa restando y viceversa): a) $x + 12 = 30$ b) $x - 8 = 15$ c)…
Resuelve mentalmente estas ecuaciones de un solo paso aplicando la regla de la suma (lo que está sumando pasa restando y viceversa):
- a) $x + 12 = 30$
- b) $x - 8 = 15$
- c) $7 + x = 2$
- d) $x - 10 = -4$
Halla el valor de $x$ en las siguientes ecuaciones aplicando la regla del producto (lo que está multiplicando pasa dividiendo y viceversa): a) $5x = 45$ b)…
Halla el valor de $x$ en las siguientes ecuaciones aplicando la regla del producto (lo que está multiplicando pasa dividiendo y viceversa):
- a) $5x = 45$
- b) $\frac{x}{3} = 7$
- c) $-2x = 14$
- d) $\frac{2x}{5} = 4$
Resuelve las siguientes ecuaciones sencillas de dos pasos, agrupando primero los términos con $x$ en un miembro y los números en el otro: a) $3x + 4 = 19$ b)…
Resuelve las siguientes ecuaciones sencillas de dos pasos, agrupando primero los términos con $x$ en un miembro y los números en el otro:
- a) $3x + 4 = 19$
- b) $5x - 2 = 13$
- c) $10 - 2x = 4$
- d) $25 = 4x + 1$
Del lenguaje común al algebraico
Para plantear problemas primero hay que traducir frases.
| Frase | Expresión |
|---|---|
| El doble de un número | $2x$ |
| La mitad de un número | $\dfrac{x}{2}$ |
| Un número aumentado en 7 | $x + 7$ |
| El siguiente de un número | $x + 1$ |
| Tres números consecutivos | $x,\ x+1,\ x+2$ |
Traduce estas frases del lenguaje natural al lenguaje algebraico utilizando la letra $x$ para representar el número desconocido: a) El doble de un número más ocho es…
Traduce estas frases del lenguaje natural al lenguaje algebraico utilizando la letra $x$ para representar el número desconocido:
- a) El doble de un número más ocho es igual a veinte.
- b) La mitad de un número menos cinco da como resultado tres.
- c) Un número aumentado en siete unidades es igual a su triple.
- d) La suma de un número y su siguiente es quince.
Marta fue a la librería y compró 3 cuadernos iguales. Si pagó con un billete de $40$ soles y le devolvieron $4$ soles, plantea una ecuación donde $x$ sea el precio de un…
Marta fue a la librería y compró 3 cuadernos iguales. Si pagó con un billete de $40$ soles y le devolvieron $4$ soles, plantea una ecuación donde $x$ sea el precio de un cuaderno y resuélvela para saber cuánto costó cada uno.
Paréntesis y denominadores juntos
Las ecuaciones más largas llevan paréntesis y fracciones a la vez. El orden habitual es este (si los paréntesis están dentro de los numeradores, como en el ejemplo, es más cómodo quitar primero los denominadores y después los paréntesis):
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado aplicando correctamente la propiedad distributiva y la agrupación de términos semejantes:…
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado aplicando correctamente la propiedad distributiva y la agrupación de términos semejantes:
$4(2x - 3) - 2(5 - 3x) = 3(x + 1) + 5$
Halla el valor de la incógnita $x$ en la siguiente ecuación con denominadores, simplificando previamente mediante el cálculo del mínimo común múltiplo:…
Halla el valor de la incógnita $x$ en la siguiente ecuación con denominadores, simplificando previamente mediante el cálculo del mínimo común múltiplo:
$\frac{x - 3}{4} - \frac{x - 5}{6} = \frac{x - 1}{9}$
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado, prestando especial atención a los signos negativos delante de las fracciones y al uso del mínimo común múltiplo para…
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado, prestando especial atención a los signos negativos delante de las fracciones y al uso del mínimo común múltiplo para simplificar los denominadores:
$$\frac{2 \times (x - 3)}{5} - \frac{x - 1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{3x - 14}{10}$$¿Siempre hay una solución?
Casi siempre llegas a $x = \text{número}$, pero hay dos casos especiales:
| Al final queda… | Ejemplo | Significa |
|---|---|---|
| $ax = b$ con $a \neq 0$ | $3x = 9$ | Una solución: $x = 3$ |
| $0x = b$ con $b \neq 0$ | $0x = 5$ | Ninguna solución |
| $0x = 0$ | $0x = 0$ | Infinitas soluciones (identidad) |
Problemas con ecuaciones de primer grado
Muchos problemas se convierten en una ecuación: edades, repartos, perímetros, vehículos que se encuentran, llaves que llenan un depósito, mezclas, cifras de un número. Pasos: elige qué es $x$, expresa los demás datos con $x$, plantea la igualdad, resuelve y comprueba en el enunciado.
Encuentros con salida escalonada
Cuando dos personas se acercan una a la otra, la distancia que recorre cada una es $d = v \cdot t$, y la suma de las dos distancias es la distancia total. Si una sale antes, lleva más tiempo en camino: llama $t$ al tiempo de la que sale después y suma el desfase a la otra.
Trabajo conjunto: razonar con tasas
Si una llave llena un depósito en 3 horas, en 1 hora llena $\dfrac{1}{3}$ del depósito. Esa fracción por hora es su tasa. Las llaves de llenado suman sus tasas y un desagüe resta la suya. En $t$ horas, lo que se llena es (tasa) $\cdot\, t$, y al llegar a depósito lleno el total es $1$.
Mezclas y porcentajes
En una mezcla, la cantidad de sustancia pura es (porcentaje) $\times$ (cantidad de solución). Al añadir agua, la cantidad de sustancia pura no cambia; lo que cambia es el total. Esa es la igualdad que se plantea: sustancia pura antes = sustancia pura después.
Cifras de un número
En un número de tres cifras, cada cifra vale según su lugar. Si $c$ es la cifra de las centenas, $d$ la de las decenas y $u$ la de las unidades, el número vale $100c + 10d + u$. Por ejemplo, $482 = 100(4) + 10(8) + 2$. Para plantear el problema, expresa las tres cifras con una sola letra: la de la cifra a la que las demás se comparan (casi siempre las unidades).
El perímetro de una pista de pádel rectangular es de $56$ metros. Sabemos que la longitud de la pista es $2$ metros más que el doble de su anchura. Calcula las…
El perímetro de una pista de pádel rectangular es de $56$ metros. Sabemos que la longitud de la pista es $2$ metros más que el doble de su anchura. Calcula las dimensiones de la pista planteando una ecuación de primer grado.
Marcos ha comprado en una tienda digital tres juegos de estrategia y dos pases de batalla. Cada pase de batalla cuesta la mitad que un juego. Si en total ha pagado $280$…
Marcos ha comprado en una tienda digital tres juegos de estrategia y dos pases de batalla. Cada pase de batalla cuesta la mitad que un juego. Si en total ha pagado $280$ soles, ¿cuál es el precio de un juego y cuál es el precio de un pase de batalla?
La edad de una madre es el triple de la de su hijo. Hace $8$ años, la suma de las edades de ambos era de $48$ años. ¿Qué edad tienen actualmente cada uno?
La edad de una madre es el triple de la de su hijo. Hace $8$ años, la suma de las edades de ambos era de $48$ años. ¿Qué edad tienen actualmente cada uno?
El nivel de batería de un celular disminuye de forma constante. Durante la mañana se consumió una cuarta parte de la carga total. Por la tarde, se gastó un tercio de lo…
El nivel de batería de un celular disminuye de forma constante. Durante la mañana se consumió una cuarta parte de la carga total. Por la tarde, se gastó un tercio de lo que quedaba después de la mañana. Si todavía queda un $40$% de batería ($40$ unidades de carga), ¿cuál es la capacidad total de carga del celular?
Halla tres números enteros consecutivos tales que la suma del primero y el segundo supere en $15$ unidades al tercer número.
Halla tres números enteros consecutivos tales que la suma del primero y el segundo supere en $15$ unidades al tercer número.
Edades con pasado y futuro
En los problemas de edades, llama $x$ a la edad actual de la persona menor y escribe las demás con $x$. Hace $n$ años restas $n$ a cada edad; dentro de $n$ años la sumas.
Fracciones de una cantidad total
Cuando se gasta una fracción del total y otra fracción de lo que queda, llama $x$ al total y resta paso a paso. Multiplica por el MCM para quitar denominadores.
Sobrante y faltante
Si la misma compra se paga con dos aportes distintos por persona, el precio es el mismo en las dos situaciones: iguala las dos expresiones.
Observa la siguiente balanza en equilibrio. Si todas las cajas azules son iguales y pesan $x$ kilogramos, y las pesas naranjas indican su peso en kg, plantea y resuelve…
Observa la siguiente balanza en equilibrio. Si todas las cajas azules son iguales y pesan $x$ kilogramos, y las pesas naranjas indican su peso en kg, plantea y resuelve la ecuación para hallar el valor de $x$.
Marcos y Lucía viven en pueblos distintos situados a una distancia de $24 \text{ km}$. A las 10:00 de la mañana, Lucía sale hacia el pueblo de Marcos en su bicicleta a…
Marcos y Lucía viven en pueblos distintos situados a una distancia de $24 \text{ km}$. A las 10:00 de la mañana, Lucía sale hacia el pueblo de Marcos en su bicicleta a una velocidad constante de $18 \text{ km/h}$. Media hora más tarde, Marcos sale al encuentro de Lucía en su scooter eléctrico, viajando a $25 \text{ km/h}$. ¿A qué distancia del pueblo de Lucía se cruzarán y a qué hora ocurrirá el encuentro?
En un laboratorio de química, se quiere rebajar la concentración de una solución de limpieza. Tenemos $12 \text{ litros}$ de un líquido que contiene un $20\%$ de alcohol…
En un laboratorio de química, se quiere rebajar la concentración de una solución de limpieza. Tenemos $12 \text{ litros}$ de un líquido que contiene un $20\%$ de alcohol puro. ¿Qué cantidad de agua destilada (sin alcohol) debemos añadir para que la mezcla final tenga una concentración de alcohol de solo el $15\%$?
Una empresa de diseño gráfico crea carteles rectangulares. En su último modelo, la base mide $10 \text{ cm}$ más que la altura. Para cumplir con un nuevo estándar,…
Una empresa de diseño gráfico crea carteles rectangulares. En su último modelo, la base mide $10 \text{ cm}$ más que la altura. Para cumplir con un nuevo estándar, deciden aumentar la base en $5 \text{ cm}$ y disminuir la altura en $2 \text{ cm}$. Si tras estos cambios el perímetro del nuevo cartel es de $110 \text{ cm}$, ¿cuáles eran las dimensiones originales del cartel?
La edad actual de un padre es el triple de la de su hijo. Hace cinco años, la suma de sus edades era la misma que la edad que tendrá el padre dentro de diez años. ¿Qué…
La edad actual de un padre es el triple de la de su hijo. Hace cinco años, la suma de sus edades era la misma que la edad que tendrá el padre dentro de diez años. ¿Qué edad tienen actualmente el padre y el hijo?
Un depósito de agua tiene dos caños de llenado y un desagüe. El primer caño puede llenar el depósito en $6 \text{ horas}$, y el segundo caño en $4 \text{ horas}$. Si el…
Un depósito de agua tiene dos caños de llenado y un desagüe. El primer caño puede llenar el depósito en $6 \text{ horas}$, y el segundo caño en $4 \text{ horas}$. Si el depósito está lleno, el desagüe puede vaciarlo por completo en $8 \text{ horas}$. Si abrimos los dos caños de llenado y el desagüe al mismo tiempo con el depósito vacío, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse completamente?
Un grupo de amigos quiere comprar un regalo de cumpleaños que cuesta un precio fijo. Si cada uno pone $\text{S/}\ 48$, les sobran $\text{S/}\ 16$ para el envoltorio.…
Un grupo de amigos quiere comprar un regalo de cumpleaños que cuesta un precio fijo. Si cada uno pone $\text{S/}\ 48$, les sobran $\text{S/}\ 16$ para el envoltorio. Pero si cada uno pone $\text{S/}\ 40$, les faltan $\text{S/}\ 48$ para poder comprarlo. ¿Cuántos amigos forman el grupo y cuánto cuesta el regalo?
Halla un número de tres cifras con las siguientes características: la cifra de las decenas es el doble que la de las unidades, y la de las centenas es el triple que la…
Halla un número de tres cifras con las siguientes características: la cifra de las decenas es el doble que la de las unidades, y la de las centenas es el triple que la de las unidades. Si sumamos las tres cifras, el resultado es el mismo que si a la cifra de las centenas le restamos la de las unidades y le sumamos 8. Una vez planteada la ecuación, indica cuál es el número. (Pista: llama $x$ a la cifra de las unidades).
Vuelve al principio: con $3x + 2 = 20$ se obtiene $3x = 18$, así que cada cuaderno cuesta S/ 6.