Perímetros y áreas de polígonos
Para saber cuánta malla necesitas para cercar la losa deportiva de tu colegio, mides el perímetro. Para saber cuánto pasto sintético o cuánta pintura hace falta, mides el área. Son dos preguntas distintas y cada una tiene su fórmula. Al final podrás responder: ¿dos figuras con el mismo perímetro tienen siempre la misma área?
Perímetro
En un cuadrado o en un rombo los cuatro lados son iguales, así que alcanza con multiplicar: $P = 4 \cdot l$. Un rombo de lado $6.5$ m tiene $P = 4 \cdot 6.5 = 26$ m.
Calcula el perímetro y el área del rectángulo de la figura, de $12$ cm de base y $7$ cm de altura.
Calcula el perímetro y el área del rectángulo de la figura, de $12$ cm de base y $7$ cm de altura.
Calcula mentalmente: a) El perímetro y el área de un cuadrado de $9$ cm de lado. b) El perímetro de un rombo cuyo lado mide $6.5$ m. c) El área de un rectángulo de $8$ m…
Calcula mentalmente:
- a) El perímetro y el área de un cuadrado de $9$ cm de lado.
- b) El perímetro de un rombo cuyo lado mide $6.5$ m.
- c) El área de un rectángulo de $8$ m de base y $6$ m de altura.
Área del rectángulo y el cuadrado
El área cuenta cuántos cuadraditos de $1$ unidad de lado caben dentro de la figura. En el rectángulo de la figura hay $4$ columnas y $4$ filas de cuadraditos: la cuenta es una multiplicación.
Para medir superficies grandes se usan otras unidades. Un campo de papa en la sierra se mide en hectáreas: $1\ \text{ha} = 10{,}000\ \text{m}^2$, que es más o menos un cuadrado de $100$ m por $100$ m. Y $1\ \text{km}^2 = 100\ \text{ha} = 1{,}000{,}000\ \text{m}^2$.
Una cartelera rectangular tiene un área de $48\ \text{m}^2$ y su base mide $8$ m. a) ¿Cuánto mide su altura? b) ¿Cuál es su perímetro? c) Si la cartelera tuviera el…
Una cartelera rectangular tiene un área de $48\ \text{m}^2$ y su base mide $8$ m.
- a) ¿Cuánto mide su altura?
- b) ¿Cuál es su perímetro?
- c) Si la cartelera tuviera el mismo área pero forma cuadrada, ¿sería posible? Razona tu respuesta.
Un campo de fútbol mide $105$ m de largo y $68$ m de ancho. a) Calcula su área en $\text{m}^2$. b) Expresa el área en hectáreas. Recuerda que…
Un campo de fútbol mide $105$ m de largo y $68$ m de ancho.
- a) Calcula su área en $\text{m}^2$.
- b) Expresa el área en hectáreas. Recuerda que $1\ \text{ha} = 10,000\ \text{m}^2$.
- c) ¿Cuántos campos de fútbol como este cabrían, aproximadamente, en un parque natural de $1\ \text{km}^2$?
Se quiere poner suelo nuevo en una terraza rectangular de $6$ m de largo y $4$ m de ancho usando losetas cuadradas de $40$ cm de lado, sin cortar ninguna. a) ¿Cuántas…
Se quiere poner suelo nuevo en una terraza rectangular de $6$ m de largo y $4$ m de ancho usando losetas cuadradas de $40$ cm de lado, sin cortar ninguna.
- a) ¿Cuántas losetas caben a lo largo y a lo ancho? ¿Cuántas losetas hacen falta en total?
- b) Las losetas se venden en cajas de $12$ unidades a $\text{S/}\ 75.80$ la caja. ¿Cuántas cajas hay que comprar? ¿Cuánto costará el suelo?
- c) ¿Cuál es el área de una loseta, en $\text{cm}^2$? Comprueba que el área total de las losetas usadas coincide con el área de la terraza (expresa ambas en $\text{m}^2$).
Área del triángulo
Eso se ve claro en un triángulo rectángulo, pero vale para cualquiera. ¿Por qué? Toma un triángulo cualquiera y haz una copia. Gira la copia media vuelta ($180°$) y pégala al original por un lado: las dos piezas forman un paralelogramo (romboide) de la misma base $b$ y la misma altura $h$. Ese paralelogramo tiene área $b \cdot h$, y el triángulo es la mitad.
Calcula el área del triángulo de la figura, de base $10$ m y altura $6$ m.
Calcula el área del triángulo de la figura, de base $10$ m y altura $6$ m.
Una valla publicitaria con forma triangular tiene una base de $4$ m y una altura de $3$ m. a) ¿Cuál es su área? b) Si el cartel se imprime por las dos caras, ¿qué…
Una valla publicitaria con forma triangular tiene una base de $4$ m y una altura de $3$ m.
- a) ¿Cuál es su área?
- b) Si el cartel se imprime por las dos caras, ¿qué superficie total hay que imprimir?
Para calcular el área de un triángulo de base $12$ cm y altura $7$ cm, un alumno ha hecho $12 \times 7 = 84$ y ha respondido: «el área es $84\ \text{cm}^2$». a) Explica…
Para calcular el área de un triángulo de base $12$ cm y altura $7$ cm, un alumno ha hecho $12 \times 7 = 84$ y ha respondido: «el área es $84\ \text{cm}^2$».
- a) Explica qué error ha cometido.
- b) Calcula el área correcta.
- c) El mismo alumno calcula el área de un rombo de diagonales $10$ cm y $6$ cm y obtiene $60\ \text{cm}^2$. ¿Vuelve a cometer el mismo error? Corrígelo.
Área del romboide y el trapecio
Para el perímetro del romboide no hace falta la altura: tiene dos lados de longitud $b$ y dos lados inclinados de longitud $c$, así que $P = 2 \cdot (b + c)$. Con $b = 7$ cm y $c = 4$ cm: $P = 2 \cdot (7 + 4) = 22$ cm.
El romboide de la figura tiene una base de $9$ cm y una altura de $5$ cm. a) Calcula su área. b) Si el lado inclinado del romboide mide $6$ cm, calcula también su…
El romboide de la figura tiene una base de $9$ cm y una altura de $5$ cm.
- a) Calcula su área.
- b) Si el lado inclinado del romboide mide $6$ cm, calcula también su perímetro.
Calcula el área del trapecio de la figura, cuyas bases miden $14$ m y $8$ m y su altura $6$ m.
Calcula el área del trapecio de la figura, cuyas bases miden $14$ m y $8$ m y su altura $6$ m.
El área de un trapecio es $84\ \text{m}^2$, su altura mide $7$ m y la base mayor $16$ m. a) Sustituye los datos en la fórmula del área del trapecio,…
El área de un trapecio es $84\ \text{m}^2$, su altura mide $7$ m y la base mayor $16$ m.
- a) Sustituye los datos en la fórmula del área del trapecio, $A = \frac{(B + b) \times h}{2}$, y plantea la ecuación correspondiente.
- b) Resuelve la ecuación y calcula cuánto mide la base menor.
- c) Comprueba tu resultado verificando que el área sale $84\ \text{m}^2$.
Área del rombo
Las diagonales se cortan en su punto medio. Por eso, cada uno de los cuatro triángulos rectángulos tiene como catetos la mitad de cada diagonal, $\dfrac{D}{2}$ y $\dfrac{d}{2}$: uno hace de base y el otro de altura, y su área es $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{D}{2} \cdot \dfrac{d}{2}$. Los cuatro juntos suman $\dfrac{D \cdot d}{2}$.
Calcula el área del rombo de la figura, cuyas diagonales miden $16$ cm y $10$ cm.
Calcula el área del rombo de la figura, cuyas diagonales miden $16$ cm y $10$ cm.
Las diagonales de un rombo miden $20$ cm y $14$ cm. a) Calcula su área. b) Si cortamos el rombo por sus dos diagonales, queda dividido en $4$ triángulos rectángulos…
Las diagonales de un rombo miden $20$ cm y $14$ cm.
- a) Calcula su área.
- b) Si cortamos el rombo por sus dos diagonales, queda dividido en $4$ triángulos rectángulos iguales. ¿Cuánto miden la base y la altura de cada uno de esos triángulos?
- c) Calcula el área de uno de esos triángulos y comprueba que las cuatro áreas suman el área del rombo.
Área del polígono regular
El hexágono regular de la figura tiene $6$ cm de lado y su apotema mide $5.2$ cm. a) Calcula su perímetro. b) Calcula su área usando la fórmula…
El hexágono regular de la figura tiene $6$ cm de lado y su apotema mide $5.2$ cm.
- a) Calcula su perímetro.
- b) Calcula su área usando la fórmula $A = \frac{P \times a}{2}$, donde $P$ es el perímetro y $a$ la apotema.
Área y perímetro: dos medidas independientes
Volvamos a la pregunta del principio. Tenemos $24$ m de malla para cercar un corral rectangular. ¿Todos los corrales posibles tienen la misma superficie?
| Base | Altura | Perímetro | Área |
|---|---|---|---|
| 11 m | 1 m | 24 m | 11 m² |
| 10 m | 2 m | 24 m | 20 m² |
| 8 m | 4 m | 24 m | 32 m² |
| 6 m | 6 m | 24 m | 36 m² |
Todos los rectángulos tienen el mismo perímetro, pero el área cambia. Entre los rectángulos de igual perímetro, el de mayor área es el cuadrado. Y al revés: un rectángulo de $4$ m por $3$ m y otro de $6$ m por $2$ m tienen la misma área, $12\ \text{m}^2$, pero perímetros distintos ($14$ m y $16$ m).
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, razonando tu respuesta o poniendo un contraejemplo: a) Si duplicamos los lados de un rectángulo, su área…
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, razonando tu respuesta o poniendo un contraejemplo:
- a) Si duplicamos los lados de un rectángulo, su área también se duplica.
- b) Un romboide y un rectángulo con la misma base y la misma altura tienen el mismo área.
- c) Un triángulo tiene la mitad de área que un rectángulo con su misma base y altura.
- d) Dos figuras con el mismo perímetro tienen siempre la misma área.
Una urbanización quiere vallar y sembrar de césped una parcela rectangular de $45$ m de largo y $28$ m de ancho. a) ¿Cuántos metros de valla hacen falta si se deja una…
Una urbanización quiere vallar y sembrar de césped una parcela rectangular de $45$ m de largo y $28$ m de ancho.
- a) ¿Cuántos metros de valla hacen falta si se deja una entrada de $3$ m sin vallar?
- b) Si la valla cuesta $\text{S/}\ 50$ el metro instalada, ¿cuál es el presupuesto para cerrar la parcela?
- c) El césped se vende en rollos de $5\ \text{m}^2$ a $\text{S/}\ 75.80$ el rollo. ¿Cuántos rollos hay que comprar y cuánto costarán?