Raíces
Quieres poner baldosas en el patio cuadrado de una casa en La Chorrera. El patio tiene $36\,\text{m}^2$ y necesitas saber cuánto mide cada lado. Buscas un número que, multiplicado por sí mismo, dé 36: es el 6. Acabas de calcular una raíz cuadrada. Las raíces deshacen las potencias, igual que la resta deshace la suma.
Qué es una raíz
La raíz cuadrada es el lado de un cuadrado del que conoces el área. La raíz cúbica es la arista de un cubo del que conoces el volumen. Prueba con distintas áreas y volúmenes:
Raíz de una fracción
La raíz de una fracción es la fracción de las raíces: $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. Se justifica porque $\left(\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\right)^2 = \dfrac{a}{b}$. Lo mismo vale para un decimal, escrito como fracción: $\sqrt{0.36} = \sqrt{\tfrac{36}{100}} = \tfrac{6}{10} = 0.6$.
Calcula mentalmente el valor de las siguientes raíces exactas. Recuerda prestar atención al índice de la raíz para saber qué número multiplicado por sí mismo (dos, tres…
Calcula mentalmente el valor de las siguientes raíces exactas. Recuerda prestar atención al índice de la raíz para saber qué número multiplicado por sí mismo (dos, tres o más veces) da como resultado el radicando.
- a) $\sqrt{49}$
- b) $\sqrt[3]{-8}$
- c) $\sqrt[4]{16}$
- d) $\sqrt{100}$
- e) $\sqrt[3]{1000}$
- f) $\sqrt[5]{-1}$
Las potencias y las raíces son operaciones inversas, igual que la suma y la resta. Expresa las siguientes igualdades en forma de raíz, siguiendo el ejemplo: Ejemplo:…
Las potencias y las raíces son operaciones inversas, igual que la suma y la resta. Expresa las siguientes igualdades en forma de raíz, siguiendo el ejemplo:
Ejemplo: Como $5^2 = 25$, entonces $\sqrt{25} = 5$
- a) $9^2 = 81$
- b) $6^3 = 216$
- c) $(-4)^3 = -64$
- d) $10^4 = 10000$
- e) $2^5 = 32$
Queremos colocar un suelo de corcho para un gimnasio en una habitación perfectamente cuadrada. Sabemos que la superficie total (el área) de la habitación es de…
Queremos colocar un suelo de corcho para un gimnasio en una habitación perfectamente cuadrada. Sabemos que la superficie total (el área) de la habitación es de $144 \text{ m}^2$.
Calcula cuánto mide cada lado de la habitación. Apóyate en el siguiente dibujo para visualizarlo.
¿Cuántas soluciones? El signo de una raíz
$3^2 = 9$, pero también $(-3)^2 = 9$. Entonces la ecuación $x^2 = 9$ tiene dos soluciones: $+3$ y $-3$. En cambio, $(-2)^3 = -8$ y ningún otro número al cubo da $-8$: con índice impar hay una sola solución.
| Índice | Radicando positivo | Radicando negativo |
|---|---|---|
| Par (2, 4, …) | $\sqrt{16} = 4$; la ecuación $x^2 = 16$ tiene soluciones $\pm 4$ | No existe en los reales: $\sqrt{-16}$ |
| Impar (3, 5, …) | Una raíz positiva: $\sqrt[3]{8} = 2$ | Una raíz negativa: $\sqrt[3]{-8} = -2$ |
Con radicando cero, $\sqrt[n]{0} = 0$ y la ecuación $x^n = 0$ tiene una única solución: $x = 0$.
Ecuaciones con una raíz cuadrada
Si la incógnita está dentro de la raíz, se hace al revés: se elevan al cuadrado los dos miembros, porque el cuadrado deshace la raíz. Después conviene comprobar la solución en la ecuación original.
Otro caso: $\sqrt{x} = 9$ se resuelve elevando al cuadrado: $x = 9^2 = 81$. Acá hay una sola solución, porque $\sqrt{x}$ nunca es negativa.
Calcula el valor numérico de las siguientes raíces exactas. Si la raíz tiene dos soluciones posibles, indícalas. Si no tiene solución en el conjunto de los números…
Calcula el valor numérico de las siguientes raíces exactas. Si la raíz tiene dos soluciones posibles, indícalas. Si no tiene solución en el conjunto de los números reales, explica por qué:
- a) $\sqrt[3]{-64}$
- b) $\sqrt[4]{81}$
- c) $\sqrt[6]{-1}$
- d) $\sqrt{\frac{121}{144}}$
Calcula mentalmente o mediante descomposición factorial el valor exacto de las siguientes raíces cuadradas. Si el resultado es una fracción o un decimal, exprésalo…
Calcula mentalmente o mediante descomposición factorial el valor exacto de las siguientes raíces cuadradas. Si el resultado es una fracción o un decimal, exprésalo correctamente.
- a) $\sqrt{121}$
- b) $\sqrt{400}$
- c) $\sqrt{0.36}$
- d) $\sqrt{\frac{64}{225}}$
Resuelve las siguientes ecuaciones sencillas donde la incógnita está relacionada con una raíz cuadrada o un cuadrado. Recuerda que la operación inversa de la raíz es la…
Resuelve las siguientes ecuaciones sencillas donde la incógnita está relacionada con una raíz cuadrada o un cuadrado. Recuerda que la operación inversa de la raíz es la potencia.
- a) $\sqrt{x} = 9$
- b) $x^2 = 169$ (Indica las dos posibles soluciones)
- c) $\sqrt{x + 1} = 5$
Analiza la veracidad de las siguientes afirmaciones matemáticas, justificando tu respuesta con ejemplos o contraejemplos. No vale con decir "verdadero" o "falso", debes…
Analiza la veracidad de las siguientes afirmaciones matemáticas, justificando tu respuesta con ejemplos o contraejemplos. No vale con decir "verdadero" o "falso", debes explicar el porqué basándote en la definición de raíz $n$-ésima:
- a) La raíz cuadrada de un número positivo tiene dos soluciones, mientras que la raíz cúbica de un número positivo solo tiene una.
- b) No existe ningún número real $x$ tal que $\sqrt[4]{x} = -2$.
- c) La expresión $\sqrt[n]{a}$ existe para cualquier número real $a$, siempre que $n$ sea un número impar.
- d) Si elevamos un número negativo a una potencia par y luego calculamos la raíz del mismo índice, obtenemos el número original (ejemplo: $\sqrt[4]{(-3)^4} = -3$).
Raíces no exactas
$\sqrt{50}$ no es entero, porque 50 no es un cuadrado perfecto. Pero puedes acotarla sin calculadora: $49 < 50 < 64$, así que $7 < \sqrt{50} < 8$. Como 50 está muy cerca de 49, $\sqrt{50}$ está muy cerca de 7 (con calculadora, $\sqrt{50} \approx 7.07$).
La raíz cuadrada de un entero positivo que no es cuadrado perfecto es irracional: tiene infinitas cifras decimales sin período. No confundas «no entero» con «irracional»: $\sqrt{0.25} = 0.5$ es racional. En los problemas se deja la raíz indicada (valor exacto) o se redondea (valor aproximado).
Estimar con una cifra decimal
Para estimar $\sqrt{60}$: $49 < 60 < 64$, así que está entre 7 y 8. Prueba con décimas: $7.7^2 = 59.29$ y $7.8^2 = 60.84$. Como $59.29 < 60 < 60.84$, es $7.7 < \sqrt{60} < 7.8$, y 60 queda más cerca de $59.29$ que de $60.84$: la estimación es $\approx 7.7$. La diferencia entre tu estimación y el valor real (en valor positivo) es el error de la estimación.
Las raíces no exactas aparecen con el teorema de Pitágoras. Un triángulo rectángulo de catetos 1 y 1 tiene hipotenusa $\sqrt{2}$; con catetos 5 y 2, la hipotenusa es $\sqrt{29}$. Así se las puede construir con regla y compás sobre la recta numérica: se dibuja el triángulo, se apoya el compás en el origen con abertura igual a la hipotenusa y se marca el punto sobre la recta.
No todas las raíces dan un número entero exacto. Sin usar calculadora, indica entre qué dos números enteros consecutivos se encuentran las siguientes raíces. Ejemplo:…
No todas las raíces dan un número entero exacto. Sin usar calculadora, indica entre qué dos números enteros consecutivos se encuentran las siguientes raíces.
Ejemplo: $\sqrt{10}$ está entre 3 y 4, porque $3^2=9$ y $4^2=16$.
- a) $\sqrt{20}$
- b) $\sqrt{55}$
- c) $\sqrt{90}$
- d) $\sqrt[3]{9}$ (Piensa en cubos: $1^3=1, 2^3=8, 3^3=27...$)
En matemáticas es muy importante no confundir las propiedades de las operaciones. Comprueba si la raíz de una suma es igual a la suma de las raíces con el siguiente…
En matemáticas es muy importante no confundir las propiedades de las operaciones. Comprueba si la raíz de una suma es igual a la suma de las raíces con el siguiente ejemplo.
Calcula por separado:
-
$\sqrt{64 + 36}$ (Primero suma los números de dentro y luego haz la raíz).
-
$\sqrt{64} + \sqrt{36}$ (Calcula cada raíz por separado y luego suma los resultados).
¿Dan el mismo resultado? Concluye si es cierto que $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
Observa la siguiente recta numérica donde se han marcado tres puntos aproximados (A, B y C). Sin usar calculadora, asocia razonadamente cada uno de los siguientes…
Observa la siguiente recta numérica donde se han marcado tres puntos aproximados (A, B y C).
Sin usar calculadora, asocia razonadamente cada uno de los siguientes radicales con el punto (A, B o C) que mejor represente su valor, estimando entre qué números enteros se encuentran:
-
$\sqrt{5}$
-
$\sqrt[3]{2}$
-
$\sqrt{10}$
Estima sin usar calculadora el valor de $\sqrt{60}$ con una cifra decimal. Para ello: 1. Encuentra los dos cuadrados perfectos más cercanos a 60. 2. Interpola…
Estima sin usar calculadora el valor de $\sqrt{60}$ con una cifra decimal. Para ello:
-
Encuentra los dos cuadrados perfectos más cercanos a 60.
-
Interpola linealmente o utiliza el método de "tanteo" razonado para aproximar el primer decimal.
-
Una vez tengas tu estimación, calcula el error absoluto cometido sabiendo que el valor real aproximado es $7.74$.
Aplicaciones y comparación de raíces
Para comparar raíces con distinto índice sin calculadora, eleva todo a una potencia común para eliminar las raíces.
Las raíces también resuelven problemas de volúmenes y diagonales. Si un volumen se multiplica por 27, la arista (o el radio) se multiplica por $\sqrt[3]{27} = 3$. Y la diagonal de una caja de aristas $a$, $b$, $c$ sale de aplicar Pitágoras dos veces: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.
A veces es necesario introducir factores dentro de una raíz para poder comparar números o realizar ciertas operaciones. Introduce los factores dentro del radical y…
A veces es necesario introducir factores dentro de una raíz para poder comparar números o realizar ciertas operaciones. Introduce los factores dentro del radical y simplifica el resultado:
- a) $3 \times \sqrt{2}$
- b) $2 \times \sqrt[3]{5}$
- c) $\frac{1}{2} \times \sqrt{20}$
Queremos guardar una varilla metálica muy larga dentro de una caja con forma de ortoedro (una caja de zapatos rectangular). Las dimensiones de la caja son…
Queremos guardar una varilla metálica muy larga dentro de una caja con forma de ortoedro (una caja de zapatos rectangular). Las dimensiones de la caja son $30 \text{ cm}$ de largo, $40 \text{ cm}$ de ancho y $120 \text{ cm}$ de alto.
Calcula la longitud máxima exacta que puede tener la varilla para caber dentro de la caja sin doblarse (colocándola en la diagonal espacial). Expresa el resultado primero con una raíz y luego calcula su valor exacto.
Tenemos dos depósitos de agua con forma esférica. Sabemos que el volumen del depósito grande es 27 veces el volumen del depósito pequeño. Si el radio del depósito…
Tenemos dos depósitos de agua con forma esférica. Sabemos que el volumen del depósito grande es 27 veces el volumen del depósito pequeño.
Si el radio del depósito pequeño mide $r = 50 \text{ cm}$, ¿cuánto mide el radio del depósito grande ($R$)?
Nota: Recuerda que el volumen de una esfera depende del cubo del radio ($V \propto r^3$). No necesitas la fórmula exacta del volumen, razona utilizando la relación entre volúmenes y la raíz cúbica.
Sin utilizar la calculadora para hallar el valor decimal, ordena los siguientes números de menor a mayor. Debes transformar los números para poder compararlos (por…
Sin utilizar la calculadora para hallar el valor decimal, ordena los siguientes números de menor a mayor. Debes transformar los números para poder compararlos (por ejemplo, introduciendo factores dentro de la raíz o elevando todos a una potencia común para eliminar las raíces):
$$ A = \sqrt{10} \quad , \quad B = \sqrt[3]{30} \quad , \quad C = 3 $$Explica paso a paso el método que has utilizado para compararlos.
Para representar números irracionales de forma exacta en la recta real, utilizamos el Teorema de Pitágoras. Sabemos que la hipotenusa de un triángulo rectángulo con…
Para representar números irracionales de forma exacta en la recta real, utilizamos el Teorema de Pitágoras. Sabemos que la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1 es $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. Siguiendo esta lógica:
Explica detalladamente, paso a paso, cómo representarías en la recta numérica el número $\sqrt{29}$ utilizando una regla y un compás. Debes indicar qué números enteros utilizarías como medidas para los catetos del triángulo rectángulo auxiliar. Apóyate en el siguiente esquema visual para tu razonamiento.
Raíces como potencias
Si $\left(a^{1/2}\right)^2 = a^{1/2 \cdot 2} = a^1 = a$, entonces $a^{1/2}$ es un número que al cuadrado da $a$: es $\sqrt{a}$. En general:
Se usa con bases positivas. Con bases negativas hay que tener cuidado: por ejemplo, $\sqrt{x^2} = |x|$.
Simplificar un radical es lo mismo que simplificar la fracción del exponente: $\sqrt[6]{x^4} = x^{4/6} = x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}$. En la práctica, se dividen el índice y el exponente por un mismo número.
Cualquier raíz puede escribirse como una potencia con exponente fraccionario. La regla general es $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$. Convierte las siguientes…
Cualquier raíz puede escribirse como una potencia con exponente fraccionario. La regla general es $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
Convierte las siguientes expresiones:
- De raíz a potencia:
a) $\sqrt{5}$
b) $\sqrt[3]{2}$
c) $\sqrt[5]{x^3}$
- De potencia a raíz:
d) $3^{\frac{1}{2}}$
e) $7^{\frac{2}{3}}$
f) $a^{\frac{1}{4}}$
Simplifica los siguientes radicales hasta obtener una raíz irreducible. Para ello, recuerda que puedes dividir el índice de la raíz y el exponente del radicando por un…
Simplifica los siguientes radicales hasta obtener una raíz irreducible. Para ello, recuerda que puedes dividir el índice de la raíz y el exponente del radicando por un mismo número (MCD).
- a) $\sqrt[6]{x^4}$
- b) $\sqrt[12]{64}$ (Ayuda: primero factoriza el 64)
- c) $\sqrt[10]{a^5 \times b^{15}}$