Medida de ángulos: grados y radianes
Hasta ahora mediste los ángulos en grados sexagesimales: una unidad arbitraria, heredada de los babilonios, que divide la vuelta en $360$ partes sin más razón que la tradición. En 11.° grado aparece una segunda unidad, el radián, que no es arbitraria: sale de comparar un arco de circunferencia con su radio. Es la unidad que usan la física y la ingeniería porque simplifica las fórmulas de rotación. Y una pregunta para el final: en una fiesta de Carnaval en Las Tablas, un disco de vinilo gira a $33$ rpm. ¿Cuántos radianes recorre un punto de su borde en cada segundo?
El radián: cuando el arco mide lo mismo que el radio
Imagina que tomas el radio de una circunferencia y lo apoyas sobre el borde, como si fuera un hilo que se curva. El ángulo central que abarca ese arco, de longitud igual al radio, es un radián. No importa si la circunferencia es pequeña o enorme: la proporción entre el arco y el radio es siempre la misma para ese ángulo.
La circunferencia entera mide $2\pi r$ y cada radián ocupa un arco de longitud $r$: en una vuelta completa entran exactamente $2\pi$ radianes. Por eso $2\pi$ rad equivalen a $360^\circ$. No es casualidad: sale de la definición.
Un ángulo mide exactamente $3$ radianes. Sin utilizar la calculadora, razona si este ángulo es mayor, menor o igual a un ángulo llano ($180^\circ$) y determina en qué…
Un ángulo mide exactamente $3$ radianes. Sin utilizar la calculadora, razona si este ángulo es mayor, menor o igual a un ángulo llano ($180^\circ$) y determina en qué cuadrante se encuentra.
Conversión entre grados y radianes
Una vuelta completa son $360^\circ$ y también $2\pi$ rad. Esa equivalencia permite convertir con una regla de tres.
Expresa en radianes, utilizando fracciones irreducibles de $\pi$, los siguientes ángulos dados en grados sexagesimales: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ y…
Expresa en radianes, utilizando fracciones irreducibles de $\pi$, los siguientes ángulos dados en grados sexagesimales: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ y $330^\circ$.
Convierte a grados sexagesimales los siguientes ángulos expresados en radianes: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ y $\frac{11\pi}{3}$.
Convierte a grados sexagesimales los siguientes ángulos expresados en radianes: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ y $\frac{11\pi}{3}$.
Suma de ángulos interiores de triángulos y polígonos
Algunos problemas piden datos de figuras: para resolverlos necesitas dos hechos que ya conoces de años anteriores.
Calcula la suma de los ángulos interiores de un octógono regular y expresa el valor de cada uno de sus ángulos interiores en radianes, utilizando fracciones de $\pi$.
Calcula la suma de los ángulos interiores de un octógono regular y expresa el valor de cada uno de sus ángulos interiores en radianes, utilizando fracciones de $\pi$.
Los tres ángulos de un triángulo están en progresión aritmética. Si se sabe que el ángulo mayor mide $80^\circ$, determina la medida de los tres ángulos expresada en…
Los tres ángulos de un triángulo están en progresión aritmética. Si se sabe que el ángulo mayor mide $80^\circ$, determina la medida de los tres ángulos expresada en radianes (utilizando fracciones de $\pi$).
Vueltas completas, ángulos negativos y cuadrantes
Igual que en grados, un ángulo en radianes puede superar $2\pi$ (más de una vuelta) o ser negativo (giro en sentido horario). Para saber dónde termina, suma o resta vueltas completas ($360^\circ$ o $2\pi$ rad) hasta dejarlo entre $0$ y $2\pi$ (o entre $0^\circ$ y $360^\circ$). Después ubicas el cuadrante.
Reduce los siguientes ángulos al primer giro (es decir, encuentra su ángulo equivalente entre $0^\circ$ y $360^\circ$) e indica en qué cuadrante se sitúa el lado final…
Reduce los siguientes ángulos al primer giro (es decir, encuentra su ángulo equivalente entre $0^\circ$ y $360^\circ$) e indica en qué cuadrante se sitúa el lado final de cada uno: $1250^\circ$ y $2460^\circ$.
Encuentra el ángulo positivo equivalente en la primera vuelta (comprendido entre $0$ y $2\pi$ rad) para los siguientes ángulos negativos: $-\frac{\pi}{4}$ y…
Encuentra el ángulo positivo equivalente en la primera vuelta (comprendido entre $0$ y $2\pi$ rad) para los siguientes ángulos negativos: $-\frac{\pi}{4}$ y $-\frac{13\pi}{6}$.
Ángulos en el reloj
Un reloj analógico es una circunferencia con $12$ horas y $60$ minutos, así que sus agujas barren ángulos que puedes calcular con una regla de tres.
Calcula el ángulo menor, expresado en grados sexagesimales y en radianes, que forman las agujas de un reloj analógico (horaria y minutero) exactamente a las 16:20 h.
Calcula el ángulo menor, expresado en grados sexagesimales y en radianes, que forman las agujas de un reloj analógico (horaria y minutero) exactamente a las 16:20 h.
Determina la hora exacta, comprendida entre las 7:00 h y las 8:00 h, en la que las agujas de un reloj analógico (horaria y minutero) se encuentran perfectamente…
Determina la hora exacta, comprendida entre las 7:00 h y las 8:00 h, en la que las agujas de un reloj analógico (horaria y minutero) se encuentran perfectamente superpuestas. Expresa también el ángulo total barrido por la aguja horaria desde las 7:00 h hasta ese instante preciso, en radianes.
Longitud de arco y área de un sector circular
Aquí el radián muestra su utilidad: como $1$ rad es un arco igual al radio, la longitud de cualquier arco es el ángulo (en radianes) multiplicado por el radio, sin factores extra.
Calcula el ángulo central subtendido por un arco de $12$ cm de longitud en una circunferencia cuyo radio es de $4$ cm. Expresa el resultado tanto en radianes como en…
Calcula el ángulo central subtendido por un arco de $12$ cm de longitud en una circunferencia cuyo radio es de $4$ cm. Expresa el resultado tanto en radianes como en grados sexagesimales.
Determina la longitud del arco que describe el extremo inferior de un péndulo de $60$ cm de longitud cuando oscila un ángulo de $\frac{\pi}{8}$ radianes.
Determina la longitud del arco que describe el extremo inferior de un péndulo de $60$ cm de longitud cuando oscila un ángulo de $\frac{\pi}{8}$ radianes.
Una noria de feria tiene un diámetro de $40$ metros y cuenta con $24$ cabinas espaciadas uniformemente a lo largo de su borde exterior. Calcula la distancia a lo largo…
Una noria de feria tiene un diámetro de $40$ metros y cuenta con $24$ cabinas espaciadas uniformemente a lo largo de su borde exterior. Calcula la distancia a lo largo del arco de la noria que separa dos cabinas consecutivas y el ángulo en radianes que forman respecto al eje central.
Despejar el radio, el ángulo o sumar arcos
La fórmula $s=r\theta$ liga tres datos: con dos de ellos obtienes el tercero, $\theta=\dfrac{s}{r}$ o $r=\dfrac{s}{\theta}$. Sirve igual para una pista curva que para la Tierra, que es casi una esfera.
Arcos que se van achicando
Si un péndulo pierde energía, cada arco es una fracción $q$ del anterior ($0 En una pista de atletismo circular, un corredor se desplaza por la calle interior manteniéndose a $50$ metros del centro. Si recorre una distancia de $120$ metros, calcula el ángulo que ha descrito respecto al centro de la pista en radianes. Expresa también este resultado en grados, minutos y segundos. Dos ciudades, A y B, se encuentran situadas sobre el mismo meridiano terrestre. La latitud de la ciudad A es $41^\circ$ Norte y la latitud de la ciudad B es $28^\circ$ Sur. Asumiendo que la Tierra es una esfera perfecta con un radio medio de $6371$ km, calcula la distancia en línea recta sobre la superficie terrestre que separa ambas ciudades. En el histórico experimento de Eratóstenes, se observó que en la ciudad de Siena los rayos del sol incidían perpendicularmente al suelo (ángulo $0^\circ$) en el mediodía del solsticio de verano. Al mismo tiempo, en Alejandría, situada aproximadamente a $800$ km al norte sobre el mismo meridiano, los rayos formaban un ángulo de $\frac{\pi}{25}$ radianes con la vertical. A partir exclusivamente de estos datos, deduce el radio de la Tierra y la longitud de su circunferencia meridiana. Un péndulo de longitud $L = 1$ metro oscila describiendo arcos de circunferencia; cada oscilación es el recorrido de un extremo al extremo opuesto. En su primera oscilación, el ángulo máximo que forma con la vertical es de $\frac{\pi}{6}$ radianes. Debido a la fricción, en cada oscilación posterior, el ángulo máximo alcanzado se reduce en un $10\%$ respecto a la oscilación inmediatamente anterior. Planteando la suma de la serie geométrica infinita correspondiente, calcula la distancia total recorrida por la masa del péndulo hasta detenerse por completo.En una pista de atletismo circular, un corredor se desplaza por la calle interior manteniéndose a $50$ metros del centro. Si recorre una distancia de $120$ metros,…
Dos ciudades, A y B, se encuentran situadas sobre el mismo meridiano terrestre. La latitud de la ciudad A es $41^\circ$ Norte y la latitud de la ciudad B es $28^\circ$…
En el histórico experimento de Eratóstenes, se observó que en la ciudad de Siena los rayos del sol incidían perpendicularmente al suelo (ángulo $0^\circ$) en el mediodía…
Un péndulo de longitud $L = 1$ metro oscila describiendo arcos de circunferencia; cada oscilación es el recorrido de un extremo al extremo opuesto. En su primera…
Sector circular: comparar áreas
En $A=\dfrac{1}{2}r^2\theta$ el radio está al cuadrado: si duplicas el radio, el área se multiplica por $4$. Por eso, para conservar el área con un radio mayor, el ángulo tiene que reducirse.
Un aspersor de riego agrícola cubre un sector circular. El chorro de agua alcanza una distancia máxima de $18$ metros y la cabeza del aspersor barre un ángulo de…
Un aspersor de riego agrícola cubre un sector circular. El chorro de agua alcanza una distancia máxima de $18$ metros y la cabeza del aspersor barre un ángulo de $140^\circ$. Calcula el área total del terreno regado y la longitud del arco exterior que describe el agua.
Se tiene un sector circular inicial de radio $R$ y ángulo central $\alpha$ (en radianes). Se diseña un nuevo sector circular con el objetivo de que su área sea…
Se tiene un sector circular inicial de radio $R$ y ángulo central $\alpha$ (en radianes). Se diseña un nuevo sector circular con el objetivo de que su área sea exactamente igual a la del sector original. Si por restricciones de diseño el radio del nuevo sector debe ser el triple que el original ($3R$), determina algebraicamente qué fracción del ángulo $\alpha$ debe tener el nuevo sector.
Rodar y transmitir giros
Cuando una correa, un engranaje o el suelo mueven una pieza sin deslizar, cada punto de contacto recorre el mismo arco. Con $s=r\theta$ eso da una regla sencilla.
El sistema de transmisión de una máquina industrial consta de dos poleas conectadas por una correa tensa. La polea motriz tiene un radio de $15$ cm y la polea conducida…
El sistema de transmisión de una máquina industrial consta de dos poleas conectadas por una correa tensa. La polea motriz tiene un radio de $15$ cm y la polea conducida tiene un radio de $45$ cm. Si la polea motriz gira un ángulo de $\frac{7\pi}{2}$ radianes, calcula cuántos radianes gira la polea conducida y cuántas vueltas completas da.
Un tren de engranajes está compuesto por tres ruedas dentadas A, B y C montadas en serie, de forma que A engrana con B, y B engrana con C. Los radios primitivos de las…
Un tren de engranajes está compuesto por tres ruedas dentadas A, B y C montadas en serie, de forma que A engrana con B, y B engrana con C. Los radios primitivos de las ruedas son $R_A = 12$ cm, $R_B = 8$ cm y $R_C = 20$ cm. Si la rueda A gira un ángulo de $150^\circ$ en sentido horario, determina el ángulo de giro de la rueda C en radianes y especifica su sentido de giro.
Un rodillo cilíndrico de $25$ cm de radio se utiliza para compactar el asfalto de una calle. Al empujarlo, el rodillo avanza en línea recta rodando sin deslizar y da…
Un rodillo cilíndrico de $25$ cm de radio se utiliza para compactar el asfalto de una calle. Al empujarlo, el rodillo avanza en línea recta rodando sin deslizar y da exactamente $14.5$ vueltas completas. Calcula la distancia horizontal recorrida por el eje del rodillo en metros y el ángulo total girado por cualquier punto de su superficie, expresado en grados sexagesimales.
Velocidad angular: cuántos radianes por segundo
Cuando algo gira (un disco, una rueda, el haz de un faro) interesa saber qué ángulo recorre por unidad de tiempo. Eso es la velocidad angular, y se mide en radianes por segundo.
Vuelve al principio: en la fiesta de Las Tablas, el borde del disco a $33$ rpm recorre $\dfrac{11\pi}{10}\approx3.46$ rad cada segundo.
Un disco de vinilo gira en un tocadiscos a una velocidad de $33$ revoluciones por minuto (rpm). Calcula su velocidad angular en radianes por segundo y determina el…
Un disco de vinilo gira en un tocadiscos a una velocidad de $33$ revoluciones por minuto (rpm). Calcula su velocidad angular en radianes por segundo y determina el ángulo, en radianes, que describe un punto de su borde en $2.5$ segundos.
El radio de las ruedas de un automóvil es de $32$ cm. Si el vehículo viaja a una velocidad constante de $90$ km/h, calcula la velocidad angular de las ruedas expresada…
El radio de las ruedas de un automóvil es de $32$ cm. Si el vehículo viaja a una velocidad constante de $90$ km/h, calcula la velocidad angular de las ruedas expresada en radianes por segundo. Posteriormente, determina el ángulo total girado por una rueda en un trayecto de $15$ minutos y conviértelo a número de vueltas completas.
Un faro marítimo proyecta un haz de luz que gira a una velocidad angular constante de $4$ revoluciones por minuto. El haz ilumina la superficie del mar hasta una…
Un faro marítimo proyecta un haz de luz que gira a una velocidad angular constante de $4$ revoluciones por minuto. El haz ilumina la superficie del mar hasta una distancia máxima de $5$ km. Debido a la orografía de la costa, existe un sector ciego de $\frac{2\pi}{5}$ radianes hacia tierra adentro donde la luz no es visible. Calcula el área total del mar que ilumina el faro en cada vuelta completa y el tiempo exacto en segundos que el haz de luz tarda en atravesar la zona visible.