Secciones cónicas y lugares geométricos
Una antena parabólica en una azotea de Colón, la órbita de un planeta, el arco de un puente y el reflector de un faro parecen no tener relación. Sin embargo, las curvas que describen son solo cuatro, y las cuatro salen de cortar un cono con un plano. En este apartado las conocerás como lugares geométricos: el conjunto de puntos que cumplen una condición de distancias. La circunferencia ya la conoces; ahora llegan la elipse, la hipérbola y la parábola.
Cortar un cono: de dónde salen las cónicas
La hipérbola aparece cuando el plano es casi paralelo al eje y corta las dos hojas del cono (el cono y su «gemelo» opuesto por el vértice, como un reloj de arena).
Un cono de revolución se corta con un plano que no pasa por su vértice. Si el plano es paralelo a una única generatriz del cono, ¿qué sección cónica se obtiene?…
Un cono de revolución se corta con un plano que no pasa por su vértice. Si el plano es paralelo a una única generatriz del cono, ¿qué sección cónica se obtiene? Justifica tu respuesta basándote en la definición geométrica de las secciones cónicas.
El lugar geométrico: mediatriz y circunferencia
Dos lugares que ya conoces son la circunferencia (puntos a distancia fija $r$ de un centro) y la mediatriz (puntos que equidistan de dos puntos $A$ y $B$). Mueve el punto y comprueba la condición:
El método para hallar la ecuación es siempre el mismo:
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Llama $P(x, y)$ al punto genérico.
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Escribe la condición con la fórmula de distancia $d(P, A) = \sqrt{(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2}$.
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Elimina las raíces elevando al cuadrado y simplifica.
También sirve para hallar el centro de una circunferencia que pasa por tres puntos. El centro equidista de los tres, así que está en la intersección de dos mediatrices.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al origen de coordenadas es siempre igual a $5$.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al origen de coordenadas es siempre igual a $5$.
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$. ¿Qué figura geométrica representa?
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$. ¿Qué figura geométrica representa?
Durante una excavación arqueológica se descubre un fragmento del borde de un plato circular antiguo. Para reconstruir su tamaño original, se digitaliza el fragmento y se…
Durante una excavación arqueológica se descubre un fragmento del borde de un plato circular antiguo. Para reconstruir su tamaño original, se digitaliza el fragmento y se toman tres puntos de su contorno: $A(-2, 1)$, $B(2, 5)$ y $C(4, 1)$. Utilizando el concepto de lugar geométrico (intersección de mediatrices), calcula las coordenadas del centro original del plato y su radio.
Distancia de un punto a una recta
Para lugares que involucran rectas necesitas medir la distancia de un punto a una recta. Es la longitud del segmento perpendicular desde el punto hasta la recta.
Con esta fórmula puedes hallar el lugar de los puntos que están a distancia fija $k$ de una recta. Igualas $\dfrac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2+B^2}} = k$ y quitas el valor absoluto con dos signos: salen dos rectas paralelas, una a cada lado.
Halla las ecuaciones del lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia constante de $3$ unidades de la recta $4x - 3y + 2 = 0$.
Halla las ecuaciones del lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia constante de $3$ unidades de la recta $4x - 3y + 2 = 0$.
Determina el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas paralelas $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: x + 2y + 6 = 0$.
Determina el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas paralelas $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: x + 2y + 6 = 0$.
Puntos que equidistan de dos rectas: las bisectrices
Si dos rectas se cortan, los puntos que equidistan de ambas forman las bisectrices de los ángulos que determinan. Mueve el punto del interactivo y observa:
Para hallar su ecuación igualas las distancias de $P(x, y)$ a las dos rectas:
$$\frac{|A_1x + B_1y + C_1|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \frac{|A_2x + B_2y + C_2|}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$$y quitas los valores absolutos con los signos $+$ y $-$. Salen dos rectas perpendiculares entre sí, las dos bisectrices.
Determina las ecuaciones de los lugares geométricos de los puntos que equidistan de las rectas secantes $r: 3x - 4y + 5 = 0$ y $s: 4x + 3y - 1 = 0$.
Determina las ecuaciones de los lugares geométricos de los puntos que equidistan de las rectas secantes $r: 3x - 4y + 5 = 0$ y $s: 4x + 3y - 1 = 0$.
En el plano de una ciudad, dos avenidas rectas siguen las ecuaciones $r: 2x + y - 4 = 0$ y $s: x - 2y + 3 = 0$. Se desea construir una plaza en un punto que equidiste de…
En el plano de una ciudad, dos avenidas rectas siguen las ecuaciones $r: 2x + y - 4 = 0$ y $s: x - 2y + 3 = 0$. Se desea construir una plaza en un punto que equidiste de ambas avenidas y que, por restricciones urbanísticas, esté situado sobre la calle peatonal $x + y = 5$. Calcula las coordenadas de las posibles ubicaciones para la plaza.
Condiciones con razón de distancias
Hasta ahora las condiciones eran de igualdad. Ahora la relación entre distancias puede ser más rica, por ejemplo «una distancia es el doble de la otra». Aquí hay que elevar al cuadrado con cuidado.
En un proyecto de telecomunicaciones, se ubican dos antenas emisoras en los puntos $A(-3.0)$ y $B(3,0)$ de un plano cartesiano (en km). Un receptor $R(x,y)$ se mueve de…
En un proyecto de telecomunicaciones, se ubican dos antenas emisoras en los puntos $A(-3.0)$ y $B(3,0)$ de un plano cartesiano (en km). Un receptor $R(x,y)$ se mueve de forma que su distancia a la antena $A$ es siempre el doble que su distancia a la antena $B$. Halla la ecuación del lugar geométrico que describe el receptor e identifica de qué cónica se trata, indicando su centro y su radio.
Suma y diferencia de cuadrados de distancias
Cuando la condición ya viene con distancias elevadas al cuadrado, no hay raíces que quitar y la ecuación sale directa.
Halla el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos $A(1,0)$ y $B(-1.0)$ es igual a $8$, es decir,…
Halla el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos $A(1,0)$ y $B(-1.0)$ es igual a $8$, es decir, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 8$.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos $A(2,0)$ y $B(-2.0)$ es igual a $20$.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos $A(2,0)$ y $B(-2.0)$ es igual a $20$.
Tres sensores sísmicos están ubicados en las coordenadas $A(0,0)$, $B(4,0)$ y $C(0,4)$. Un dron de calibración vuela en el mismo plano de modo que la suma de los…
Tres sensores sísmicos están ubicados en las coordenadas $A(0,0)$, $B(4,0)$ y $C(0,4)$. Un dron de calibración vuela en el mismo plano de modo que la suma de los cuadrados de sus distancias a los tres sensores se mantiene constante e igual a $50$. Halla la ecuación del lugar geométrico de la trayectoria del dron y describe la figura resultante.
Un velero navega de modo que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a dos boyas situadas en $A(-3, -1)$ y $B(5, 5)$ es siempre constante e igual a $32$. Es…
Un velero navega de modo que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a dos boyas situadas en $A(-3, -1)$ y $B(5, 5)$ es siempre constante e igual a $32$. Es decir, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 32$. Halla la ecuación del lugar geométrico de la trayectoria del velero y demuestra analíticamente que dicha trayectoria es una recta perpendicular al segmento que une las dos boyas.
Elipse e hipérbola como lugares geométricos
Si en vez de la razón de dos distancias usas su suma o su diferencia, aparecen las otras dos cónicas.
Es lo que hace un jardinero con una cuerda atada a dos estacas: la longitud de la cuerda es la suma constante.
Para la hipérbola el procedimiento es el mismo y el resultado es $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, con $b^2 = c^2 - a^2$. Si $d(P,F_1) - d(P,F_2)$ es positiva, el punto está en la rama más cercana a $F_2$.
Para diseñar un parterre elíptico en un parque, un jardinero clava dos estacas en el suelo en los puntos $(-3.0)$ y $(3,0)$ (medidas en metros). Luego, ata los extremos…
Para diseñar un parterre elíptico en un parque, un jardinero clava dos estacas en el suelo en los puntos $(-3.0)$ y $(3,0)$ (medidas en metros). Luego, ata los extremos de una cuerda de $10\text{ m}$ de longitud a ambas estacas y, manteniendo la cuerda tensa con un punzón, traza el contorno sobre la tierra. Halla la ecuación del lugar geométrico del borde del parterre.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En un sistema de navegación hiperbólica, un barco recibe señales de radio simultáneas desde dos estaciones costeras ubicadas en $A(-5.0)$ y $B(5,0)$ (en decenas de km).…
En un sistema de navegación hiperbólica, un barco recibe señales de radio simultáneas desde dos estaciones costeras ubicadas en $A(-5.0)$ y $B(5,0)$ (en decenas de km). El retardo en la recepción de la señal indica que el barco se encuentra siempre $60\text{ km}$ más cerca de la estación $B$ que de la estación $A$. Obtén la ecuación del lugar geométrico sobre el cual navega el barco.
Un rayo láser parte del foco $F_1(c,0)$ de una elipse reflectante, rebota en un punto $P(x,y)$ de su superficie y llega directamente al otro foco $F_2(-c,0)$. Si la…
Un rayo láser parte del foco $F_1(c,0)$ de una elipse reflectante, rebota en un punto $P(x,y)$ de su superficie y llega directamente al otro foco $F_2(-c,0)$. Si la distancia total recorrida por el rayo de luz es de $10$ unidades y la distancia focal es de $6$ unidades, deduce la ecuación reducida del lugar geométrico de la elipse utilizando su definición basada en distancias.
Otras condiciones: pendientes, ángulo recto y productos
La misma idea sirve con otras condiciones geométricas: pendientes, ángulos o productos de distancias.
Con el producto de pendientes constante $-m$, $m > 0$, el mismo método da una elipse. Con el producto de distancias a dos ejes constante, por ejemplo $|x| \cdot |y| = c$, da $xy = \pm c$: una hipérbola cuyas asíntotas son los ejes.
Una cámara de seguridad ubicada en un punto móvil $P(x,y)$ debe vigilar un pasillo lineal definido por el segmento $AB$, con extremos en $A(-4.0)$ y $B(4,0)$. Para que…
Una cámara de seguridad ubicada en un punto móvil $P(x,y)$ debe vigilar un pasillo lineal definido por el segmento $AB$, con extremos en $A(-4.0)$ y $B(4,0)$. Para que los sensores de la cámara funcionen de manera óptima, el ángulo de visión $\angle APB$ debe ser exactamente de $90^\circ$. Halla analíticamente el lugar geométrico de las posibles posiciones de la cámara, excluyendo los puntos $A$ y $B$. Describe la figura resultante.
En un mecanismo articulado, dos varillas giran alrededor de los pivotes fijos $A(-a,0)$ y $B(a,0)$. El mecanismo está diseñado de modo que el producto de las pendientes…
En un mecanismo articulado, dos varillas giran alrededor de los pivotes fijos $A(-a,0)$ y $B(a,0)$. El mecanismo está diseñado de modo que el producto de las pendientes de ambas varillas en su punto de intersección $P(x,y)$ es siempre una constante negativa $-k^2$ (con $k > 0$). Demuestra que el lugar geométrico del punto $P$ es una elipse y determina la longitud de sus semiejes en función de $a$ y $k$.
En un estudio acústico, dos fuentes sonoras emiten ondas sobre ejes perpendiculares que coinciden con los ejes de coordenadas. El lugar geométrico de los puntos donde el…
En un estudio acústico, dos fuentes sonoras emiten ondas sobre ejes perpendiculares que coinciden con los ejes de coordenadas. El lugar geométrico de los puntos donde el producto de las distancias a ambos ejes es constante e igual a $16$ define unas curvas isofónicas. Halla la ecuación del lugar geométrico y demuestra que está formado por dos hipérbolas equiláteras, calculando la distancia exacta entre los vértices de cada una de ellas.
La parábola: un punto y una recta
En el programa de Panamá la ecuación ordinaria se escribe $y^2 = 4px$ o $x^2 = 4py$, con $p$ = distancia del vértice al foco. El vértice siempre está a medio camino entre el foco y la directriz.
El reflector de un faro marítimo tiene un perfil diseñado de manera que la distancia de cualquier punto de su superficie al foco emisor de luz, situado en $F(0,2)$, es…
El reflector de un faro marítimo tiene un perfil diseñado de manera que la distancia de cualquier punto de su superficie al foco emisor de luz, situado en $F(0,2)$, es exactamente igual a su distancia a una línea de referencia horizontal de ecuación $y = -2$. Determina la ecuación del lugar geométrico del perfil del reflector.
En el diseño de un sistema de fluidos, se debe instalar un conducto cilíndrico cuya sección transversal puede variar de tamaño, pero siempre debe ser tangente al eje de…
En el diseño de un sistema de fluidos, se debe instalar un conducto cilíndrico cuya sección transversal puede variar de tamaño, pero siempre debe ser tangente al eje de abscisas y pasar obligatoriamente por un sensor fijo situado en $P(0,2)$. Encuentra la ecuación del lugar geométrico que describen los posibles centros $C(x,y)$ de dicha sección transversal e identifica la cónica.
Un móvil se desplaza en el plano cartesiano de manera que su distancia a la recta vertical $x = k$ es igual a su distancia al punto fijo $F(2,0)$. Determina la ecuación…
Un móvil se desplaza en el plano cartesiano de manera que su distancia a la recta vertical $x = k$ es igual a su distancia al punto fijo $F(2,0)$. Determina la ecuación del lugar geométrico en función del parámetro $k$. ¿Para qué valor exacto de $k$ el lugar geométrico degenera en una recta en lugar de formar una parábola?
La excentricidad: una receta para las cuatro curvas
En general, con $F(0, 0)$ y directriz $x = d$, la condición da $(1 - e^2)x^2 + 2e^2 d\,x + y^2 - e^2 d^2 = 0$. Si $e = 1$ desaparece el término en $x^2$ y queda una parábola. Si $e \neq 1$, al completar cuadrados los coeficientes de $x^2$ e $y^2$ tienen el mismo signo cuando $e < 1$ (elipse) y signos opuestos cuando $e > 1$ (hipérbola).
Demuestra analíticamente que el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya distancia al origen $O(0,0)$ es igual a $e$ veces su distancia a la recta $x = d$ (con…
Demuestra analíticamente que el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya distancia al origen $O(0,0)$ es igual a $e$ veces su distancia a la recta $x = d$ (con $e > 0$ y $d > 0$) representa una elipse si $e < 1$, una parábola si $e = 1$ y una hipérbola si $e > 1$. Escribe la ecuación general obtenida antes de clasificarla.
Vuelve al principio: las órbitas de los planetas son elipses, la antena parabólica y el reflector de un faro tienen sección parabólica, y la localización de un barco por la diferencia de tiempos de dos señales se apoya en la hipérbola. Todas son lugares geométricos definidos por distancias.