Ejercicios: Funciones lineales y afines

Para cada una de las siguientes funciones, indica el valor de la pendiente y de la ordenada al origen, y señala si su gráfica es creciente o decreciente:

1. a) $y = 4x - 3$

1. b) $y = -2x + 7$

1. c) $y = \frac{1}{3}x$

1. d) $y = 5 - x$

Una frutería vende las naranjas a $\$36$ el kilogramo.

1. a) Completa en tu cuaderno una tabla con el precio de $1$, $2$, $3$, $4$ y $5$ kg de naranjas.

1. b) Escribe la ecuación de la función que relaciona el peso $x$ en kilogramos con el precio $y$ en pesos.

1. c) ¿Es una función de proporcionalidad directa? ¿Cuánto vale su pendiente y qué significa?

La recta de la figura representa una función lineal, como se muestra a continuación.

1. a) Busca dos puntos de coordenadas enteras por los que pase la recta.

1. b) Calcula su pendiente a partir de esos puntos.

1. c) Escribe la ecuación de la función.

Calcula la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos:

1. a) $A(2, 5)$ y $B(6, 13)$

1. b) $P(-1, 4)$ y $Q(3, -8)$

1. c) $M(0, -2)$ y $N(5, -2)$

De las siguientes ecuaciones, indica cuáles corresponden a una función de proporcionalidad directa ($y = mx$), cuáles a una función lineal con ordenada al origen distinta de cero ($y = mx + b$, con $b \neq 0$) y cuáles no son lineales. Justifica tu respuesta.

1. a) $y = -3x$

1. b) $y = x^2 + 1$

1. c) $y = \frac{x}{2} - 4$

1. d) $y = \frac{2}{x}$

1. e) $y = 7$

La figura muestra la gráfica de una función lineal de la forma $y = mx + b$.

1. a) ¿Cuál es su ordenada al origen?

1. b) ¿Cuánto aumenta $y$ cuando $x$ aumenta una unidad? ¿Cuánto vale la pendiente?

1. c) Escribe su ecuación.

Un gimnasio cobra una cuota de inscripción de $\$400$ y $\$300$ por cada mes.

1. a) Escribe la ecuación que da el costo total $y$ en pesos en función del número de meses $x$.

1. b) ¿Cuál es la ordenada al origen y qué representa en este contexto?

1. c) ¿Y la pendiente? ¿Qué significa?

En la figura aparecen tres rectas, $a$, $b$ y $c$, como se muestra a continuación.

1. a) Asocia cada recta con su ecuación entre estas tres: $y = 2x + 1$, $y = -x + 3$, $y = \frac{1}{2}x - 2$.

1. b) Explica cómo has usado el signo de la pendiente y la ordenada al origen para decidir.

Comprueba, sustituyendo las coordenadas en la ecuación, si los puntos $A(3, 4)$ y $B(-2, 11)$ pertenecen a la recta $y = -3x + 5$.

Un ciclista se desplaza a velocidad constante de $24\ \text{km/h}$. Llamamos $x$ al tiempo en horas e $y$ a la distancia recorrida en kilómetros.

1. a) Completa en tu cuaderno la tabla de valores para $x = 0$, $0.5$, $1$, $1.5$ y $2$.

1. b) Escribe la ecuación de la función.

1. c) Si el ciclista parte de su casa, que está a $6\ \text{km}$ del punto donde empieza a contar el recorrido, ¿cuál sería ahora la ecuación de la distancia a su casa? ¿Qué tipo de función es?

Durante una ola de calor, la estación meteorológica de un pueblo registró una temperatura constante de $24\ \text{°C}$ durante toda la madrugada.

1. a) Escribe la ecuación de la función que da la temperatura $y$ en función de la hora $x$ durante ese periodo.

1. b) ¿Cuánto vale su pendiente? ¿Cómo es su gráfica?

1. c) ¿Es una función de proporcionalidad directa ($y = mx$), es lineal con ordenada al origen distinta de cero ($y = mx + b$, con $b \neq 0$) o no es lineal? Razona tu respuesta.

Copia y completa en tu cuaderno la tabla de valores de la función $y = -2x + 6$ para $x = -1$, $0$, $1$, $2$ y $3$, y representa la recta en unos ejes cartesianos. ¿En qué punto corta al eje $X$?

Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A(1, 2)$ y $B(3, 8)$ siguiendo estos pasos:

1. a) Calcula la pendiente $m$.

1. b) Sustituye las coordenadas de uno de los puntos en $y = mx + n$ para hallar $n$.

1. c) Escribe la ecuación final y comprueba que el otro punto también la verifica.

La gráfica representa el saldo de la alcancía digital de Emiliano durante las últimas semanas, como se muestra en la figura.

¿Cuál de estas tres fórmulas corresponde a la gráfica? Justifica tu elección descartando las otras dos.

• $y = 100x + 200$

• $y = -100x + 800$

• $y = 200x - 100$

Un taxi cobra $\$70$ por la bajada de bandera y $\$24$ por cada kilómetro recorrido.

1. a) Escribe la función que da el precio $y$ de un trayecto de $x$ kilómetros.

1. b) ¿Cuánto costará un trayecto de $12\ \text{km}$?

1. c) Si un trayecto ha costado $\$334$, ¿cuántos kilómetros se han recorrido?

Dos senderistas salen al mismo tiempo desde dos refugios de montaña separados por $18\ \text{km}$ y caminan uno al encuentro del otro por el mismo sendero. El primero avanza a $5\ \text{km/h}$ y el segundo a $4\ \text{km/h}$, como se muestra en la figura.

1. a) Escribe la ecuación que da la distancia al primer refugio de cada senderista en función del tiempo $x$ en horas.

1. b) Representa ambas rectas en tu cuaderno.

1. c) ¿Al cabo de cuánto tiempo se cruzan? ¿A qué distancia del primer refugio?

La gráfica muestra el precio de dejar el carro en un estacionamiento en función del tiempo, como se muestra en la figura.

1. a) ¿Cuánto cuesta estacionarse $4$ horas?

1. b) ¿Cuál es el precio fijo de entrada y cuánto cuesta cada hora?

1. c) Escribe la ecuación de la función para $x \ge 0$.

Halla el punto de corte de las rectas $y = 2x + 1$ e $y = -x + 7$:

1. a) Plantea la ecuación que resulta de igualar las dos expresiones y resuélvela.

1. b) Calcula la ordenada del punto de corte.

1. c) Comprueba el resultado sustituyendo en ambas ecuaciones.

Para convertir grados Celsius en grados Fahrenheit se usa la función $F = 1.8C + 32$.

1. a) ¿Cuántos grados Fahrenheit son $25\ \text{°C}$?

1. b) ¿Qué significa el coeficiente $1.8$? ¿Y el término $32$?

1. c) La previsión anuncia $86\ \text{°F}$ en una ciudad de Estados Unidos. ¿Cuántos grados Celsius son?

El depósito de agua de una comunidad de regantes contiene $1,200\ \text{m}^3$ y se va consumiendo a razón de $75\ \text{m}^3$ al día, como se muestra en la figura.

1. a) Escribe la función que da el volumen de agua $y$ en función del día $x$.

1. b) ¿Cuál es la pendiente? ¿Por qué es negativa?

1. c) ¿Qué volumen quedará al cabo de $9$ días?

1. d) ¿En qué día se agotará el depósito si no llueve?

Indica si cada afirmación es verdadera o falsa y justifica tu respuesta con un ejemplo:

1. a) «Toda función de proporcionalidad directa ($y = mx$) es también una función lineal de la forma $y = mx + b$.»

1. b) «Si una recta tiene pendiente negativa, entonces pasa por el origen.»

1. c) «Las rectas $y = 3x + 2$ e $y = 3x - 5$ son paralelas.»

1. d) «La función $y = 4$ no tiene pendiente.»

La tabla muestra el costo de imprimir fotografías en un centro de copiado según el número de copias:

1. a) Comprueba que el costo crece siempre en la misma cantidad por cada $10$ copias.

1. b) ¿Cuál es la pendiente de la función? ¿Y la ordenada al origen?

1. c) Escribe la ecuación que relaciona $x$ e $y$.

1. d) ¿Qué representa la ordenada al origen en este contexto?

En la carrera con causa de la escuela, Nora le da ventaja a su hermano menor: él sale $40\ \text{m}$ por delante y corre a $3\ \text{m/s}$, mientras que Nora corre a $4.5\ \text{m/s}$, como se muestra en la figura.

1. a) Escribe la función distancia a la salida en función del tiempo para cada corredor.

1. b) ¿Al cabo de cuántos segundos alcanza Nora a su hermano?

1. c) ¿A qué distancia de la salida ocurre?

1. d) Si la carrera termina a los $150\ \text{m}$, ¿gana Nora o llega antes su hermano a la meta? Justifícalo con cálculos.

Una compañía de telefonía ofrece dos tarifas, como se muestra en la figura:

• Tarifa A: cuota fija de $\$240$ al mes y $\$0.80$ por minuto de llamadas.

• Tarifa B: sin cuota fija, a $\$1.60$ por minuto.

1. a) Escribe la función del costo mensual en función de los minutos consumidos para cada tarifa.

1. b) ¿A partir de cuántos minutos al mes resulta más barata la tarifa A?

1. c) Marta habla un promedio de $250$ minutos al mes. ¿Qué tarifa le conviene y cuánto se ahorra al año?

La función $F = 1.8C + 32$ convierte grados Celsius en grados Fahrenheit.

1. a) Existe una única temperatura en la que los termómetros Celsius y Fahrenheit marcan el mismo valor numérico. Plantea la ecuación $C = F$ y calcúlala.

1. b) ¿Tiene sentido físico el resultado? Explica qué ocurre con esa temperatura.

1. c) Representa la función en tu cuaderno e interpreta el punto de corte de la gráfica con la recta $F = C$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Una tienda en línea de playeras personalizadas cobra $\$360$ por el diseño del logotipo y $\$150$ por cada playera. Otra tienda no cobra por el diseño, pero cada playera cuesta $\$204$.

1. a) Escribe la función del costo total en función del número de playeras para cada tienda.

1. b) El equipo de básquetbol de la colonia necesita $14$ playeras. ¿Qué tienda le sale más barata y por cuánto?

1. c) ¿Para qué número de playeras cuestan lo mismo las dos tiendas? ¿Qué ocurre para pedidos más grandes?

Halla el valor de $k$ en cada caso:

1. a) Para que la recta $y = kx + 3$ pase por el punto $(2, 11)$.

1. b) Para que la recta $y = 5x + k$ pase por el punto $(-1, 2)$.

1. c) Para que la recta $y = kx - 4$ tenga la misma pendiente que la que pasa por $(0, 1)$ y $(4, 9)$.

Un alumno ha resuelto así el ejercicio «halla la pendiente de la recta que pasa por $A(2, 5)$ y $B(6, 13)$ y di si es creciente»:

«La pendiente es $m = \frac{6 - 2}{13 - 5} = \frac{4}{8} = 0.5$. Como $0.5 < 1$, la recta es poco inclinada, así que es casi horizontal y decreciente.»

1. a) Encuentra los dos errores que ha cometido.

1. b) Calcula la pendiente correcta y clasifica la recta.

1. c) Explica con tus palabras qué relación hay entre el signo de la pendiente y el crecimiento de la función.

Tarea de decisión. Tres amigos quieren ahorrar para el viaje de fin de curso, que cuesta $\$420$ por persona. Ya tienen algo ahorrado y cada semana añaden una cantidad fija, como se muestra en la figura:

• Lucía: tiene $\$120$ y ahorra $\$15$ a la semana.

• Pablo: tiene $\$40$ y ahorra $\$25$ a la semana.

1. a) Escribe la función del dinero ahorrado en función de las semanas para cada uno.

1. b) ¿Quién tarda menos semanas en llegar a los $\$420$?

1. c) ¿En qué semana alcanza Pablo a Lucía en dinero ahorrado?

1. d) Si el viaje es dentro de $16$ semanas, ¿llegarán los dos a tiempo? ¿Cuánto dinero tendrá cada uno?

En un laboratorio de física se cuelgan masas de un resorte y se mide su longitud:

1. a) Comprueba que la longitud crece de forma constante por cada $50\ \text{g}$ y escribe la función que da la longitud $y$ en función de la masa $x$.

1. b) ¿Qué longitud tendrá el resorte con una masa de $320\ \text{g}$?

1. c) ¿Qué masa hay que colgar para que el resorte mida $30.5\ \text{cm}$?

1. d) ¿Qué significado físico tiene la ordenada al origen?

1. a) Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A(-1, 7)$ y $B(2, -5)$.

1. b) Comprueba si el punto $C(5, -17)$ está alineado con $A$ y $B$.

1. c) ¿Y el punto $D(0, 5)$? Justifica tu respuesta sin representar.

La normativa de accesibilidad limita la pendiente de las rampas: una rampa accesible no debe superar el $10\ \,\%$ de desnivel. La pendiente, expresada en porcentaje, es el cociente entre la altura que se sube y la distancia horizontal recorrida, multiplicado por $100$, como se muestra en la figura.

1. a) Una rampa salva un desnivel de $0.54\ \text{m}$ en un recorrido horizontal de $6\ \text{m}$. Calcula su pendiente en porcentaje. ¿Cumple la normativa?

1. b) Si se quiere salvar el mismo desnivel con una pendiente del $8\ \,\%$, ¿qué longitud horizontal mínima debe tener la rampa?

1. c) Expresa la rampa del apartado a) como una función $y = mx$ tomando el inicio de la rampa como origen. ¿Qué significa $m$?