Funciones lineales y afines

Para cada una de las siguientes funciones, indique el valor de la pendiente y de la ordenada en el origen, y señale si su gráfica es creciente o decreciente:

1. a) $y = 4x - 3$

1. b) $y = -2x + 7$

1. c) $y = \frac{1}{3}x$

1. d) $y = 5 - x$

De las siguientes ecuaciones, indique cuáles corresponden a una función lineal, cuáles a una función afín y cuáles no son ni lineales ni afines. Justifique su respuesta.

1. a) $y = -3x$

1. b) $y = x^2 + 1$

1. c) $y = \frac{x}{2} - 4$

1. d) $y = \frac{2}{x}$

1. e) $y = 7$

En la figura aparecen tres rectas, $a$, $b$ y $c$, como se muestra a continuación.

1. a) Asocie cada recta con su ecuación entre estas tres: $y = 2x + 1$, $y = -x + 3$, $y = \frac{1}{2}x - 2$.

1. b) Explique cómo ha usado el signo de la pendiente y el intercepto en el eje y para decidir.

Calcula la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos:

1. a) $A(2, 5)$ y $B(6, 13)$

1. b) $P(-1, 4)$ y $Q(3, -8)$

1. c) $M(0, -2)$ y $N(5, -2)$

Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A(1, 2)$ y $B(3, 8)$ siguiendo estos pasos:

1. a) Calcula la pendiente $m$.

1. b) Sustituye las coordenadas de uno de los puntos en $y = mx + n$ para hallar $n$.

1. c) Escribe la ecuación final y comprueba que el otro punto también la verifica.

La normativa de accesibilidad limita la pendiente de las rampas: una rampa accesible no debe superar el $10\ \,\%$ de desnivel. La pendiente, expresada en porcentaje, es el cociente entre la altura que se sube y la distancia horizontal recorrida, multiplicado por $100$, como se muestra en la figura.

1. a) Una rampa salva un desnivel de $0.54\ \text{m}$ en un recorrido horizontal de $6\ \text{m}$. Calcula su pendiente en porcentaje. ¿Cumple la normativa?

1. b) Si se quiere salvar el mismo desnivel con una pendiente del $8\ \,\%$, ¿qué longitud horizontal mínima debe tener la rampa?

1. c) Expresa la rampa del apartado a) como una función $y = mx$ tomando el inicio de la rampa como origen. ¿Qué significa $m$?

Comprueba, sustituyendo las coordenadas en la ecuación, si los puntos $A(3, 4)$ y $B(-2, 11)$ pertenecen a la recta $y = -3x + 5$.

Copia y completa en tu cuaderno la tabla de valores de la función $y = -2x + 6$ para $x = -1$, $0$, $1$, $2$ y $3$, y representa la recta en unos ejes cartesianos. ¿En qué punto corta al eje $X$?

La gráfica muestra una función lineal, como se muestra en la figura.

1. a) ¿Cuál es su intercepto en el eje Y?

1. b) ¿Cuánto aumenta $y$ cuando $x$ aumenta una unidad? ¿Cuánto vale la pendiente?

1. c) Escriba su ecuación.

Indique si cada afirmación es verdadera o falsa y justifique su respuesta con un ejemplo:

1. a) «Toda función lineal es también una función afín.»

1. b) «Si una recta tiene pendiente negativa, entonces pasa por el origen.»

1. c) «Las rectas $y = 3x + 2$ e $y = 3x - 5$ son paralelas.»

1. d) «La función $y = 4$ no tiene pendiente.»

La tabla muestra el costo de imprimir fotografías en un centro de copiado según el número de copias:

1. a) Compruebe que el costo crece siempre en la misma cantidad por cada $10$ copias.

1. b) ¿Cuál es la pendiente de la función? ¿Y la ordenada al origen?

1. c) Escriba la ecuación que relaciona $x$ e $y$.

1. d) ¿Qué representa la ordenada al origen en este contexto?

El depósito de agua de una comunidad de regantes contiene $1,200\ \text{m}^3$ y se va consumiendo a razón de $75\ \text{m}^3$ al día, como se muestra en la figura.

1. a) Escribe la función que da el volumen de agua $y$ en función del día $x$.

1. b) ¿Cuál es la pendiente? ¿Por qué es negativa?

1. c) ¿Qué volumen quedará al cabo de $9$ días?

1. d) ¿En qué día se agotará el depósito si no llueve?

En un laboratorio de física se cuelgan masas de un resorte y se mide su longitud:

1. a) Compruebe que la longitud crece de forma constante por cada $50\ \text{g}$ y escriba la función que da la longitud $y$ en función de la masa $x$.

1. b) ¿Qué longitud tendrá el resorte con una masa de $320\ \text{g}$?

1. c) ¿Qué masa hay que colgar para que el resorte mida $30.5\ \text{cm}$?

1. d) ¿Qué significado físico tiene el intercepto en el eje vertical (ordenada en el origen)?

Un gimnasio cobra una cuota de inscripción de $\text{L}\ 500$ y $\text{L}\ 375$ por cada mes.

1. a) Escriba la ecuación que da el costo total $y$ en lempiras en función del número de meses $x$.

1. b) ¿Cuál es el intercepto en el eje y y qué representa en este contexto?

1. c) ¿Y la pendiente? ¿Qué significa?

Halla el punto de corte de las rectas $y = 2x + 1$ e $y = -x + 7$:

1. a) Plantea la ecuación que resulta de igualar las dos expresiones y resuélvela.

1. b) Calcula la ordenada del punto de corte.

1. c) Comprueba el resultado sustituyendo en ambas ecuaciones.

Una compañía de telefonía ofrece dos tarifas, como se muestra en la figura:

• Tarifa A: cuota fija de $\text{L}\ 300$ al mes y $\text{L}\ 1$ por minuto de llamadas.

• Tarifa B: sin cuota fija, a $\text{L}\ 2$ por minuto.

1. a) Escriba la función del costo mensual en función de los minutos consumidos para cada tarifa.

1. b) ¿A partir de cuántos minutos al mes resulta más barata la tarifa A?

1. c) Marta habla un promedio de $250$ minutos al mes. ¿Qué tarifa le conviene y cuánto se ahorra al año?