En el Estadio Nacional, durante un partido de la Roja, la "ola" recorre las tribunas: cada hincha se levanta y se sienta en su lugar, pero la ola da la vuelta completa al estadio. Nadie viaja con ella. ¿Cómo describimos con una sola fórmula lo que hace cada persona (cada punto del medio) y a la vez cómo avanza la ola? De eso trata este apartado: es pasar del MAS de un solo oscilador a una fila entera de osciladores, cada uno un poco retrasado respecto al anterior.
De x(t) a y(x, t): la doble periodicidad
Si agitas el extremo de una cuerda con ritmo constante y sacas una foto, ves un patrón que se repite a lo largo del espacio. Si filmas una sola mota de polvo sobre la cuerda, ves que no avanza: solo sube y baja. Hay dos periodicidades, una en el espacio y otra en el tiempo.
Mueve el deslizador de frecuencia y observa un punto fijo del eje: sube y baja como un MAS. Mueve el de longitud de onda y observa el dibujo completo en un instante: se repite cada $\lambda$.
Periodo, frecuencia, longitud de onda y número de onda
Una onda armónica tiene dos "relojes": uno en el tiempo y otro en el espacio. Se corresponden así:
En el tiempo
En el espacio
Lo que tarda o abarca un ciclo
periodo $T$ (s)
longitud de onda $\lambda$ (m)
Ciclos por unidad
frecuencia $f = 1/T$ (Hz)
Radianes por unidad
$\omega = 2\pi/T = 2\pi f$ (rad/s)
$k = 2\pi/\lambda$ (rad/m)
Con ambos relojes se obtiene la rapidez de propagación. En un periodo la onda avanza una longitud de onda, así que
$$v = \frac{\lambda}{T} = \lambda f = \frac{\omega}{k}$$
Practica★☆☆Sin empezar
Un diapasón vibra y genera en el aire una onda armónica de frecuencia angular $\omega = 100 \cdot \pi\ \text{rad/s}$. a) Calcula su período $T$, recordando que…
Un diapasón vibra y genera en el aire una onda armónica de frecuencia angular $\omega = 100 \cdot \pi\ \text{rad/s}$.
a) Calcula su período $T$, recordando que $T = \frac{2 \cdot \pi}{\omega}$.
En una cubeta de ondas del laboratorio se generan ondas en la superficie del agua con un número de onda $k = 2 \cdot \pi\ \text{rad/m}$. La figura muestra el perfil de…
En una cubeta de ondas del laboratorio se generan ondas en la superficie del agua con un número de onda $k = 2 \cdot \pi\ \text{rad/m}$. La figura muestra el perfil de la superficie en un instante.
a) Calcula la longitud de onda $\lambda$, recordando que $\lambda = \frac{2 \cdot \pi}{k}$.
b) Explica con tus palabras qué representa físicamente la longitud de onda observando el perfil de la superficie.
El oído humano percibe sonidos entre $20\ \text{Hz}$ y $20\ \text{kHz}$, y el sonido viaja por el aire a $340\ \text{m/s}$. a) Calcula la longitud de onda del sonido más…
El oído humano percibe sonidos entre $20\ \text{Hz}$ y $20\ \text{kHz}$, y el sonido viaja por el aire a $340\ \text{m/s}$.
a) Calcula la longitud de onda del sonido más grave que podemos oír usando $v = \lambda \cdot f$.
b) Calcula la longitud de onda del sonido más agudo que podemos oír, expresando antes $20\ \text{kHz}$ en hercios.
c) Razona, a la vista de los resultados, cómo varía la longitud de onda cuando aumenta la frecuencia si la velocidad no cambia.
Cuando un problema te da características de la onda, el método es siempre el mismo: encuentra $A$, $\omega$ y $k$, elige el signo según el sentido y agrega la fase inicial si hace falta.
Fase inicial y condiciones iniciales
La fase inicial $\varphi_0$ dice en qué punto del ciclo está el origen en $t = 0$. Para encontrarla impones una condición: por ejemplo, que $y(0, 0) = A$ (el origen empieza en su máximo), o que $y(0, 0) = 0$ y vaya hacia arriba.
Diferencia de fase entre dos puntos
Rapidez de propagación y cambio de medio
Si hablas bajo el agua en una piscina, tu voz tiene el mismo tono que en el aire, pero el sonido viaja mucho más rápido. ¿Cómo se ajustan la distancia entre crestas y la rapidez si el ritmo del emisor no cambia?
Rapidez de vibración frente a rapidez de propagación
Volvamos al estadio: la ola avanza a unos cuantos metros por segundo, pero cada hincha solo sube y baja. Son dos rapideces distintas.
Observa por separado el avance de las crestas y la oscilación local:
Aplicación: ultrasonido y longitud de onda
Las ondas de frecuencias muy altas tienen longitudes de onda muy pequeñas, y por eso sirven para "ver" detalles pequeños: ecografías, sensores de distancia, limpieza ultrasónica. Para calcular, usa siempre $\lambda = v/f$ con $f$ en hertz, y en un eco recuerda que el pulso recorre la distancia dos veces (ida y vuelta): $d = \dfrac{v\,t}{2}$.
Practica★★☆Sin empezar
Un generador de ultrasonidos de laboratorio emite ondas de $f = 40\ \text{kHz}$ que se propagan por el aire a $340\ \text{m/s}$. a) Expresa la frecuencia en hercios y…
Un generador de ultrasonidos de laboratorio emite ondas de $f = 40\ \text{kHz}$ que se propagan por el aire a $340\ \text{m/s}$.
a) Expresa la frecuencia en hercios y calcula la longitud de onda, en metros y en milímetros.
b) Calcula el período y exprésalo en segundos y en microsegundos ($1\ \mu\text{s} = 10^{-6}\ \text{s}$).
c) Razona, sabiendo que el oído humano percibe como máximo unos $20\ \text{kHz}$, por qué nadie escucha el tono que emite el generador.
En una ecografía se emplean ultrasonidos de $f = 3,5\ \text{MHz}$ que se propagan por el tejido blando a $1540\ \text{m/s}$. a) Calcula la longitud de onda en metros y…
En una ecografía se emplean ultrasonidos de $f = 3,5\ \text{MHz}$ que se propagan por el tejido blando a $1540\ \text{m/s}$.
a) Calcula la longitud de onda en metros y exprésala en milímetros.
b) El eco reflejado en una estructura interna se recibe $8\cdot10^{-5}\ \text{s}$ después de la emisión: teniendo en cuenta que el pulso recorre dos veces esa distancia, calcula la profundidad de la estructura.
c) Razona por qué para apreciar detalles de pocos milímetros conviene trabajar con frecuencias de megahercios en lugar de sonidos audibles.
Vuelve al principio: en la ola del estadio, cada hincha hace un MAS en su lugar (rapidez de oscilación) y el conjunto dibuja un patrón que avanza (rapidez de propagación). Las dos cosas están en una sola ecuación.
¡A practicar! 1 ejercicios de nivel medio en este apartado