Exercicis: Mecanismes i màquines simples

Explica què és una palanca i anomena els seus tres elements (punt de suport, potència i resistència) utilitzant l'exemple d'un balancí de parc.

Per a què serveix una politja? Explica'n la utilitat i posa dos exemples de màquines o instal·lacions que la facin servir.

La figura mostra tres palanques diferents, amb la seva força F, la seva resistència R i el seu punt de suport. Classifica cadascuna segons el tipus (gènere) de palanca i anomena un objecte quotidià que funcioni com cadascuna.

Classifica aquests objectes com a palanca de primer, segon o tercer gènere, raonant on és el suport en cadascun: unes tisores, un trencanous, unes pinces de depilar i un balancí.

Explica què és un engranatge i per a què serveixen les seves dents: per què no s'utilitzen simplement dues rodes llises en contacte per transmetre el gir?

Anomena dues màquines o instal·lacions de la llar que utilitzin politges o corretges (persiana, rentadora...) i explica quin moviment transmeten en cada cas.

Explica amb les teves paraules què és l'«avantatge mecànic» d'una màquina simple i posa un exemple amb una palanca.

Es diu que un cargol és «un pla inclinat enrotllat». Explica aquesta idea comparant-ho amb pujar una costa costeruda en ziga-zaga en lloc d'en línia recta.

Una palanca té el punt de suport a $0,5\ \text{m}$ de la càrrega i a $1,5\ \text{m}$ del punt on fem força. Si la càrrega és de $60\ \text{N}$, aplica la llei de la palanca, $F \cdot b_F = R \cdot b_R$, per calcular la força necessària i raona si la palanca ens dona avantatge.

En un parell d'engranatges, la roda motriu té 20 dents i la roda conduïda, 40. Si la motriu gira a $60\ \text{rpm}$, calcula a quina velocitat gira la conduïda i raona si el conjunt multiplica força o velocitat.

Explica, utilitzant la idea de relació de transmissió, per què en una bicicleta interessa un plat gran i un pinyó petit per anar ràpid en pla, i la combinació contrària per pujar un pendent.

Amb una barra de $2\ \text{m}$ vols aixecar una càrrega de $100\ \text{N}$ col·locant el punt de suport a $0,5\ \text{m}$ de la càrrega. Calcula la força necessària aplicant la llei de la palanca, $F \cdot b_F = R \cdot b_R$, i indica quin braç de força et queda.

Un torn enrotlla una corda per pujar una galleda: el cilindre té un radi de $10\ \text{cm}$ i la maneta descriu un radi de $40\ \text{cm}$. Calcula quina força cal aplicar a la maneta per pujar una càrrega de $80\ \text{N}$, raonant l'equilibri de moments com en una palanca.

La figura mostra dos engranatges en contacte: el motriu té 12 dents i gira a $90\ \text{rpm}$ en el sentit indicat. Calcula a quina velocitat gira el conduït de 36 dents i raona en quin sentit gira.

Explica què és una reductora i per què gairebé tots els motors elèctrics petits la porten incorporada: quina relació hi ha entre velocitat de gir i força (parell) a l'entrada i a la sortida.

Una bicicleta té un plat de 44 dents i un pinyó d'11 dents. Calcula quantes voltes fa la roda del darrere per cada volta completa de pedals i raona si aquest desenvolupament serveix millor per a velocitat o per pujar pendents.

Un equip de robòtica disposa d'un motor amb un parell de $0,3\ \text{N}\cdot\text{m}$ que gira a $1500\ \text{rpm}$. Necessiten aixecar una càrrega d'$1,5\ \text{kg}$ penjada de l'extrem d'un braç de $20\ \text{cm}$ unit directament a l'eix del motor. Un membre de l'equip proposa: «Perquè el motor faci menys esforç, allarguem el braç a $40\ \text{cm}$ per tenir més palanca; i si encara li costa, afegim una reductora d'engranatges $1:5$, que augmentarà la força sense canviar la velocitat de pujada». Rebat amb arguments tècnics i càlculs totes dues afirmacions: calcula el parell resistent inicial i final a l'eix del motor (pren $g = 10\ \text{N/kg}$), explica l'error conceptual sobre la longitud del braç i justifica quina magnitud física se sacrificarà inevitablement si es recorre a la reductora.

Estàs dissenyant un carretó d'obra d'$1,4\ \text{m}$ de longitud total, on l'eix de la roda se situa en un extrem ($0\ \text{m}$) i les empunyadures a l'altre ($1,4\ \text{m}$). Es transportarà una càrrega de $60\ \text{kg}$ (pren $g = 10\ \text{N/kg}$). Per normativa de prevenció de riscos laborals, l'operari no ha d'exercir una força vertical superior a $150\ \text{N}$ en aixecar-lo.

1. a) Modela el carretó com a palanca: classifica-la i calcula a quina distància màxima de l'eix de la roda s'ha de situar el centre de gravetat del caixó de càrrega per complir la norma.
2. b) Si l'operari desplaça la càrrega col·locant-la exactament sobre la vertical de l'eix de la roda, quanta força vertical necessitarà per sostenir-la? Quin inconvenient mecànic i d'estabilitat pràctica sorgeix en fer això?
3. c) Justifica com varia la força que suporta l'operari a mesura que eleva els mànecs inclinant el carretó respecte a l'horitzontal.

Es necessita pujar una caixa de $60\ \text{kg}$ fins a un altell situat a $3\ \text{m}$ d'alçària. La persona disponible pesa $50\ \text{kg}$ ($500\ \text{N}$), per la qual cosa si estira una corda cap avall només pot aplicar com a màxim el seu propi pes abans d'aixecar-se del terra (pren $g = 10\ \text{N/kg}$).

1. a) Dissenya un polispast indicant el nombre mínim de politges fixes i mòbils necessàries perquè la persona pugui pujar la càrrega estirant la corda verticalment cap avall amb comoditat.
2. b) Calcula la força teòrica exacta que exercirà, els metres de corda que haurà de recollir per pujar la caixa els $3\ \text{m}$ i el treball mecànic realitzat.
3. c) Compara aquest treball amb el que realitzaria si pugés la caixa a pols i explica per què la màquina simple no estalvia energia.

En un taller s'utilitza un polispast amb dues politges fixes i dues de mòbils per aixecar un motor de $160\ \text{kg}$ a una alçària d'$1,5\ \text{m}$ ($g = 10\ \text{N/kg}$). En realitzar la maniobra a velocitat constant, un dinamòmetre intercalat a la corda mesura una força real de tracció de $500\ \text{N}$.

1. a) Calcula la força teòrica ideal que s'hauria d'aplicar i determina el rendiment mecànic ($\eta$) del polispast real.
2. b) Justifica físicament a què es deu la diferència entre la força teòrica i la real, i indica en què es transforma l'energia mecànica 'perduda'.
3. c) Si l'operari disposa d'un tram útil de corda de $5\ \text{m}$ abans de fer límit al tambor, dedueix mitjançant càlculs si podrà elevar el motor els $1,5\ \text{m}$ requerits de manera contínua.

Has de dissenyar la transmissió reductora per a les aspes d'un aerogenerador de jogina. El micromotor gira a $300\ \text{rpm}$ en sentit horari i l'eix de les aspes ha de girar exactament a $30\ \text{rpm}$, també en sentit horari. A la teva caixa de peces només disposes de rodes dentades d'entre $10$ i $40$ dents (cap roda no pot tenir menys de $10$ ni més de $40$ dents).

1. a) Demostra per què és impossible resoldre aquest disseny amb un únic parell de rodes engranades (analitza tant la restricció de dents com el sentit de gir).
2. b) Dissenya un tren compost d'engranatges de dues etapes que compleixi totes les condicions: especifica el nombre de dents de cada roda ($Z_1, Z_2, Z_3, Z_4$), quines rodes van al mateix eix i justifica per què el sentit final coincideix amb el del motor.
3. c) Verifica numèricament mitjançant la relació de transmissió total que s'obtenen exactament les $30\ \text{rpm}$ sol·licitades.

Una grua torre té una ploma horitzontal de $30\ \text{m}$ i una contraploma de $10\ \text{m}$ amb un contrapès de formigó de $4500\ \text{kg}$. Desprecia el pes propi de l'estructura metàl·lica i pren $g = 10\ \text{N/kg}$.

1. a) Modela la grua com una palanca en equilibri respecte al màstil i calcula la càrrega màxima que pot sostenir quan el carretó és a l'extrem de la ploma ($30\ \text{m}$) sense que la grua venci cap endavant.
2. b) Si el carretó es desplaça cap al centre i se situa a només $6\ \text{m}$ del màstil, calcula la nova càrrega teòrica admissible. Interpreta aquest resultat per explicar per què les taules de càrrega de les grues d'obra permeten aixecar molt més pes a prop de la torre que a la punta.
3. c) El ganxo penja d'un polispast amb una politja mòbil que divideix la càrrega entre dos trams de cable. Si el motor del torn recull cable a una velocitat de $0,8\ \text{m/s}$, determina a quina velocitat vertical ascendeix la càrrega i raona quin avantatge mecànic ofereix aquest muntatge al motor.

La porta llevadissa d'un magatzem té una massa de $200\ \text{kg}$. Per accionar-la, es debat entre instal·lar un reductor d'engranatges cilíndrics ordinari ($i = 1/40$) o un mecanisme de caragol sense fi d'una entrada amb roda de $40$ dents ($i = 1/40$), tots dos connectats a un motor que gira a $1200\ \text{rpm}$.

1. a) Calcula la velocitat de gir de l'eix de la porta amb cada sistema.
2. b) Imagina que hi ha una apagada elèctrica imprevista mentre la porta està aturada a mitja alçària. Prediu i justifica què passarà amb la càrrega en cadascun dels dos mecanismes basant-te en el concepte d'irreversibilitat mecànica.
3. c) Malgrat l'avantatge de seguretat del caragol sense fi, explica per què el seu rendiment sol rondar només el $50\,\%$ o $60\,\%$ enfront de més del $90\,\%$ dels engranatges cilíndrics, i quin problema tèrmic limitaria el seu ús en una màquina que funcioni de manera ininterrompuda.

Un fabricant de vehicles lleugers ha de triar la transmissió secundària per a dos projectes: una bicicleta elèctrica urbana de lloguer (exposada a pluja i brutícia, on els usuaris no s'han de tacar de greix i el manteniment ha de ser mínim) i una motocicleta elèctrica de competició amb acceleracions molt violentes ($90\ \text{N}\cdot\text{m}$ de parell instantani).

1. a) Selecciona i justifica el sistema més adequat per a cada vehicle entre cadena de corrons i corretja dentada sincrònica, analitzant la necessitat de lubricació, neteja, massa del sistema i comportament davant de pics d'esforç bruscos.
2. b) Un operari afirma: «En dies de pluja, la corretja dentada patina sobre la politja igual que una corretja plana d'alternador, fent que la relació de transmissió variï». Rebat tècnicament la seva afirmació explicant el principi de funcionament de les corretges sincròniques enfront de les de fricció.

Repte del tema. T'has preguntat mai com optimitzar l'esforç en pedalar? Analitzaràs la transmissió d'una bicicleta real (la teva o d'algú proper) i dissenyaràs una proposta tècnica raonada.

1. Presa de dades reals: Compta les dents del plat principal ($z_1$) i de tres pinyons ($z_2$: gran, intermedi i petit). Mesura amb una cinta mètrica el diàmetre exterior de la roda ($D$, en metres; per exemple, $0,66\text{ m}$).

2. Càlcul amb LibreOffice Calc: Construeix un full de càlcul per determinar la relació de transmissió ($i = z_1 / z_2$) de cada combinació i l'avanç per pedalada ($d = i \cdot \pi \cdot D$). Insereix un gràfic comparatiu de barres amb els avanços obtinguts.

3. Proposta tècnica: Redacta un informe breu raonant quina marxa seleccionaries per arrencar en una rampa amb un pendent del $8,5\,\%$ i quina per planejar a gran velocitat, justificant-ho a partir dels conceptes de parell motor, velocitat i avantatge mecànic.

Es valorarà:

• Rigor en la presa de dades empíriques i càlcul matemàtic exacte de relacions de transmissió i avanços.

• Ús correcte de fórmules automàtiques i claredat expositiva a la taula i gràfic del full de càlcul.

• Argumentació tecnològica sòlida en vincular el desenvolupament mecànic amb la força requerida i la velocitat.