Exercicis: Semblança de triangles rectangles

En un triangle rectangle, l'altura traçada sobre la hipotenusa la divideix en dos segments que mesuren $4$ cm i $9$ cm. Calcula la longitud d'aquesta altura utilitzant el teorema corresponent.

La hipotenusa d'un triangle rectangle mesura $25$ cm i la projecció d'un dels seus catets sobre ella mesura $9$ cm. Calcula la longitud d'aquest catet aplicant el teorema del catet.

L'altura relativa a la hipotenusa d'un triangle rectangle mesura $6$ cm. Si un dels segments en què divideix la hipotenusa mesura $3$ cm, quant mesura l'altre segment de la hipotenusa?

Un catet d'un triangle rectangle mesura $8$ cm i la seva projecció ortogonal sobre la hipotenusa mesura $3,2$ cm. Determina la longitud total de la hipotenusa.

Dos triangles rectangles són semblants. El primer té uns catets que mesuren $3$ cm i $4$ cm. Si el catet menor del segon triangle mesura $9$ cm, quant mesura la hipotenusa d'aquest segon triangle?

Dos cartabons de dibuix (que tenen forma de triangle rectangle escalè) són semblants. Si la hipotenusa del cartabó més gran és el triple que la del cartabó més petit, quantes vegades és més gran l'àrea del cartabó gran respecte al petit?

En un triangle rectangle, les projeccions dels dos catets sobre la hipotenusa mesuren $5$ cm i $12$ cm respectivament. Quant mesura la hipotenusa del triangle?

En un examen de Matemàtiques de 4t d'ESO, la Lucía ha de calcular la longitud del catet menor, $c$, d'un triangle rectangle. L'enunciat indica que la projecció d'aquest catet sobre la hipotenusa fa $m = 3\text{ cm}$ i la projecció de l'altre catet fa $n = 9\text{ cm}$. La Lucía escriu la resolució següent:

«Pel teorema del catet, sé que el quadrat del catet és el producte de les dues projeccions: $c^2 = m \cdot n = 3 \cdot 9 = 27$, per tant $c = \sqrt{27} \approx 5,2\text{ cm}$».

1. a) Explica amb precisió quin error conceptual ha comès la Lucía i quin teorema o fórmula ha confós.
2. b) Corregeix el procediment i calcula el valor exacte del catet $c$ en forma de radical simplificat i la seva aproximació arrodonida a les dècimes.

En un triangle rectangle, l'altura traçada sobre la hipotenusa la divideix en dos segments de longituds $m = 2\text{ cm}$ i $n = 10\text{ cm}$.

1. a) Abans d'operar, estima raonadament entre quins dos nombres enters consecutius s'ha de situar la longitud de l'altura $h$. Creus que $h$ serà més gran, més petita o igual que la meitat de la hipotenusa ($(m+n)/2 = 6\text{ cm}$)? Justifica la teva previsió.
2. b) Aplica el teorema corresponent per calcular el valor exacte de l'altura $h$ i obtén la seva aproximació amb dues xifres decimals.
3. c) Comprova si el teu càlcul confirma l'estimació feta a l'apartat a) i explica per què en qualsevol triangle rectangle no isòsceles l'altura sobre la hipotenusa sempre és estrictament menor que la meitat d'aquesta hipotenusa.

En el disseny d'una encavallada per a una teulada de dos aiguavessos en forma de triangle rectangle, la biga vertical (que fa d'altura sobre la hipotenusa) mesura $2,4$ m i separa la biga inferior (hipotenusa) en dos trams, un dels quals mesura $1,8$ m. Calcula el perímetre total de l'estructura exterior de l'encavallada.

Per calcular l'altura d'un edifici, un estudiant col·loca un mirall pla a terra a $15$ m de la base de l'edifici. En recular $1,2$ m des del mirall, veu la part més alta de l'edifici reflectida en ell. Si els ulls de l'estudiant estan a $1,6$ m del terra, quina és l'altura de l'edifici?

Una rampa d'accessibilitat té una longitud total de $12$ m recolzada sobre el terra i salva un desnivell màxim de $1,5$ m. Si una cadira de rodes ha avançat $4$ m sobre la rampa des del seu inici a la part inferior, a quina altura es troba respecte del nivell del terra?

En una càmera fosca artesanal de $20$ cm de profunditat, es forma la imatge invertida d'un arbre que es troba a $15$ m de l'orifici estenopeic. Si la imatge formada al fons de la càmera té una altura de $8$ cm, quina és l'altura real de l'arbre en metres?

La vela principal d'un veler té forma de triangle rectangle. La costura que marca l'altura traçada des del vèrtex de l'angle recte fins a la hipotenusa mesura $6$ m. Si la projecció del costat menor de la vela sobre la hipotenusa és de $4,5$ m, calcula la superfície total de la vela en metres quadrats.

Un arc de pont de pedra té forma de semicircumferència perfecta amb un diàmetre de $20$ m. A $4$ m d'un dels extrems del pont, cal col·locar un pilar vertical que vagi des del terra fins a l'arc. Utilitzant el teorema de l'altura, determina quina longitud exacta ha de tenir aquest pilar.

En una taula de billar rectangular, colpeges una bola sense efecte contra una de les bandes, de manera que rebota formant dos triangles rectangles semblants en la seva trajectòria. La bola surt d'una posició situada a $40\text{ cm}$ d'aquesta banda i, després del rebot, arriba a un punt situat a $60\text{ cm}$ de la mateixa banda. Si la distància longitudinal total que avança la bola en la direcció paral·lela a la banda és de $150\text{ cm}$, determina:

1. a) La distància longitudinal recorreguda per la bola abans del rebot.
2. b) La distància longitudinal recorreguda després del rebot.

Al parc de Madrid Río es projecta construir un mòdul per a monopatí la secció lateral del qual és un triangle rectangle recolzat sobre el terra horitzontal, que actua com a hipotenusa i fa $3,2\text{ m}$ de longitud. Per reforçar l'estructura de fusta, es col·locarà una biga d'acer vertical des del vèrtex superior perpendicularment al terra (fent d'altura sobre la hipotenusa). Els plànols indiquen que aquesta biga divideix la base en dos trams, de manera que el tram més llarg és exactament el triple que el tram curt.

1. a) Modela la situació identificant els elements geomètrics del triangle ($a$, $m$, $n$, $h$) i calcula la longitud exacta de cadascun dels dos trams de terra.
2. b) Calcula l'altura que ha de tenir la biga vertical de reforç i la longitud de les dues superfícies inclinades de la rampa (els catets). Arrodoneix els resultats al centímetre.
3. c) Si la normativa municipal de seguretat per a pistes d'iniciació exigeix que l'altura total no superi els $1,5\text{ m}$, determina raonadament si el disseny compleix la normativa.

En un triangle rectangle coneixem amb exactitud les longituds dels seus dos catets: $b = 15\text{ cm}$ i $c = 20\text{ cm}$. Per trobar l'altura sobre la hipotenusa, $h$, dos estudiants proposen camins diferents:

• Mètode del Sergio: Calcula primer la hipotenusa $a$ mitjançant el teorema de Pitàgores. Després, fa servir el teorema del catet per trobar les dues projeccions, $m$ i $n$, sobre la hipotenusa. Finalment, calcula $h$ aplicant el teorema de l'altura ($h^2 = m \cdot n$).

• Mètode de la Nerea: Calcula primer la hipotenusa $a$ mitjançant Pitàgores. A continuació, iguala dues maneres d'expressar l'àrea del triangle (el producte de catets entre dos enfront de la hipotenusa per l'altura entre dos: $\frac{b \cdot c}{2} = \frac{a \cdot h}{2}$) per aïllar $h$ directament.

1. a) Desenvolupa pas a pas tots dos mètodes i comprova que s'obté un resultat idèntic.
2. b) Si els catets mesuressin valors amb decimals no exactes (per exemple, $b = 13,4\text{ cm}$ i $c = 18,1\text{ cm}$), quin dels dos mètodes resultaria més avantatjós i menys propens a acumular errors d'arrodoniment? Justifica la teva elecció analitzant el nombre de passos i les operacions requerides en cada cas.

En un terreny amb forma de triangle rectangle, s'ha traçat una rasa de reg que coincideix amb l'altura sobre la hipotenusa i mesura $12$ m. Si la raó entre els dos segments en què aquesta rasa divideix la hipotenusa és $\frac{9}{16}$, calcula les dimensions dels tres costats que delimiten el terreny.

En un triangle rectangle, la projecció del catet menor sobre la hipotenusa mesura $x$ cm, la projecció del catet major mesura $(x+5)$ cm, i l'altura relativa a la hipotenusa mesura $(x+2)$ cm. Planteja l'equació corresponent, troba el valor de $x$ i calcula l'àrea total del triangle.

Dos posts verticals d'altures $a = 3$ m i $b = 6$ m estan separats per una distància desconeguda. Es tensen dos cables tensos des de la base de cada post fins a l'extrem superior de l'altre post. Utilitzant la semblança dels triangles rectangles que es formen, demostra que l'altura $h$ a la qual es creuen els cables és independent de la distància que separa els posts i calcula el seu valor.

En un triangle rectangle de catets $8$ cm i $6$ cm, s'inscriu un quadrat de manera que un dels seus vèrtexs coincideix amb l'angle recte del triangle, i els dos costats del quadrat que formen aquest vèrtex descansen sobre els catets. Calcula la mesura del costat del quadrat $x$ utilitzant la semblança dels triangles rectangles que es formen.

L'àrea d'un panell solar amb forma de triangle rectangle és de $150$ dm$^2$ i l'altura relativa a la seva hipotenusa mesura $12$ dm. Plantejant un sistema d'equacions amb les projeccions dels catets, determina la longitud exacta dels dos catets del panell solar.

En un triangle rectangle, la raó entre els quadrats dels catets és $\frac{b^2}{c^2} = \frac{9}{16}$. Si la hipotenusa mesura $50$ cm, utilitza la relació de proporcionalitat deduïda a partir dels teoremes del catet per trobar primer la mesura de les projeccions de tots dos catets sobre la hipotenusa, i posteriorment la longitud exacta dels catets.

Un got cònic de vidre té $15$ cm de profunditat total i $6$ cm de radi a la seva obertura superior. Es omple d'aigua fins que el líquid arriba a una altura de $10$ cm mesurada des del fons (vèrtex inferior). Calcula el radi de la superfície circular de l'aigua utilitzant la semblança de triangles rectangles que es formen amb l'eix central del got.

Si considerem que la Terra és una esfera de radi $R = 6371$ km, i una persona es troba en un globus aerostàtic a una altura de $h = 2$ km sobre la superfície, la línia visual tangent a la superfície forma un triangle rectangle en el punt de l'horitzó. Utilitza el teorema del catet (o el de Pitàgores en triangles semblants) per trobar la distància rectilínia $d$ des del globus aerostàtic fins a l'horitzó visible, aproximant a dos decimals.

Recorda que en una equació quadràtica unitària $x^2 - S\cdot x + P = 0$, el coeficient $S$ representa la suma de les seves dues solucions i el terme independent $P$ representa el seu producte.

1. a) En un triangle rectangle, la hipotenusa completa és la suma de les projeccions ($a = m + n$) i el quadrat de l'altura sobre la hipotenusa és el producte d'aquestes projeccions ($h^2 = m \cdot n$). Sense resoldre l'equació, dedueix el valor de la hipotenusa $a$ i el de l'altura $h$ d'un triangle rectangle sabent que les mesures de les seves projeccions $m$ i $n$ són les arrels de l'equació $x^2 - 13x + 36 = 0$ (amb mesures en centímetres).
2. b) Planteja el problema invers: escriu l'equació de segon grau les solucions de la qual corresponguin a les projeccions $m$ i $n$ d'un triangle rectangle que té una hipotenusa de $a = 25\text{ cm}$ i una altura sobre la hipotenusa de $h = 12\text{ cm}$.
3. c) Resol l'equació que has formulat a l'apartat b) per trobar $m$ i $n$, i calcula a partir d'aquestes les longituds exactes dels dos catets del triangle.

En un triangle rectangle $ABC$ amb angle recte a $A$, el catet $b$ mesura exactament el doble que el catet $c$ ($b = 2c$). Es traça l'altura $h$ sobre la hipotenusa, que la divideix en dos segments: $m$ (projecció del catet menor $c$) i $n$ (projecció del catet major $b$). Aquesta altura divideix el triangle original en dos triangles rectangles menors, $T_1$ i $T_2$.

1. a) Utilitzant el teorema del catet per a tots dos catets, demostra de manera deductiva que la projecció major no és el doble de la menor, sinó que es compleix $n = 4m$.
2. b) Demostra, a partir del teorema de l'altura, que aquesta altura mesura exactament el doble que la projecció menor ($h = 2m$).
3. c) Un equip tècnic cartografia una parcel·la amb aquestes proporcions la hipotenusa de la qual mesura en total $a = 45\text{ m}$. Calcula les mesures de $m$, $n$, $h$ i la raó exacta entre l'àrea de $T_2$ i l'àrea de $T_1$. Explica com es dedueix aquesta mateixa raó d'àrees directament a partir de la semblança de triangles sense necessitat de calcular les àrees numèriques.