Exercicis: Ús de la calculadora

Calcula, utilitzant la calculadora i arrodonint a quatre xifres decimals, el valor de les raons trigonomètriques directes següents: $\sin 34^\circ$, $\cos 78^\circ$ i $\tan 12^\circ$.

Troba el valor de les raons trigonomètriques següents, expressant el resultat amb tres xifres decimals. Assegura't d'introduir correctament els graus, minuts i segons a la calculadora: $\sin(45^\circ 12' 30'')$, $\cos(12^\circ 5')$ i $\tan(89^\circ 0' 10'')$.

Utilitza la funció inversa de la calculadora per trobar l'angle agut $\alpha$, expressat en graus, minuts i segons, sabent que $\sin \alpha = 0,456$.

Determina l'angle agut $\beta$ en graus, minuts i segons, si es coneix que la seva tangent és $\tan \beta = 2,15$.

Calcula, arrodonint a tres decimals, el valor de les raons trigonomètriques recíproques $\sec 55^\circ$, $\csc 20^\circ$ i $\cot 70^\circ$. Recorda utilitzar les relacions fonamentals inverses a la calculadora.

Expressa en radians els angles següents donats en graus sexagesimals, utilitzant el valor de $\pi$ de la calculadora i arrodonint a tres xifres decimals: $40^\circ$, $115^\circ$ i $250^\circ$.

Calcula el valor de $\sin(1,2)$ i $\cos(0,8)$ assumint que els angles estan en radians. Expressa el resultat amb quatre xifres decimals després de configurar correctament el mode de la calculadora.

Un topògraf mesura un angle d'inclinació en un vessant de $14^\circ 25'$. Calcula la tangent d'aquest angle amb quatre decimals per conèixer el coeficient de pendent del terreny.

La Lucía vol calcular la果 cosecant de $42^\circ$ per a un problema de trigonometria. Per fer-ho, prem a la seva calculadora la combinació $\boxed{\text{SHIFT}}\,\boxed{\sin}$ (que activa la funció $\sin^{-1}$) i tot seguit tecleja $42$. En prémer l'igual, la pantalla mostra un missatge d'«ERROR Matemàtic». La Lucía conclou que la cosecant de $42^\circ$ no existeix.

1. a) Explica raonadament els dos errors conceptuals que ha comès la Lucía: per què la calculadora dóna error en introduir $\sin^{-1}(42)$ i per què aquesta tecla no serveix per calcular la cosecant.
2. b) Escriu la seqüència exacta de tecles que ha de prémer en una calculadora estàndard per obtenir $\csc 42^\circ$ i calcula el seu valor arrodonit a quatre xifres decimals assegurant-te que la calculadora està en el mode angular adequat.

Abans de recórrer a la calculadora, convé anticipar la magnitud del resultat per detectar possibles errades de tecleig o de mode angular.

1. a) Sense utilitzar la calculadora, sabent que $\sin 30^\circ = 0,5$ i $\sin 45^\circ \approx 0,7071$, estima raonadament si $\sin 35^\circ$ estarà més proper a $0,55$ o a $0,65$.
2. b) Sabent que $\tan 45^\circ = 1$ i que la tangent creix a mesura que l'angle s'acosta a $90^\circ$, estima si $\tan 50^\circ$ serà lleugerament més gran que $1$ (per exemple, al voltant d'$1,2$) o molt més gran (al voltant de $3$).
3. c) Ara, comprova les teves estimacions calculant $\sin 35^\circ$ i $\tan 50^\circ$ amb la calculadora en mode DEG (arrodonint a quatre xifres decimals). Compara els valors obtinguts amb les teves prediccions i argumenta si les teves deduccions eren encertades.

En un projecte d'arquitectura, una teulada té un pendent del $28\%$. Sabent que el percentatge de pendent equival a la tangent de l'angle d'inclinació multiplicada per $100$, utilitza la calculadora per trobar aquest angle en graus, minuts i segons.

Calcula el valor numèric de l'expressió trigonomètrica següent, arrodonint el resultat final a dos decimals:

$E = \frac{\sin 35^\circ + \cos 55^\circ}{\tan 40^\circ}$

Sabent que $\sec \alpha = 1,8$ i que $\alpha$ és un angle agut, utilitza la calculadora per trobar primer el valor de $\alpha$ en graus, minuts i segons, i a continuació calcula el valor de $\sin \alpha$ arrodonit a tres decimals.

En una rampa de càrrega d'un magatzem, la longitud total de la rampa és de $15 \text{ m}$ i l'altura vertical que salva és de $2,5 \text{ m}$. Calcula l'angle d'inclinació de la rampa respecte de la horitzontal, expressant-lo en graus i minuts.

Comprova numèricament la identitat fonamental $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ per a un angle $\alpha = 37^\circ 42' 15''$. Escriu els valors intermedis del sinus i del cosinus arrodonits a quatre decimals abans d'elevar-los al quadrat i sumar-los.

Una antena de telefonia projecta una ombra de $34,5 \text{ m}$ sobre el terra horitzontal quan el sol es troba a un angle d'elevació de $42^\circ 15'$. Calcula l'altura de l'antena arrodonint a un decimal.

Calcula el valor de l'angle agut $\gamma$ en radians (arrodonint a tres decimals) si es compleix que la seva cotangent és $\cot \gamma = 0,65$.

Avalua l'expressió trigonomètrica següent assumint que els angles estan donats en radians:

$M = \sin(1,5) \cdot \cos(0,5) - \tan(0,8)$.

Expressa el resultat final arrodonit a tres decimals.

Un equip de topografia revisa l'historial d'operacions d'una calculadora de camp i troba únicament l'últim càlcul registrat: la pantalla mostra el resultat d'haver aplicat $\boxed{\tan^{-1}}\,(0,4877)$. Se sap que aquest càlcul servia per determinar l'angle d'inclinació $\alpha$ d'una rampa recta que salva un desnivell vertical exacte de $15\text{ m}$.

1. a) Planteja l'equació trigonomètrica que relaciona aquest valor amb els catets del triangle i troba la longitud horitzontal de la base de la rampa.
2. b) Determina l'angle $\alpha$ amb la calculadora i expressa'l tant en graus decimals (amb dues xifres decimals) com en graus, minuts i segons sexagesimals utilitzant la tecla $\boxed{^\circ\,'\,''}$.
3. c) Si l'informe tècnic exigeix expressar l'angle en radians, calcula aquest valor de dues maneres: primer convertint algebraicament el resultat mitjançant la proporció amb $\pi$, i segon calculant directament $\tan^{-1}(0,4877)$ després de configurar la calculadora en mode RAD. Comprova que ambdós mètodes coincideixen.

A la xarxa de carreteres d'Espanya, la Dirección General de Tráfico (DGT) utilitza senyals de perill (com la P-16a) que indiquen pendents pronunciats en percentatge. Al port de Pajares (Astúries), un tram presenta un senyal de pendent descendent del $14\%$, cosa que significa que la calçada descendeix $14\text{ m}$ per cada $100\text{ m}$ d'avanç en horitzontal.

1. a) Modela el pendent mitjançant un triangle rectangle i escriu la raó trigonomètrica que permet trobar l'angle d'inclinació $\alpha$ del tram respecte a l'horitzontal.
2. b) Utilitza la calculadora en mode DEG per calcular $\alpha$ en graus decimals i, a continuació, expressa'l en graus, minuts i segons sexagesimals.
3. c) Un sistema de frenada automàtica d'un vehicle importat requereix l'angle programat en radians. Converteix l'angle $\alpha$ a radians amb quatre xifres decimals multiplicant pel factor corresponent. Comprova després el resultat configurant la calculadora en mode RAD i calculant de nou la raó inversa directa. Explica què passaria amb el càlcul si un tècnic oblida canviar el mode de la calculadora de RAD a DEG en futures mesurades.

En un experiment de física òptica, un raig de llum passa de l'aire a l'aigua. La llei de Snell estableix que $n_1 \cdot \sin \theta_1 = n_2 \cdot \sin \theta_2$. Si l'índex de refracció de l'aire és $n_1 = 1$, el de l'aigua és $n_2 = 1,33$ i l'angle d'incidència és $\theta_1 = 52^\circ 30'$, calcula l'angle de refracció $\theta_2$ en graus, minuts i segons.

Un avió vola a una altitud constant de $10.500 \text{ m}$. El pilot observa dues ciutats alineades en la mateixa direcció davant seu. La ciutat més propera es veu amb un angle de depressió de $34^\circ 12'$ i la més llunyana amb un angle de depressió de $18^\circ 45'$. Calcula la distància exacta entre les dues ciutats fent servir la calculadora, arrodonint al metre més proper.

Avalua amb la calculadora l'expressió $K = \sin(\arccos 0,6)$. A continuació, demostra algebraicament utilitzant les identitats trigonomètriques fonamentals per què el resultat numèric obtingut és exacte i racional.

Un enginyer civil dissenya una corba peraltada per a una carretera. La fórmula física que relaciona l'angle de peralt $\theta$, la velocitat $v$ (en m/s), el radi de la corba $R$ (en m) i la gravetat $g = 9,8 \text{ m/s}^2$ és $\tan \theta = \frac{v^2}{R \cdot g}$. Si una corba de $150 \text{ m}$ de radi es dissenya per a una velocitat màxima de $90 \text{ km/h}$, calcula l'angle de peralt $\theta$ en graus, minuts i segons.

Resol l'equació trigonomètrica $3 \sin x - 2 = 0$ utilitzant la calculadora per trobar tots els possibles valors de l'angle $x$ compresos entre $0^\circ$ i $360^\circ$. Expressa els resultats finals en graus i minuts.

Per a angles molt petits, el valor del sinus s'aproxima al valor de l'angle expressat en radians. Calcula l'error absolut i l'error relatiu que es comet en aproximar el valor de $\sin 1^\circ$ pel valor de $1^\circ$ convertit a radians. Expressa l'error relatiu en percentatge amb dues xifres decimals.

En un sistema mecànic de politges, la tensió $T$ (en Newton) d'una corretja de transmissió ve donada per la fórmula $T = 500 \cdot \csc(22^\circ 30')$. Calcula el valor de la tensió $T$ arrodonint a dos decimals, detallant quines operacions equivalents introdueixes a la calculadora per obtenir la cosecant.

Un panell solar s'ha d'orientar de manera que optimitzi la captació de llum. El percentatge d'eficiència de captació ve donat per l'expressió $E = 100 \cdot \cos(\alpha - 38^\circ 15')$, on $\alpha$ és l'angle d'inclinació del panell. Si per restriccions de la teulada el panell s'instal·la amb una inclinació $\alpha = 45^\circ 20'$, utilitza la calculadora per determinar la seva eficiència $E$ arrodonida a un decimal.

Per calcular la longitud d'un tirant d'acer en una antena de comunicacions és necessari avaluar la cosecant de l'angle d'elevació $\alpha = 36^\circ 24' 45''$. Tres estudiants de 4t d'ESO proposen procediments diferents amb la calculadora:

• Mètode d'en Sergio: Converteix mentalment els minuts i segons a decimal aproximant a dues xifres ($24' \approx 0,40^\circ$ i $45'' \approx 0,01^\circ$, sumant $36,41^\circ$), calcula $\sin(36,41^\circ)$ i prem la tecla $\boxed{x^{-1}}$.

• Mètode de l'Elena: Introdueix l'angle complet amb la tecla sexagesimal $\boxed{^\circ\,'\,''}$ teclejant $36\,\boxed{^\circ\,'\,''}\,24\,\boxed{^\circ\,'\,''}\,45\,\boxed{^\circ\,'\,''}$, calcula directament el seu sinus i després prem $\boxed{x^{-1}}$.

• Mètode de la Clara: Converteix l'angle a radians en un paper mitjançant la fórmula exacta $\alpha_{\text{rad}} = \left(36 + \frac{24}{60} + \frac{45}{3600}\right) \cdot \frac{\pi}{180}$, introdueix aquest valor numèric amb la calculadora en mode RAD, calcula el sinus i eleva a $-1$.

1. a) Executa els tres mètodes a la teva calculadora i anota el resultat de $\csc \alpha$ per a cadascun amb cinc xifres decimals.
2. b) Considerant el resultat de l'Elena com la referència exacta de l'instrument, calcula l'error absolut que comet en Sergio a causa de l'arrodoniment previ.
3. c) Compara els tres mètodes i justifica quin és el més eficient i segur a la pràctica, argumentant per què el procediment d'en Sergio és desaconsellable en projectes tècnics.

Durant una prova pràctica amb calculadora científica, en Mateo tecleja $\cos(60)$ esperant obtenir $0,5$, però la pantalla mostra $-0,9524$. Desconcertat, prova de teclejar $\sin(30)$ i obté $-0,9880$.

1. a) Identifica l'error de configuració de la calculadora d'en Mateo. Explica què ha calculat realment la màquina en introduir el número $60$ i justifica geomètricament per què aquest valor resulta negatiu basant-te en el fet que una volta completa són $2\pi \approx 6,28\text{ rad}$.
2. b) Suposa que el teclat d'en Mateo té la tecla de canvi de mode espatllada i ha d'acabar l'examen amb la màquina fixa en aquest mode. Dedueix i escriu l'expressió matemàtica exacta que ha de teclejar perquè la calculadora mostri el valor correcte de $\cos(60^\circ)$. Comprova teclejant aquesta expressió que el resultat obtingut és exactament $0,5$.
3. c) La seva comanys Alba necessita esbrinar un angle agut $\beta$ el sinus del qual val $0,5$. Introdueix a la seva pròpia calculadora $\boxed{\sin^{-1}}\,(0,5)$ i la pantalla mostra $0,5236$. Determina raonadament en quin mode està la calculadora de l'Alba i dedueix quina fracció exacta de $\pi$ i quants graus sexagesimals representa aquest valor.