Exercicis: Successos simples

Escriu l'espai mostral associat a l'experiment aleatori consistent a extreure una bola d'una urna que conté $5$ boles numerades del $1$ al $5$.

En una caixa d'eines hi ha $12$ cargols, $8$ femelles i $5$ claus. Si s'extreu una peça a l'atzar, calcula la probabilitat que sigui una femella.

Es llança un dau cúbic equilibrat amb les cares numerades del $1$ al $6$. Determina els elements que formen el succés contrari a «treure un nombre menor que $3$» i calcula la seva probabilitat.

D'una baralla espanyola de $40$ cartes s'extreu una carta a l'atzar. Calcula la probabilitat d'obtenir un cavall.

En l'experiment de llançar un dau de $6$ cares, classifica els successos següents en elementals, compostos, segurs o impossibles:

• $A = $ «treure un $4$»

• $B = $ «treure un nombre més gran que $6$»

• $C = $ «treure un nombre parell»

• $D = $ «treure un nombre menor que $10$»

Considera l'experiment de treure una carta d'una baralla espanyola de $40$ cartes. Indica si els successos $A = $ «treure una figura» i $B = $ «treure un or» són compatibles o incompatibles. Justifica la teva resposta.

Donat l'espai mostral $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ i els successos $A = \{2, 4, 6, 8\}$ i $B = \{1, 2, 3, 4\}$, determina els elements que formen els successos $A \cup B$ i $A \cap B$.

Una ruleta de fira està dividida en $8$ sectors circulars iguals, numerats del $1$ al $8$. Calcula la probabilitat que, en girar-la, la fletxa s'aturi en un nombre múltiple de $3$.

En Marcos llança simultàniament dues monedes equilibrades d'$1$ euro i afirma el següent: «L'espai mostral d'aquest experiment és $E = \{ \text{dues cares}, \text{una cara i una creu}, \text{dues creus} \}$. Com que hi ha $3$ casos possibles i només un d'ells és "obtenir una cara i una creu", la regla de Laplace indica que la probabilitat de treure una cara i una creu és $\frac{1}{3}$». a) Explica raonadament quin és l'error conceptual d'en Marcos i per què no és lícit aplicar la regla de Laplace sobre l'espai mostral que ell ha proposat. b) Escriu l'espai mostral correcte format per esdeveniments elementals equiprobables i calcula la probabilitat real de l'esdeveniment analitzat per en Marcos.

En una baralla espanyola de $40$ cartes (dividida en $4$ pals de $10$ cartes cadascun: oros, copes, espases i bastos, numerades de l'$1$ al $7$ més sota, cavall i rei), s'extreu una carta a l'atzar. Considera l'esdeveniment $A$: «extreure una carta que sigui una figura (sota, cavall o rei) o que porti un nombre primer ($2$, $3$, $5$ o $7$)». a) Abans de calcular, estima raonadament si $P(A)$ serà més gran, més petita o igual a $0,5$, analitzant quantes cartes d'un sol pal compleixen almenys una de les dues condicions. b) Comprova la teva estimació calculant el valor exacte de $P(A)$ mitjançant la regla de Laplace (expressa el resultat en forma de fracció irreductible i en nombre decimal) i determina si la teva previsió inicial ha estat correcta.

Es llancen simultàniament dos daus cúbics equilibrats i s'anota la suma de les puntuacions obtingudes a les cares superiors. Calcula la probabilitat que la suma sigui exactament $8$.

En una fàbrica de components electrònics, un control de qualitat inspecciona un lot de $500$ peces. Després de la revisió, s'han trobat $15$ peces defectuoses. Si un client tria una peça a l'atzar d'aquest lot, quina és la probabilitat que funcioni correctament?

Sabent que la probabilitat que es produeixi un succés $A$ és $P(A) = \frac{9}{20}$, la probabilitat que es produeixi un succés $B$ és $P(B) = \frac{3}{10}$ i la probabilitat que es produeixin tots dos alhora és $P(A \cap B) = \frac{1}{10}$, calcula la probabilitat que es produeixi almenys un dels dos successos.

S'introdueixen en una urna fitxes amb cadascuna de les lletres de la paraula $ESPECTACULO$. Si s'extreu una fitxa a l'atzar, calcula la probabilitat que la lletra extreta sigui una vocal o la lletra $C$.

Un jugador de bàsquet ha llançat $80$ tirs lliures durant la temporada, encistellant-ne $64$. Utilitzant la freqüència relativa com a estimació de la probabilitat, quina és la probabilitat que falli el seu proper tir lliure?

En una classe de $30$ alumnes, $18$ practiquen natació, $15$ practiquen tennis i $5$ no practiquen cap dels dos esports. Si es tria un alumne a l'atzar, calcula la probabilitat que practiqui tots dos esports simultàniament.

En un refugi d'animals, el $40\%$ dels gossos són de mida gran, el $35\%$ són de mida mitjana i la resta són de mida petita. Si es selecciona un gos a l'atzar per a una passejada, calcula la probabilitat que no sigui de mida mitjana.

Es llancen a l'aire tres monedes equilibrades simultàniament. Descriu l'espai mostral i calcula la probabilitat d'obtenir exactament dues cares.

Estàs dissenyant una ruleta circular per a una fira escolar dividida en sectors continus de tres colors: vermell, blau i verd. Per ajustar els premis del joc, el disseny ha de verificar les condicions següents: 1) La probabilitat que la ruleta no s'aturi en el color verd és exactament $\frac{7}{10}$. 2) L'esdeveniment «obtenir vermell» té una probabilitat que supera en $0,1$ la de l'esdeveniment «obtenir blau». Determina la probabilitat de cadascun dels tres colors (esdeveniments elementals) i calcula l'angle en graus que ha d'abraçar el sector de cada color en el cercle complet de $360^\circ$. Justifica els teus passos utilitzant la propietat de l'esdeveniment contrari i de la unió d'esdeveniments incompatibles.

En un institut d'Educació Secundària, la direcció d'estudis analitza la matrícula dels $120$ estudiants de 4t d'ESO en les matèries optatives de modalitat. Les dades oficials reflecteixen que $72$ alumnes cursen Biologia i Geologia, $48$ cursen Física i Química, i $24$ cursen totes dues matèries simultàniament. Si se selecciona a l'atzar un estudiant de 4t d'ESO d'aquest centre: a) Modela la situació definint els esdeveniments elementals i calcula les probabilitats $P(B)$, $P(F)$ i $P(B \cap F)$. b) Aplica la fórmula de la probabilitat de la unió per calcular la probabilitat que l'estudiant cursi almenys una de les dues assignatures. c) Fent servir l'esdeveniment contrari, calcula la probabilitat que no cursi cap de les dues matèries.

En una urna hi ha $x$ boles vermelles i $6$ boles blanques. Si es sap que la probabilitat d'extreure una bola vermella a l'atzar és $\frac{2}{5}$, planteja una equació i determina el nombre total de boles que hi ha a l'urna.

Una diana circular està formada per tres cercles concèntrics de radis $10\text{ cm}$, $20\text{ cm}$ i $30\text{ cm}$. Si un dard impacta a l'atzar en qualsevol punt de la diana (garantint que sempre encerta dins del cercle més gran), calcula la probabilitat que caigui a la corona circular intermèdia (la zona meitat entre el radi de $10\text{ cm}$ i el de $20\text{ cm}$).

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un experiment aleatori tals que $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{1}{3}$ i $P(A \cup B) = \frac{3}{4}$. Utilitzant les propietats de la probabilitat, calcula la probabilitat del succés contrari de la intersecció, és a dir, $P(\overline{A \cap B})$.

Per accedir a una caixa forta, s'ha d'introduir un codi numèric de $3$ xifres (des del $000$ fins al $999$). Un lladre, que no coneix la clau, prova un nombre a l'atzar. Calcula la probabilitat que el codi introduït tingui les tres xifres idèntiques.

En un sorteig s'extreu una bola d'un bombo que conté $100$ boles numerades del $1$ al $100$. Calcula la probabilitat que el nombre de la bola extreta contingui almenys un dígit $7$.

Una enquesta realitzada a $200$ clients d'una cafeteria revela que $120$ prenen cafè, $90$ prenen torrades i $40$ no prenen cap de les dues coses. Si es tria un client a l'atzar, calcula la probabilitat que el client prengui cafè però NO prengui torrades.

Un dau de sis cares està trucat de manera que la probabilitat que surti una cara parell és el doble de la probabilitat que surti una cara senar. Sabent que totes les cares parells tenen la mateixa probabilitat entre si, i passa el mateix amb les cares senars, calcula la probabilitat exacta de treure un $6$.

Es disposa de dos successos $A$ i $B$ incompatibles d'un mateix experiment aleatori. Sabent que la probabilitat que no es produeixi $A$ és $P(\overline{A}) = 0,7$ i la probabilitat que es produeixi almenys un dels dos és $P(A \cup B) = 0,8$, calcula la probabilitat que es produeixi el succés $B$.

Es llancen alhora tres daus cúbics equilibrats amb cares numerades de l'$1$ al $6$. Es vol calcular la probabilitat de l'esdeveniment $A$: «obtenir almenys un $5$ en la tirada». Dos estudiants debaten quin camí seguir: l'Estratègia 1 (mètode directe) consisteix a descompondre $A$ en la suma de tres esdeveniments incompatibles («exactament un $5$», «exactament dos $5$» i «tres cincs») i sumar les seves probabilitats; l'Estratègia 2 (esdeveniment contrari) consisteix a calcular la probabilitat de $\bar{A}$ («no obtenir cap $5$ en cap dels tres daus») i aplicar $P(A) = 1 - P(\bar{A})$. a) Desenvolupa completament tots dos mètodes fins a obtenir el resultat en forma de fracció irreductible, comprovant que coincideixen. b) Justifica quina de les dues estratègies és més eficient i raona com afectaria l'elecció del mètode si l'experiment consistís a llançar $8$ daus equilibrats en lloc de $3$.

En una classe de Matemàtiques s'analitza un experiment aleatori amb dos esdeveniments, $A$ i $B$, d'un mateix espai mostral, les probabilitats dels quals són $P(A) = 0,65$ i $P(B) = 0,55$. La Lucía afirma: 1) «Els esdeveniments $A$ i $B$ poden ser incompatibles si dissenyem bé l'experiment». 2) «El valor mínim possible per a la probabilitat de la intersecció $P(A \cap B)$ és $0$». 3) «La probabilitat de la unió $P(A \cup B)$ podria ser $1,2$ si sumem les seves probabilitats». a) Refuta raonadament les tres afirmacions de la Lucía aplicant els axiomes i les propietats de la probabilitat ($P(A \cup B) \le 1$ i la fórmula de la unió). b) Dedueix l'interval exacte $[p_{\min}, p_{\max}]$ en el qual necessàriament s'ha de trobar $P(A \cap B)$. c) Dissenya un exemple concret mitjançant una urna amb $20$ boles numerades de l'$1$ al $20$ on es compleixin exactament $P(A) = 0,65$ i $P(B) = 0,55$ i s'assoleixi el valor mínim $p_{\min}$ de la intersecció.