Exercicis: Successos compostos

Llancem dues monedes a l'aire de forma independent. Calcula la probabilitat d'obtenir exactament dues creus.

En una caixa hi ha $5$ boles vermelles i $3$ boles blaves. S'extreu una bola, se n'anota el color, es retorna a la caixa i s'extreu una segona bola. Troba la probabilitat que totes dues boles siguin vermelles.

Llancem un dau cúbic equilibrat (amb les cares numerades del $1$ al $6$) i una moneda. Quina és la probabilitat d'obtenir un nombre parell al dau i una cara a la moneda?

D'una baralla espanyola de $40$ cartes s'extreuen dues cartes consecutivament sense reemplaçament. Calcula la probabilitat que les dues cartes siguin Reis.

En un restaurant, el $60\%$ dels clients demana menú del dia i el $40\%$ demana a la carta. Dels qui demanen menú, el $70\%$ pren postres. Dels qui demanen a la carta, el $50\%$ pren postres. Calcula la probabilitat que un client triat a l'atzar demani menú del dia i prengui postres.

En una classe de 4t d'ESO hi ha $12$ nois i $18$ noies. Es sap que $4$ nois i $6$ noies porten ulleres. Si triem un estudiant a l'atzar, quina és la probabilitat que sigui una noia que porta ulleres?

Fem girar les dues ruletes independents que es mostren a la figura. Calcula la probabilitat que la primera ruleta marqui el nombre $3$ i la segona ruleta marqui el color verd (V).

En un carrer hi ha dos semàfors independents. La probabilitat que el primer estigui en verd és de $0,4$ i la probabilitat que el segon estigui en verd és de $0,5$. Troba la probabilitat de trobar-se tots dos semàfors en verd en passar per aquest carrer.

En una caixa hi ha $6$ bolígrafs blaus i $4$ bolígrafs negres. Extraiem dos bolígrafs consecutivament i sense reemplaçament. Volem calcular la probabilitat que els dos bolígrafs extrets siguin del mateix color.

En Sergio fa la resolució següent:

«Com que hi ha dos colors possibles, primer calculo la probabilitat de dos blaus: $\frac{6}{10} \cdot \frac{6}{10} = \frac{36}{100}$. Després la de dos negres: $\frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{16}{100}$. Finalment, com que em val qualsevol dels dos casos, multiplico tots dos resultats: $\frac{36}{100} \cdot \frac{16}{100} = 0,0576$, és a dir, un $5,76\,\%$».

1. a) Identifica i explica els dos errors conceptuals que ha comès en Sergio: un de relatiu a la dependència entre etapes consecutives i un altre a la combinació de les branques finals.
2. b) Corregeix el plantejament i calcula la probabilitat exacta d'obtenir dos bolígrafs del mateix color en forma de fracció irreductible i com a percentatge.

En un joc de taula, per superar un obstacle has de llançar un dau de sis cares dues vegades seguides. La regla estableix que superes l'obstacle si obtens almenys un nombre més gran que $4$ (és a dir, un $5$ o un $6$) en qualsevol dels dos llançaments.

1. a) Estima: Abans de fer cap càlcul matemàtic exacte, reflexiona i respon: creus que la probabilitat final de superar el repte serà menor del $50\,\%$, exactament el $50\,\%$ o major del $50\,\%$? Escriu una frase que justifiqui la teva intuïció.
2. b) Comprova: Modela la tirada doble com un esdeveniment compost. Calcula primer la probabilitat de l'esdeveniment contrari («no obtenir més de 4 en cap llançament») aplicant la regla del producte i, a partir d'aquest, obtén la probabilitat real de superar l'obstacle en forma de fracció irreductible i percentatge.
3. c) Compara el resultat amb la teva estimació inicial: ha coincidit amb el que havies pensat? Raona per què en encadenar dues oportunitats la probabilitat global acumulada resulta notablement més gran que la d'una sola tirada individual (que és $\frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 33,3\,\%$).

S'extreuen tres cartes consecutivament i sense reemplaçament d'una baralla espanyola de $40$ cartes. Calcula la probabilitat d'obtenir tres cartes del pal d'ors.

En un poliesportiu s'ofereixen classes de tennis i pàdel. Hi ha $120$ socis inscrits en aquestes classes, i cada soci practica un sol esport. Es sap que $70$ socis juguen a pàdel i que hi ha $50$ dones en total. A més, $30$ dones juguen a tennis. Si es tria un soci a l'atzar, calcula la probabilitat que sigui un home que juga a pàdel.

Disposem de dues urnes. L'urna $A$ conté $4$ boles blanques i $2$ negres. L'urna $B$ conté $3$ boles blanques i $5$ negres. Llancem una moneda equilibrada; si surt cara, extreiem una bola de l'urna $A$, i si surt creu, extreiem una bola de l'urna $B$. Troba la probabilitat que la bola extreta sigui blanca.

Una fàbrica de components electrònics té dues màquines. La màquina $M_1$ produeix el $60\%$ dels components i la màquina $M_2$ el $40\%$ restant. Es sap que el $2\%$ dels components produïts per $M_1$ són defectuosos, mentre que el $5\%$ dels produïts per $M_2$ són defectuosos. Si es selecciona un component a l'atzar al magatzem, quina és la probabilitat que sigui defectuós?

Dues jugadores de bàsquet, Marta i Laura, llancen un tir lliure cadascuna. La probabilitat que la Marta encistelli és $0,8$ i la probabilitat que la Laura encistelli és $0,7$. Els seus llançaments són successos independents. Calcula la probabilitat que almenys una de les dues encistelli el seu tir lliure.

En un joc, un participant extreu primer una carta d'una baralla espanyola de $40$ cartes. Si la carta extreta és del pal de copes, llança un dau cúbic equilibrat (del $1$ al $6$). Si la carta NO és de copes, llança una moneda. Quina és la probabilitat que el participant acabi obtenint un $5$ al dau?

Tenim dues caixes. La caixa 1 conté $3$ fitxes vermelles i $2$ verdes. La caixa 2 conté $1$ fitxa vermella i $4$ verdes. S'extreu una fitxa a l'atzar de la caixa 1 i, sense mirar-ne el color, s'introdueix a la caixa 2. A continuació, s'extreu una fitxa a l'atzar de la caixa 2. Calcula la probabilitat que aquesta segona fitxa sigui vermella.

Un arquer té una probabilitat de $0,85$ de fer diana al centre en cada tir. Si realitza tres tirs consecutius i independents, troba la probabilitat que falli tots tres tirs.

Un tirador de precisió té una probabilitat fixa de $0,7$ d'encertar a una diana en cada tret. Si fa $3$ trets de manera totalment independent, volem calcular la probabilitat que aconsegueixi fer diana almenys una vegada.

Per resoldre aquest problema es poden plantejar dues estratègies diferents:

• Mètode A (directe): Identificar tots els resultats favorables (encertar exactament una vegada, encertar exactament dues vegades o encertar els tres trets), calcular la probabilitat de cada branca de l'arbre i sumar-les.

• Mètode B (esdeveniment contrari): Calcular la probabilitat de fallar els tres trets de manera consecutiva i restar aquest valor d'$1$.

1. a) Compara els dos camins: quantes branques del diagrama d'arbre hauries de calcular i sumar amb el Mètode A en comparació amb les operacions necessàries amb el Mètode B? Justifica quin és més eficient i segur contra badades algebraiques.
2. b) Aplica el mètode més convenient per calcular la probabilitat demanada, expressant el resultat final en format decimal i com a percentatge.
3. c) Si el tirador fes $5$ trets en lloc de $3$, raona com canviaria la quantitat de càlculs necessaris en el Mètode A en comparació amb el Mètode B.

Segons els registres d'una prefectura provincial de trànsit a Espanya relatius als aspirants que obtenen el permís B de conduir:

• La probabilitat que un alumne aprovi l'examen teòric en la seva primera convocatòria és del $70\,\%$.

• Entre els qui aproven el teòric a la primera, la probabilitat d'aprovar l'examen pràctic a la primera és del $60\,\%$.

• Entre els qui suspenen el teòric en primera convocatòria (i l'aproven en convocatòries posteriors), la probabilitat d'aprovar el pràctic a la primera és del $40\,\%$.

1. a) Modela el procés descrivint les etapes de l'experiment compost i les probabilitats assignades a cada branca.
2. b) Si es tria un aspirant a l'atzar, calcula la probabilitat que aprovi tant l'examen teòric com el pràctic a la primera convocatòria.
3. c) Calcula la probabilitat total que un aspirant triat a l'atzar aprovi l'examen pràctic a la primera, amb independència de si va aprovar el teòric a la primera o va necessitar més intents. Explica per què és necessari sumar les probabilitats de dos camins diferents de l'arbre.

Una prova mèdica per detectar una malaltia té les característiques següents: si una persona està malalta, la prova dóna positiu en el $95\%$ dels casos. Si la persona està sana, la prova dóna positiu (fals positiu) en el $3\%$ dels casos. Es sap que el $2\%$ de la població pateix aquesta malaltia. Si es tria una persona a l'atzar i se li fa la prova, quina és la probabilitat que el resultat sigui positiu?

Dos equips d'e-sports, Alpha i Beta, juguen la final d'un torneig al millor de tres partides (el primer que guanyi dues partides es proclama campió). La probabilitat que Alpha guanyi una partida és $0,6$ i la que guanyi Beta és $0,4$ (no hi ha empats). Els resultats de les partides són independents. Calcula la probabilitat que l'equip Alpha guanyi el torneig.

Una urna conté $x$ boles blanques i $5$ boles negres. S'extreuen dues boles consecutivament i sense reemplaçament. Si sabem que la probabilitat que totes dues boles siguin blanques és de $\frac{1}{6}$, planteja una equació de segon grau i determina el nombre inicial de boles blanques $x$ que hi havia a l'urna.

El diàgrama següent mostra un sistema de canonades amb tres vàlvules $A$, $B$ i $C$. L'aigua flueix d'esquerra a dreta. Perquè l'aigua arribi al final, ha de passar per la vàlvula $A$ o per la branca inferior que conté les vàlvules $B$ i $C$ en sèrie. Les probabilitats que les vàlvules estiguin obertes són $P(A) = 0,7$, $P(B) = 0,8$ i $P(C) = 0,9$. Sabent que el funcionament de cada vàlvula és independent, calcula la probabilitat que l'aigua aconsegueixi travessar el sistema.

En un congrés internacional, el $40\%$ dels assistents són europeus i el $60\%$ són americans. Es sap que el $30\%$ dels europeus i el $20\%$ dels americans són bilingües. Si seleccionem dos assistents a l'atzar amb reemplaçament, quina és la probabilitat que exactament un dels dos sigui bilingüe?

S'extreuen cartes d'una baralla espanyola de $40$ cartes d'una en una i sense reemplaçament, fins que aparegui el primer As. L'experiment acaba en el moment en què surt un As o quan s'han extret $3$ cartes com a màxim. Calcula la probabilitat que l'experiment acabi havent trobat un As.

Es llança un dard a la diana de la figura, formada per dos cercles concèntrics de radi $R$ i $2R$. El dard sempre impacta a la diana i la probabilitat d'impactar en una regió és proporcional a la seva àrea. Si es llancen dos dards de forma independent, calcula la probabilitat que un dard caigui a la zona central (A) i l'altre a la zona exterior (B).

Disposem de dues urnes. L'urna $U_1$ conté $2$ boles vermelles i $2$ boles negres. L'urna $U_2$ està inicialment buida. S'extreuen simultàniament dues boles de $U_1$ i s'introdueixen a $U_2$. A continuació, s'extreu una bola a l'atzar de $U_2$. Calcula la probabilitat que la bola extreta de $U_2$ sigui vermella.

En un calaix hi ha guardats exactament $10$ mitjons idèntics al tacte: $n$ d'ells són de color blau i els $10 - n$ restants són de color gris. Una persona extreu a les fosques i de manera consecutiva dos mitjons sense reemplaçament.

Sabent que la probabilitat que els dos mitjons extrets siguin de diferent color és exactament igual a $\frac{8}{15}$:

1. a) Modela l'experiment com un esdeveniment compost de dues etapes consecutives i escriu l'expressió algebraica d'aquesta probabilitat en funció de $n$.
2. b) Planteja una equació a partir de la dada coneguda i resol algebraicament el valor de $n$ per determinar quants mitjons blaus hi pot haver al calaix.
3. c) Interpreta el fet d'obtenir dues solucions matemàtiques diferents: per què té ple sentit lògic en el context físic del problema que existeixin dos valors vàlids per a $n$?

Un museu protegeix una escultura valuosa mitjançant un sistema de seguretat compost per dos sensors independents: una barrera perimetral d'infrarojos (Sensor A) i una base de pressió sota la peanya (Sensor B). En cas d'intrusió real, el Sensor A s'activa amb una probabilitat de $0,90$, mentre que el Sensor B s'activa amb una probabilitat de $0,85$.

L'empresa de seguretat proposa dues possibles configuracions tècniques per disparar l'alarma general:

• Configuració en paral·lel (redundant): L'alarma sona si s'activa almenys un dels dos sensors.

• Configuració en sèrie (restrictiva): L'alarma sona únicament si s'activen tots dos sensors simultàniament (pensada per minimitzar falses alarmes provocades per corrents d'aire o pols).

1. a) Modela la configuració en paral·lel mitjançant esdeveniments compostos i calcula la probabilitat que l'alarma soni si entra un intrús (empra la regla del producte amb els esdeveniments complementaris).
2. b) Modela la configuració en sèrie i calcula la seva probabilitat d'activació davant d'una intrusió.
3. c) La direcció del museu dubta entre mantenir la configuració en paral·lel o substituir tot l'equip per un únic sensor làser d'última generació amb una fiabilitat de detecció individual del $0,96$. Basant-te en els teus càlculs anteriors, justifica matemàticament quina opció ofereix més protecció real contra robatoris i argumenta quin inconvenient operatiu presenta el sistema més sensible davant de falses alarmes.