Exercicis: Notació científica

Escriu en notació científica els nombres decimals següents:

1. a) $450 000 000$
2. b) $0,000000032$
3. c) $12 500$
4. d) $0,000105$

Expressa en notació decimal ordinària els nombres següents donats en notació científica:

1. a) $3,4 \cdot 10^5$
2. b) $1,89 \cdot 10^{-4}$
3. c) $7 \cdot 10^8$
4. d) $5,02 \cdot 10^{-6}$

Indica quins dels nombres següents no estan escrits correctament en notació científica i escriu-los de forma correcta:

1. a) $45,2 \cdot 10^3$
2. b) $0,8 \cdot 10^{-2}$
3. c) $3,1 \cdot 10^5$
4. d) $12 \cdot 10^{-4}$

Efectua les multiplicacions següents agrupant els nombres i les potències de base $10$. Expressa el resultat final en notació científica:

1. a) $(3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^5)$
2. b) $(4 \cdot 10^{-3}) \cdot (2 \cdot 10^{-4})$
3. c) $(5 \cdot 10^6) \cdot (3 \cdot 10^{-2})$

Efectua les divisions següents i dona el resultat en notació científica:

1. a) $(8 \cdot 10^7) : (2 \cdot 10^3)$
2. b) $(9 \cdot 10^{-4}) : (3 \cdot 10^{-2})$
3. c) $(1,5 \cdot 10^5) : (3 \cdot 10^8)$

Calcula les sumes i restes següents que tenen el mateix exponent en la potència de $10$:

1. a) $4,2 \cdot 10^5 + 3,1 \cdot 10^5$
2. b) $8,7 \cdot 10^{-3} - 2,5 \cdot 10^{-3}$
3. c) $5,5 \cdot 10^8 + 4,5 \cdot 10^8$

Ordena de menor a major els nombres següents escrits en notació científica:

$A = 3,2 \cdot 10^4$

$B = 4,1 \cdot 10^{-3}$

$C = 1,5 \cdot 10^4$

$D = 8,9 \cdot 10^{-4}$

$E = 2 \cdot 10^5$

Determina l'ordre de magnitud (la potència de $10$ més pròxima) de les quantitats següents expressades en notació científica:

1. a) $4,8 \cdot 10^6$
2. b) $1,1 \cdot 10^{-5}$
3. c) $9,2 \cdot 10^{12}$
4. d) $2,5 \cdot 10^{-8}$

En Marcos està resolent un exercici de laboratori en què ha de calcular el producte de dues magnituds: $A = 4 \cdot 10^5$ i $B = 3,5 \cdot 10^3$. En el seu quadern escriu el desenvolupament següent:

1. a) Identifica i explica els dos errors conceptuals que ha comès en Marcos (un en les propietats de les potències i un altre en ajustar la mantissa a la definició de notació científica).
2. b) Mostra el procediment correcte pas a pas i escriu el resultat definitiu en notació científica.

Es vol calcular quantes vegades és més gran la distància mitjana de la Terra a la Lluna ($d_L = 3,84 \cdot 10^5\text{ km}$) que la longitud de l'equador terrestre ($L_E = 4,0 \cdot 10^4\text{ km}$).

1. a) Estima: Abans de fer cap càlcul exacte, arrodoneix la mantissa de $d_L$ a l'enter més proper i calcula mentalment l'ordre de magnitud aproximat del quocient $\frac{d_L}{L_E}$ (és a dir, a quantes voltes completes a l'equador equival aproximadament un viatge a la Lluna).
2. b) Calcula: Fes ara la divisió amb les dades exactes aplicant les propietats de la notació científica.
3. c) Comprova: Compara el valor obtingut amb la teva estimació inicial i raona si el teu resultat és coherent i físicament versemblant.

Calcula les sumes i restes següents amb diferent exponent, ajustant primer les potències de $10$ perquè coincideixin. Expressa el resultat en notació científica:

1. a) $3,5 \cdot 10^6 + 4,2 \cdot 10^5$
2. b) $7,1 \cdot 10^{-4} - 5 \cdot 10^{-5}$

Un glòbul roig humà té un diàmetre aproximat de $7,5 \cdot 10^{-6}$ metres. Si en un experiment de laboratori aconseguíssim alinear $4 \cdot 10^6$ glòbuls rojos un rere l'altre, quina longitud en metres assoliria la fila? Expressa el resultat en notació científica i en format decimal ordinari.

La distància mitjana de la Terra al Sol és d'uns $1,5 \cdot 10^8$ km i la velocitat de la llum al buit és de $3 \cdot 10^5$ km/s. Utilitzant la fórmula del moviment rectilini uniforme ($t = \frac{d}{v}$), quants segons triga la llum del Sol a arribar a la Terra? Expressa el resultat en notació científica i després converteix-lo a minuts.

Un disc dur extern té una capacitat d'emmagatzematge de $2$ Terabytes (TB). Si una fotografia d'alta resolució ocupa una mitjana de $4 \cdot 10^6$ bytes, quantes fotografies es poden emmagatzemar com a màxim en aquest disc dur?

Dada: Considera que $1$ TB equival a $10^{12}$ bytes.

El Producte Interior Brut (PIB) d'un país europeu ascendeix a $1,2 \cdot 10^{12}$ euros. Si la població total del país és de $4 \cdot 10^7$ habitants, quin és el PIB per càpita (euros per habitant)? Expressa el resultat en notació científica i en euros ordinaris.

En física de partícules es sap que la massa d'un electró és aproximadament $9,1 \cdot 10^{-31}$ kg i la massa d'un protó és d'uns $1,67 \cdot 10^{-27}$ kg. Calcula quantes vegades és més massiu un protó que un electró. Expressa la solució en notació científica amb dues xifres decimals.

Resol la següent operació combinada respectant la jerarquia de les operacions i dona el resultat final ajustat en notació científica:

$\frac{(4,2 \cdot 10^5) \cdot (2 \cdot 10^{-3})}{3 \cdot 10^4}$

Un embassament d'aigua per a consum humà conté $4,5 \cdot 10^3$ hectómetres cúbics ($hm^3$). Sabent que $1$ $hm^3$ equival a $10^9$ litres, expressa la capacitat total de l'embassament en litres utilitzant notació científica. Si la ciutat a la qual abasteix consumeix $5 \cdot 10^7$ litres d'aigua diàriament, per a quants dies hi ha reserves suficients?

Segons dades de l'Institut Nacional d'Estadística (INE), el consum mitjà d'aigua a les llars espanyoles és d'aproximadament $133\text{ litres}$ per habitant i dia. A Espanya resideixen al voltant de $4,8 \cdot 10^7$ persones.

1. a) Expressa el consum d'una persona en un dia en metres cúbics ($1\text{ m}^3 = 10^3\text{ litres}$) utilitzant la notació científica.
2. b) Calcula el volum total d'aigua consumit a les llars de tot Espanya durant un any no de traspàs ($3,65 \cdot 10^2\text{ dies}$). Expressa el resultat en metres cúbics en notació científica.
3. c) L'embassament d'Alarcón té una capacitat màxima aproximada de $1,1 \cdot 10^9\text{ m}^3$. Quants embassaments com aquest es necessitarien per proveir el consum domèstic anual espanyol? Arrodoneix a les dècimes i explica breument la importància de l'estalvi domèstic davant d'aquest volum.

Per calcular el valor exacte de l'expressió:

tres estudiants proposen estratègies diferents:

• Estratègia A (Elena): Convertir els tres sumands a notació decimal amb tots els seus zeros a l'esquerra, sumar-los i restar-los en columna, i finalment passar el resultat a notació científica.

• Estratègia B (Bernat): Transformar tots els termes perquè comparteixin la potència del terme més gran ($10^{-4}$), treure factor comú d'aquesta potència, operar les mantisses i reajustar si calgués.

• Estratègia C (Clara): Transformar tots els termes a la potència de l'exponent més petit ($10^{-6}$), operar les mantisses enteres resultants i després reajustar a notació científica.

1. a) Resol l'operació seguint l'Estratègia B i expressa el resultat en notació científica.
2. b) Avalua críticament l'Estratègia A: quins riscos matemàtics i pràctics comporta en treballar amb exponents molt petits o molt grans?
3. c) Compara l'Estratègia B i l'Estratègia C: quina de les dues minimitza la probabilitat d'haver de reajustar la mantissa al final perquè quedi en l'interval $[1, 10)$? Justifica quina recomanaries utilitzar de manera general.

Per fer estimacions astronòmiques, la Terra es pot aproximar a una esfera perfecta amb un radi $R = 6,37 \cdot 10^3$ km. Sabent que el volum d'una esfera es calcula mitjançant la fórmula $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, calcula el volum de la Terra en $km^3$. Expressa el resultat final en notació científica arrodonint a dues xifres decimals. (Utilitza $\pi \approx 3,14$).

Efectua la següent operació combinada amb sumes i restes al numerador i denominador. Expressa el resultat final estrictament en notació científica:

$\frac{3,6 \cdot 10^{12} + 4,1 \cdot 10^{11}}{2 \cdot 10^{-3} - 5 \cdot 10^{-4}}$

Planteja i resol la següent equació de primer grau en què els coeficients estan expressats en notació científica. Aïlla la incògnita $x$ i expressa el seu valor en notació científica:

$(2,5 \cdot 10^4) \cdot x + 3 \cdot 10^5 = 1,8 \cdot 10^6$

L'energia cinètica ($E_c$) d'un cos en moviment es calcula amb l'expressió $E_c = \frac{1}{2} m v^2$, on $m$ és la massa en kg i $v$ és la velocitat en m/s. Calcula l'energia cinètica d'un asteroide de massa $m = 4,5 \cdot 10^{14}$ kg que viatja per l'espai a una velocitat de $v = 2 \cdot 10^4$ m/s. Expressa el resultat en Juls (J) utilitzant notació científica.

Un vídeo acabat de penjar té $5 \cdot 10^4$ visualitzacions i s'observa que aquesta xifra es duplica cada dia. Si el creixement segueix el model $V = V_0 \cdot 2^t$ (on $t$ són els dies), quantes visualitzacions hi haurà al cap de $10$ dies? Expressa el resultat final en notació científica. (Dada d'ajuda: $2^{10} = 1024$).

La llei de la gravitació universal de Newton estableix que la força d'atracció entre dos cossos ve donada per $F = G \frac{m_1 \cdot m_2}{d^2}$.

Sabent que la constant de gravitació és $G = 6,67 \cdot 10^{-11}$ $N \cdot m^2/kg^2$, la massa de la Terra és $m_1 = 5,97 \cdot 10^{24}$ kg, la massa de la Lluna és $m_2 = 7,35 \cdot 10^{22}$ kg i la distància mitjana entre els seus centres és $d = 3,84 \cdot 10^8$ m, calcula la força de gravetat $F$ en newtons ($N$). Expressa el resultat en notació científica arrodonint a dues xifres decimals.

Un vas conté exactament $18$ grams d'aigua pura ($H_2O$). En química, es sap que $18$ grams equivalen a $1$ mol d'aigua i que $1$ mol de qualsevol substància conté el nombre d'Avogadro ($6,022 \cdot 10^{23}$) de molècules. A partir d'aquestes dades, calcula la massa en quilograms d'una sola molècula d'aigua. Expressa el resultat final en notació científica.

Un centre de recerca necessita transferir una còpia de seguretat massiva de $4,5$ Petabytes (PB) a un servidor en una altra ciutat. La connexió de fibra òptica dedicada permet transferir dades a una velocitat constant de $3 \cdot 10^8$ bytes per segon. Sabent que $1$ PB equival a $10^{15}$ bytes, calcula quants dies complets (i fracció de dia si és necessari) trigarà a finalitzar la transferència. Mostra els càlculs intermedis en notació científica.

Es coneixen dos nombres $A$ i $B$ expressats rigorosament en notació científica: $A = m \cdot 10^x$ i $B = k \cdot 10^y$, on les mantisses $m$ i $k$ són nombres naturals ($m, k \in \{1, 2, 3, \dots, 9\}$) i els ordres de magnitud $x$ i $y$ són nombres enters ($x, y \in \mathbb{Z}$).

Es sap que:

• El seu producte és $A \cdot B = 2,4 \cdot 10^{11}$.

• El seu quocient és $\frac{A}{B} = 1,5 \cdot 10^4$.

1. a) Planteja les relacions que han de complir les mantisses $m$ i $k$ i els exponents $x$ i $y$, tenint en compte si el producte $m \cdot k$ o el quocient $\frac{m}{k}$ requereixen reajustar la potència de $10$.
2. b) Dedueix analíticament l'única parella de nombres naturals $(m, k)$ que satisfà totes dues condicions simultàniament dins de la notació científica. Explica per què es descarten altres parelles que també compleixen $\frac{m}{k} = 1,5$.
3. c) Calcula els valors enters de $x$ i $y$, i escriu explícitament els nombres $A$ i $B$.

Durant un episodi de pluges torrencials a l'est peninsular, l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) va registrar una precipitació acumulada de $180\text{ litres}$ per metre quadrat sobre una comarca la conca hidrogràfica de la qual té una superfície de $1,2 \cdot 10^3\text{ km}^2$.

1. a) Sabent que $1\text{ km}^2 = 10^6\text{ m}^2$ i que $1\text{ m}^3 = 10^3\text{ litres}$, calcula el volum total d'aigua caiguda sobre la conca en metres cúbics i expressa'l en notació científica.
2. b) Els models hidrològics estimen que el $60\,\%$ d'aquesta aigua caiguda s'escola cap a la llera del riu principal (la resta s'infiltra o s'evapora). Si el riu té una capacitat màxima de desguàs segur de $4,5 \cdot 10^2\text{ m}^3/\text{s}$ abans de desbordar-se, calcula quantes hores trigaria la llera a evacuar aquest volum si fluís de manera ininterrompuda al seu cabal màxim.
3. c) Si la tempesta va descarregar tot aquest volum d'aigua en un interval de tan sols $6\text{ hores}$ i se suposa que l'escolament arriba a la llera durant aquestes mateixes hores, sense retencions a la conca, compara aquest temps amb el resultat obtingut en l'apartat anterior i justifica matemàticament per què una inundació de gran magnitud resultava físicament inevitable, sense necessitat de conèixer l'orografia detallada de la zona.