Exercicis: Potències d'exponent enter

Calcula el valor numèric de les potències d'exponent negatiu següents, expressant el resultat com una fracció irreductible o un nombre enter: $3^{-2}$, $(-2)^{-3}$, $5^{-1}$ i $(-1)^{-4}$.

Expressa les potències de base fraccionària següents amb un exponent positiu i, a continuació, calcula el seu valor exacte: $\left(\frac{2}{5}\right)^{-3}$ i $\left(-\frac{1}{4}\right)^{-2}$.

Aplica les propietats de la multiplicació de potències de la mateixa base per expressar el resultat com una sola potència: $7^4 \cdot 7^{-6} \cdot 7^5$.

Simplifica l'expressió següent resolent les operacions al numerador i al denominador, i expressa el resultat final com una única potència: $\frac{5^{-3} \cdot 5^6}{5^2}$.

Redueix l'expressió següent a una sola potència aplicant la propietat de la potència d'una potència: $\left((-2)^3\right)^{-4}$.

Utilitza la propietat del producte de potències amb el mateix exponent per expressar el càlcul següent com una única potència: $4^{-3} \cdot 2^{-3} \cdot 5^{-3}$.

Simplifica la fracció següent expressant tant el numerador com el denominador com a potències de la mateixa base prima, i dona el resultat com una única potència: $\frac{8^4}{4^5}$.

Realitza les operacions necessàries per expressar el producte següent com una sola potència de base $3$: $9^2 \cdot 27^{-1} \cdot 3^4$.

En un examen de 4t d'ESO, la Sonia comet tres errors molt habituals en operar amb potències d'exponent enter:

1) Escriu que $(-3)^{-2} = -\frac{1}{9}$, raonant que «el signe menys de l'exponent converteix el resultat final en negatiu».

2) Escriu que $5^{-1} = -5$, afirmant que «elevar a $-1$ és el mateix que canviar el signe del nombre».

3) Escriu que $\left(-\frac{2}{5}\right)^{-3} = \left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{125}{8}$, argumentant que «en invertir la fracció per treure l'exponent negatiu, el signe menys de la base també desapareix».

Per a cadascun dels tres casos:

1. a) Explica quin és l'error conceptual que comet la Sonia i quina propietat ha aplicat incorrectament.
2. b) Mostra el desenvolupament correcte pas a pas i calcula el resultat numèric final com a nombre enter o fracció irreductible.

Donades les expressions numèriques següents:

1. a) Sense calcular prèviament el valor numèric exacte de cap d'elles, fes una estimació raonada responent a aquestes preguntes:

• Quines d'aquestes potències donaran un resultat estrictament més gran que $1$?

• Quines donaran un resultat comprès entre $0$ i $1$?

• Alguna d'elles donarà un resultat negatiu? Justifica la teva deducció basant-te en el signe de la base, la paritat de l'exponent i el significat de l'exponent negatiu com a invers multiplicatiu.

1. b) Calcula ara el valor exacte de cadascuna en forma de fracció irreductible o nombre enter i comprova si les teves estimacions inicials eren encertades.

Simplifica l'expressió següent, factoritzant prèviament les bases compostes i aplicant les propietats de les potències d'exponent enter. Deixa el resultat com un producte de potències de nombres prims:

$\frac{12^3 \cdot 18^{-2}}{6^4 \cdot 2^{-5}}$

En un videojoc d'estratègia, el nombre de soldats de la teva facció es duplica cada hora de partida. Si en començar la partida tens $150$ soldats, escriu una expressió matemàtica utilitzant potències que indiqui la quantitat de soldats quan hagin transcorregut $h$ hores. Quants soldats hi haurà després de $6$ hores?

En un laboratori químic s'està filtrant una substància tòxica continguda en un líquid. Cada filtre que s'instal·la al circuit redueix la quantitat de toxines a la seva tercera part. Si la quantitat inicial de toxines és de $81$ grams, expressa amb una potència d'exponent negatiu la quantitat de toxina que queda després de passar per $5$ filtres successius i calcula'n el valor exacte.

Calcula i simplifica al màxim l'expressió següent, expressant el resultat final com una fracció irreductible:

$\left( \frac{3}{2} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{4}{9} \right)^{-1} : \left( \frac{1}{2} \right)^{-3}$

En un examen de matemàtiques, un alumne ha resolt una operació escrivint que $2^{-3} \cdot 5^{-3} = 10^{-6}$. Explica detalladament quin ha estat l'error conceptual de l'alumne, enuncia la propietat correcta que hauria d'haver utilitzat i calcula el resultat vertader en forma de fracció.

Un torneig de tennis es juga per eliminatòries directes (en cada partit, qui perd queda eliminat i qui guanya passa a la ronda següent). Si en la primera ronda hi participen $2^7$ jugadors, quants partits en total s'hauran jugat quan finalitzi el torneig i hi hagi un únic guanyador absolut? Expressa el teu raonament utilitzant operacions amb potències.

Simplifica l'expressió següent amb fraccions i exponents negatius, aplicant les propietats pas a pas i donant el resultat final com una fracció irreductible sense exponents negatius:

$\left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{9}{4} \right)^{-1} \right]^{-3}$

Troba el valor del nombre enter $x$ que fa que es compleixi l'equació exponencial següent, expressant tots els termes com a potències de la mateixa base:

$5^{x+2} \cdot 25^{-1} = 125^3$

En una sala blanca de l'Institut de Microelectrònica de Barcelona (IMB-CNM, CSIC), es monitora la presència d'impureses microscòpiques que poden inutilitzar els microxips. Un sensor detecta una partícula de pols ambiental tipus $X$ amb una massa de $2^{-8}\text{ mg}$, i una partícula ultrafina tipus $Y$ amb una massa de $8^{-3}\text{ mg}$.

1. a) Expressa la massa de la impuresa $Y$ com una única potència de base $2$ amb exponent enter.
2. b) Quina de les dues partícules té més massa? Justifica la teva resposta raonant sobre el significat d'un exponent enter negatiu, sense necessitat de calcular l'expressió decimal de cap de les dues.
3. c) Quantes impureses del tipus $Y$ calen exactament per igualar la massa d'una sola partícula del tipus $X$? Planteja l'operació com un quocient de potències de base $2$, aplica les propietats de les potències d'exponent enter i expressa el resultat com un nombre enter.

Es vol dissenyar una igualtat matemàtica amb l'estructura següent:

on $a$ i $b$ han de ser nombres enters.

1. a) Descompon les bases en factors primers ($2$ i $3$) i utilitza les propietats de les potències d'exponent enter per expressar tot el membre esquerre com una sola potència de base $\frac{2}{3}$.
2. b) Escriu la fracció del membre dret $\frac{32}{243}$ com una potència de base $\frac{2}{3}$ amb exponent enter.
3. c) A partir dels apartats anteriors, obtén una equació lineal que hagin de complir $a$ i $b$. A continuació, troba dues parelles d'enters $(a, b)$ diferents que satisfacin la igualtat, exigint que en almenys una d'elles un dels exponents sigui estrictament negatiu.

Simplifica al màxim l'expressió algebraica següent, on $a$, $b$ i $c$ són nombres reals diferents de zero. Aplica les propietats de les potències i deixa el resultat final expressat exclusivament amb exponents positius:

$\frac{(a^{-2} \cdot b^3)^{-3} \cdot (a \cdot b^{-1} \cdot c^2)^4}{(a^3 \cdot c^{-5})^{-2}}$

Una empresa inverteix un capital de $5000$ euros en un fons d'inversió que ofereix un interès compost anual del $4\%$. La fórmula matemàtica correcta per calcular el capital final després de $t$ anys és $C = 5000 \cdot (1,04)^t$. Si per un error informàtic el sistema calcula el capital utilitzant un exponent negatiu, $C_{erroneo} = 5000 \cdot (1,04)^{-t}$, quin significat financer tindria aquest càlcul erroni? A més, dedueix quina relació matemàtica exacta existeix entre el capital correcte al cap de $5$ anys i el capital erroni calculat per a aquests mateixos $5$ anys.

Resol l'equació exponencial següent. Per fer-ho, aplica les propietats de les potències d'exponent enter per separar les bases i treu factor comú:

$3^{x+1} + 3^{x-1} - 3^x = 21$

Es construeix un fractal geomètric anomenat "Triangle de Sierpinski" partint d'un triangle equilàter replet de color blau la superfície inicial del qual és $1$ unitat. En cada iteració (pas), es divideix cada triangle blau en quatre triangles equilàters més petits i s'extreu el triangle central (que queda buit/negre). Observa la figura que il·lustra els primers passos. Determina l'expressió matemàtica, en forma de potència, que representa l'àrea blava restant després de $n$ iteracions. A partir d'aquesta expressió, quina serà l'àrea blava exacta després de $6$ iteracions?

Demostra matemàticament que, per a qualsevol nombre real $a \neq 0$ i qualsevol nombre enter $n$, es compleix la identitat $\left(\frac{1}{a}\right)^{-n} = a^n$. Utilitza per a la teva demostració la definició estricta de potència d'exponent negatiu i les propietats de les operacions amb fraccions.

Simplifica l'expressió algebraica següent, en la qual $m$ i $n$ són nombres enters arbitraris. Després de fer la simplificació, comprova i justifica si el resultat final depèn dels valors que prenguin $m$ i $n$:

$\frac{4^{n+1} \cdot 10^{m-n}}{2^{m+n+2} \cdot 5^{m-n}}$

La intensitat d'un feix de llum quan travessa un determinat tipus de vidre tintat es redueix als $\frac{3}{4}$ del seu valor incident. Si superposem $n$ d'aquests vidres idèntics, la intensitat de la llum resultant que aconsegueix traspassar-los és $I = I_0 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^n$, essent $I_0$ la intensitat inicial. Expressa la fracció de llum que es perd (no la que aconsegueix passar) després de travessar $3$ vidres, utilitzant potències d'exponent enter per als teus càlculs. A la vista del resultat, determina si el sistema bloqueja més o menys de la meitat de la llum original.

Analitza i discuteix raonament el signe resultant de l'expressió matemàtica $(-a)^{-n}$ depenent de dos factors: si el nombre real $a$ és estrictament positiu o negatiu, i si el nombre enter $n$ és parell o senar. Elabora un esquema o taula amb els quatre casos possibles resultants d'aquesta combinació i acompanya'l d'un exemple numèric concret per a cadascun dels casos.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Per simplificar la següent expressió algebraica:

(amb $x \ne 0$ i $y \ne 0$), dos estudiants plantegen dos mètodes de treball diferents:

• Mètode 1 (Inversió inicial): Reescriure cada potència d'exponent negatiu passant els factors del numerador al denominador i viceversa ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), per operar únicament amb exponents positius des del primer pas.

• Mètode 2 (Aritmètica directa d'exponents enters): Aplicar directament la potència d'un producte i la potència d'una potència multiplicant els exponents amb el seu signe, agrupar les potències de la mateixa base sumant i restant exponents enters, i expressar amb exponents positius només al final si es requereix.

1. a) Desenvolupa la simplificació pas a pas utilitzant el Mètode 2, mostrant explícitament les operacions amb els signes dels exponents. Dona el resultat final expressat únicament amb exponents positius.
2. b) Justifica per què el Mètode 1, tot i ser matemàticament vàlid, resulta poc eficient i genera un risc molt més gran d'error en expressions amb potències niades com aquesta.
3. c) Modifica exclusivament dos dels exponents numèrics que apareixen en l'expressió original $E$ per aconseguir que el resultat final de la simplificació sigui exactament $1$. Justifica quins tries i per quins valors els substitueixes.

Es considera la funció algebraica següent definida per a qualsevol exponent enter $n \in \mathbb{Z}$:

1. a) Demostra formalment que el valor numèric de $F(n)$ és constant (no depèn en absolut del valor de $n$, tant si és positiu, zero o negatiu). Per fer-ho, treu factor comú d'una potència adequada de base $3$ tant al numerador com al denominador i simplifica. Expressa la constant resultant com una fracció irreductible.
2. b) Un estudiant afirma: «Si triem $n = -100$, les potències tenen exponents molt negatius i per tant valen pràcticament zero; per això, $F(-100)$ hauria de tendir a zero i no valer el mateix que per a $n = 5$». Rebat amb precisió matemàtica aquest argument, distingint entre la magnitud absoluta dels termes i el quocient relatiu entre ells.
3. c) Problema invers: Troba quin valor enter positiu ha de tenir la base $b$ ($b > 1$) perquè l'expressió anàloga:

prenui exactament el valor numèric $\frac{5}{12}$ per a tot $n \in \mathbb{Z}$.