Exercicis: Fraccions algebraiques

Simplifica la fracció algebraica següent extreient factor comú al numerador i al denominador: $\frac{4x^3 - 2x^2}{6x^2 - 2x}$

Comprova, realitzant els productes creuats, si les fraccions algebraiques $\frac{x-3}{x+1}$ i $\frac{x^2-9}{x^2+4x+3}$ són equivalents.

Realitza la suma de fraccions algebraiques següent i simplifica el resultat: $\frac{3x+2}{x-2} + \frac{-x-6}{x-2}$

Multiplica les fraccions algebraiques següents i dona el resultat tan simplificat com sigui possible: $\frac{x}{x+2} \cdot \frac{x^2-4}{x^2}$

Efectua la divisió de fraccions algebraiques i simplifica: $\frac{2x+2}{x-1} : \frac{4x+4}{x^2-1}$

Calcula el valor numèric de la fracció algebraica $\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1}$ per a $x = -2$.

Simplifica la fracció algebraica següent aplicant les identitats notables: $\frac{x^2 - 25}{x^2 - 10x + 25}$

Efectua l'operació següent i simplifica el resultat: $\frac{x^2+5x}{x+3} - \frac{x^2-9}{x+3}$

La Lucía ha de simplificar la fracció algebraica $\dfrac{x^2+4x}{x^2+6x+8}$ en un examen i escriu el següent al seu full:

1. a) Identifica l'error conceptual que ha comès la Lucía en el seu primer pas i explica detalladament per què no és matemàticament vàlid tatxar el terme $x^2$. Proporciona un contraexemple numèric senzill (fent servir una fracció amb nombres concrets i sumes) que demostri que tatxar sumands condueix a un resultat erroni.
2. b) Resol la simplificació de manera correcta factoritzant numerador i denominador, i indica quins valors de $x$ no pertanyen al domini de la fracció original.

Troba una fracció algebraica $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ que compleixi simultàniament les tres condicions següents:

1) La seva forma simplificada irreductible és $\dfrac{2}{x-5}$.

2) Els únics valors que no pertanyen al seu domini (valors prohibits) són $x = 5$ i $x = -3$.

3) Els polinomis $P(x)$ i $Q(x)$ han d'estar completament desenvolupats en la resposta final (sense productes indicats ni factors amb parèntesis).

Explica pas a pas com has deduït el numerador i el denominador a partir de les restriccions de domini donades.

Simplifica la fracció algebraica següent factoritzant prèviament el numerador i el denominador: $\frac{x^3 - 4x^2 + 4x}{x^3 - 2x^2 - 4x + 8}$

Realitza les operacions següents reduint a comú denominador i simplifica el resultat: $\frac{2}{x-1} + \frac{x}{x+1} - \frac{2x}{x^2-1}$

La base d'un panell solar rectangular mesura $x+5$ metres i la seva altura mesura $x-5$ metres. El costat d'un panell solar quadrat mesura $x$ metres. Escriu la fracció algebraica que representa el quocient entre l'àrea del panell rectangular i l'àrea del panell quadrat. Calcula el valor numèric d'aquesta fracció si $x = 10$ metres.

Una aixeta d'aigua calenta triga $x$ hores a omplir una banyera, mentre que l'aixeta d'aigua freda triga $x+3$ hores. Escriu una fracció algebraica simplificada que representi la part de la banyera que s'omple en una hora si s'obren totes dues aixetes alhora.

Realitza la següent operació combinada amb fraccions algebraiques i simplifica el resultat: $\left( \frac{1}{x} - \frac{2}{x+2} \right) : \frac{x-2}{x^2+2x}$

El cost total en euros de fabricar $x$ bicicletes ve donat pel polinomi $C(x) = 3x^2 + 150x$. Els ingressos totals en euros per vendre aquestes $x$ bicicletes s'expressen mitjançant el polinomi $I(x) = 5x^2 + 200x$. Escriu la fracció algebraica irreductible que representa la raó entre els ingressos i els costos.

Efectua la resta de fraccions algebraiques següent i simplifica al màxim: $\frac{x^2+x}{x^2-1} - \frac{x}{x-1}$

Un tren recorre una distància de $120$ km a una velocitat constant de $v$ km/h. En el trajecte de tornada, a causa de la pluja, la seva velocitat disminueix en $10$ km/h. Escriu la fracció algebraica que representa el temps total del viatge d'anada i tornada en funció de $v$, reduint a una sola fracció.

Per calcular i simplificar la resta $\dfrac{x}{x^2-9} - \dfrac{1}{2x+6}$, dos estudiants de 4t d'ESO proposen estratègies diferents:

• En Marcos proposa multiplicar directament els dos denominadors entre si per trobar un denominador comú: $(x^2-9) \cdot (2x+6) = 2x^3+6x^2-18x-54$.

• L'Ainhoa proposa factoritzar primer cada denominador, obtenint $x^2-9 = (x-3)(x+3)$ i $2x+6 = 2(x+3)$, per calcular a partir d'aquí el mínim comú múltiple ($\text{mcm}$).

1. a) Compara tots dos procediments i justifica quin dels dos és preferible per minimitzar la dificultat dels càlculs i evitar polinomis de grau innecessàriament alt.
2. b) Fes l'operació seguint el mètode més convenient, simplifica el resultat fins a obtenir una fracció irreductible i assenyala quins valors de $x$ s'han d'excloure de l'expressió.

Considera l'expressió algebraica $F(x) = \dfrac{3x^2 - 5x}{x^2 - 1} - 3$.

1. a) Estima: abans de posar-te a operar amb llapis i paper, analitza mentalment què passa quan la variable $x$ pren un valor positiu enorme (per exemple, $x = 100\,000$). Cap a quin valor creus que tendeix el quocient $\dfrac{3x^2-5x}{x^2-1}$ en ignorar els termes de menor grau? A partir d'aquesta deducció, estima raonadament a quin valor tendirà $F(x)$ per a nombres molt grans i si esperes que el resultat sigui lleugerament positiu o lleugerament negatiu.
2. b) Comprova: redueix la resta a comú denominador, efectua les operacions del numerador i simplifica $F(x)$ en una única fracció algebraica irreductible.
3. c) Substitueix $x = 100$ a la fracció simplificada obtinguda a l'apartat b), calcula el seu valor decimal i raona si confirma l'estimació que has formulat a l'apartat a).

Efectua i simplifica tant com sigui possible l'expressió següent: $\frac{x^2-1}{x^2+2x+1} \cdot \left( \frac{2x}{x-1} - \frac{x+1}{x} \right)$

Determina el valor del paràmetre $k$ perquè la fracció algebraica $\frac{x^2 - kx + 10}{x-5}$ es pugui simplificar (és a dir, que el numerador sigui divisible entre el denominador). Una vegada trobat $k$, escriu l'expressió simplificada.

Troba el polinomi $P(x)$ que fa que la següent igualtat entre fraccions algebraiques sigui certa: $\frac{x^2-9}{P(x)} = \frac{x-3}{x^2+2x}$

Es vol construir una caixa sense tapa a partir d'una làmina rectangular de cartró de dimensions $x+6$ i $x+4$ centímetres, retallant quadrats de $2$ cm de costat a les quatre cantonades i doblegant les solapes. Escriu la fracció algebraica irreductible que representa la raó entre el volum de la caixa i l'àrea de la seva base.

Demostra, operant i simplificant les fraccions algebraiques, que la següent expressió és igual a $2ab$: $\frac{a^3-b^3}{a-b} - \frac{a^3+b^3}{a+b}$

En un laboratori de química es barregen $x$ litres d'una dissolució A, el cost de la qual és de $\frac{20}{x}$ euros per litre, amb $x+4$ litres d'una dissolució B, el cost de la qual és de $\frac{30}{x+4}$ euros per litre. Escriu la fracció algebraica que representa el preu per litre de la dissolució resultant, simplificant l'expressió al màxim.

Simplifica la següent expressió algebraica en forma de "castell de fraccions": $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x-1}}$

Un atleta corre en una pista circular. Durant la primera meitat del recorregut corre a una velocitat de $v$ m/s, i durant la segona meitat corre a una velocitat de $v-2$ m/s. Sabent que la velocitat mitjana de tot el recorregut es calcula com l'espai total dividit entre el temps total, demostra mitjançant fraccions algebraiques que la velocitat mitjana és $\frac{2v(v-2)}{2v-2}$ m/s.

Un tren de Mitjana Distància cobreix un trajecte d'anada i tornada entre dues ciutats connectades per una via de $120\text{ km}$ de longitud. En el viatge d'anada circula a una velocitat constant $v$ (en $\text{km/h}$), mentre que en el viatge de tornada circula a una velocitat més ràpida, de $(v + 20)\text{ km/h}$.

1. a) Sabent que el temps es calcula com a quocient entre distància i velocitat, escriu la fracció algebraica que representa el temps total del viatge d'anada i tornada, $T(v)$, sumant els temps d'ambdós trajectes mitjançant el mínim comú múltiple dels seus denominadors.
2. b) La velocitat mitjana global de tot el trajecte es defineix com la distància total recorreguda dividida entre el temps total invertit: $V_m(v) = \dfrac{240}{T(v)}$. Simplifica aquesta fracció complexa i demostra que la velocitat mitjana global es pot expressar com a $V_m(v) = \dfrac{v(v+20)}{v+10}$.
3. c) Un viatger afirma: «Com que a l'anada hem anat a $v$ i a la tornada a $v+20$, la velocitat mitjana del viatge complet és exactament la mitjana aritmètica ordinària: $\dfrac{v + (v+20)}{2} = v + 10$». Demostra algebraicament, calculant la diferència $V_m(v) - (v+10)$ en una sola fracció irreductible, que aquesta afirmació és falsa i dedueix si la veritable velocitat mitjana global és sempre estrictament més gran o més petita que aquesta mitjana aritmètica per a qualsevol velocitat $v > 0$.

L'Elena resol a la pissarra la següent operació combinada:

Al seu quadern deixa anotats els passos següents:

• Pas 1: Resta dins del parèntesi: $\dfrac{x(x+1)-2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{x^2-x+2}{x^2-1}$.

• Pas 2: Transforma la divisió en producte invertint la segona fracció: $\dfrac{x^2-x+2}{x^2-1} \cdot \dfrac{x^2-1}{x^2+x-2}$.

• Pas 3: Cancel·la el bloc $(x^2-1)$ present al numerador i al denominador: $\dfrac{x^2-x+2}{x^2+x-2}$.

• Pas 4: Cancel·la $x^2$ amb $x^2$, divideix $\dfrac{-x}{x} = -1$ i $\dfrac{2}{-2} = -1$, deduint que el resultat final és $1$.

• Pas 5: Afirma que l'expressió es pot avaluar en qualsevol nombre real excepte en $x = 1$ i $x = -1$.

1. a) L'Elena ha comès dos errors conceptuals greus: un d'algebraic al Pas 4 i un altre d'anàlisi de domini al Pas 5 (relatiu a la divisió de fraccions). Explica en què consisteix cada error i per què invalida el seu raonament.
2. b) Resol correctament l'exercici a partir del Pas 3 factoritzant els polinomis on sigui possible i determina la llista completa de tots els valors de $x$ en què l'expressió original no té sentit matemàtic.