Exercicis: Expressions algebraiques

Identifica el coeficient, la part literal i el grau del monomi següent: $M(x,y) = -\frac{2}{3}x^4y^2$.

Calcula el valor numèric del polinomi $P(x) = 3x^2 - 5x + 2$ per a $x = -2$.

Expressa en llenguatge algebraic l'enunciat següent: "El cub d'un nombre menys el quadrat d'un altre nombre diferent".

Indica quines de les expressions algebraiques següents són polinomis i justifica la teva resposta:

• $A(x) = 3x^2 - \frac{5}{x}$

• $B(x) = \sqrt{2}x^3 - x$

• $C(x) = 4x^{1/2} + 1$

Fes la suma i resta següent de monomis semblants i simplifica el resultat: $3x^2y - 5x^2y + 8x^2y$.

Efectua la multiplicació dels monomis següents: $(-3a^2b^3) \cdot (4ab^4)$.

Determina el valor de $k$ perquè el valor numèric del polinomi $P(x) = 2x^3 - kx + 4$ en $x = 1$ sigui igual a $5$.

Escriu l'expressió algebraica que representa el perímetre d'un rectangle la base del qual mesura $3x$ i la seva alçada mesura $x + 2$.

Marcos ha de simplificar en un examen l'expressió algebraica $E(x, y) = 4x^3y^2 + 2x^3y^2 - 3x \cdot (2x^2y^2)$. Al seu full escriu el desenvolupament següent:

Pas 1: $4x^3y^2 + 2x^3y^2 = 6x^6y^4$.

Pas 2: $3x \cdot (2x^2y^2) = 6x^2y^2$.

Pas 3: $6x^6y^4 - 6x^2y^2 = 0x^4y^2 = 0$.

1. a) Identifica i explica de manera raonada els errors conceptuals que comet Marcos en cadascun dels tres passos, indicant quines propietats de les operacions amb monomis ha vulnerat.
2. b) Fes la simplificació correcta pas a pas, indica si el resultat obtingut és un monomi o un polinomi i determina el seu grau absolut.

Es vol determinar la fórmula d'un monomi amb dues variables de la forma $M(x, y) = c \cdot x^{a+2} y^{3a-1}$, on $c$ és un nombre real i $a$ és un nombre natural.

1. a) Si se sap que el grau absolut del monomi és $9$, planteja una equació de primer grau respecte a la incògnita $a$ i troba el seu valor.
2. b) Amb el valor d'$a$ trobat, calcula el coeficient $c$ sabent que el valor numèric del monomi per a $x = -1$ i $y = 2$ és igual a $-64$.
3. c) Si mantens el valor d'$y = 2$ però tripliques el valor d'$x$ fent-lo $x = -3$, raona per quin factor queda multiplicat el resultat final sense necessitat de tornar a calcular totes les potències des del principi.

Una botiga de roba ofereix un descompte del $20\%$ en tots els seus articles. Si compres $x$ camises que originalment valen $25$ euros cadascuna i $y$ pantalons que valen $40$ euros cadascun, escriu l'expressió algebraica del cost total de la compra. Calcula el cost si compres $3$ camises i $2$ pantalons.

L'energia cinètica d'un cos en moviment ve donada per l'expressió $E_c = \frac{1}{2}mv^2$, on $m$ és la massa en quilograms i $v$ la velocitat en metres per segon. Calcula l'energia cinètica d'un vehicle de $800$ kg que circula a $20$ m/s.

La figura mostra un quadrat de costat $2x$ que conté a l'interior un cercle de radi $x$. Escriu l'expressió algebraica que representa l'àrea de la regió ombrejada (la zona del quadrat exterior al cercle).

Calcula el valor numèric de l'expressió algebraica $P(x,y) = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x - y}$ per a $x = \frac{1}{2}$ i $y = -\frac{3}{2}$. Pista: simplifica l'expressió abans de substituir els valors.

Una companyia telefònica cobra una quota fixa mensual de $15$ euros, més $0,12$ euros per cada minut de trucada $m$ i $0,05$ euros per cada megabyte consumit $d$. Escriu l'expressió algebraica de la factura mensual i calcula el seu import per a un mes en què s'han consumit $100$ minuts i $500$ megabytes.

Troba els valors dels paràmetres $a$ i $b$ en el polinomi $P(x) = ax^2 + bx - 5$ sabent que el seu valor numèric per a $x = 1$ és $-2$ i per a $x = -1$ és $-4$.

Un dipòsit cilíndric té un radi de la base $r = x$ i una alçada $h = 3x$. Escriu les expressions algebraiques que representen el seu volum i la seva àrea lateral en funció de $x$.

Fes la divisió següent de monomis i indica el coeficient, la part literal i el grau del monomi resultant: $\frac{-24x^5y^4z}{6x^2y^3}$.

Una cooperativa de missatgeria sostenible en bicicleta de Sevilla ofereix a les petites empreses una tarifa mensual composta per una quota fixa de $35$ euros, més $2,40$ euros per cada lliurament estàndard (menys de $3$ kg) i $4,50$ euros per cada lliurament urgent o voluminós. A més, per incentivar el comerç de proximitat, si en un mes es fan més de $80$ lliuraments en total, s'aplica una bonificació del $15\%$ de descompte exclusivament sobre el cost dels enviaments (la quota fixa no es rebaixa).

1. a) Defineix les dues variables que intervenen i escriu el polinomi que expressa el cost mensual $C_1(x, y)$ d'una empresa que no supera els $80$ lliuraments totals. Assenyala quin és el terme independent i explica el seu significat pràctic.
2. b) Escriu el polinomi simplificat $C_2(x, y)$ que representa el cost mensual si l'empresa supera els $80$ lliuraments en el mes.
3. c) Una llibreria del centre va fer el mes passat $50$ lliuraments estàndard i $40$ lliuraments urgents. Justifica quina fórmula has d'aplicar, calcula l'import total de la factura i interpreta quin percentatge de la despesa total va correspondre a la quota fixa.

En un centre de control mediambiental de Castella i Lleó es modelitza la concentració d'un contaminant en l'aire (en $\mu\text{g}/\text{m}^3$) durant una jornada de $8$ hores mitjançant el polinomi $C(t) = -0,25 t^3 + 2,4 t^2 - 3,5 t + 18$, on $t$ representa el temps en hores transcorregut des de les 08:00 ($0 \leq t \leq 8$). Es vol conèixer la concentració a les 12:00 ($t = 4$).

1. a) Abans d'operar amb exactitud, fes una estimació arrodonint els coeficients amb decimals a l'enter més pròxim (en cas d'empat, com en $-3,5$, arrodoneix a $-4$) i calcula mentalment si el valor de $C(4)$ serà superior o inferior a la concentració inicial $C(0) = 18\,\mu\text{g}/\text{m}^3$. Justifica la teva predicció.
2. b) Calcula el valor numèric exacte de $C(4)$ respectant la jerarquia d'operacions i la regla dels signes.
3. c) Determina l'error absolut comès en la teva estimació ($|\text{valor exacte} - \text{valor estimat}|$) i explica, atenent als signes dels monomis del polinomi, quins termes van impulsar la pujada del contaminant i quin en va frenar el creixement.

Es vol construir una caixa sense tapa a partir d'una planxa de cartró rectangular de $40$ cm de llargària per $30$ cm d'amplada. Per fer-ho, es retallen quadrats de costat $x$ en cadascuna de les quatre cantonades i es dobleguen les solapes cap amunt. Escriu l'expressió algebraica del volum de la caixa en funció de $x$ i calcula aquest volum si $x = 5$ cm.

Demostra algebraicament que la diferència entre els quadrats de dos nombres senars consecutius és sempre un múltiple de $8$. (Recorda que un nombre senar es pot expressar de la forma $2n+1$).

Donada l'expressió algebraica $E(a,b) = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$, simplifica-la al màxim efectuant la divisió i utilitza el resultat per calcular mentalment el seu valor numèric quan $a = 4,5$ i $b = 1,5$.

En un circuit elèctric, la resistència equivalent $R_{eq}$ de tres resistències $R_1$, $R_2$ i $R_3$ connectades en paral·lel s'obté a partir de la fórmula $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$. Aïlla $R_{eq}$ i escriu la seva expressió algebraica com una única fracció en funció de $R_1$, $R_2$ i $R_3$.

Un jardí rectangular té unes dimensions de $a$ metres de llargària per $b$ metres d'amplada. Es construeixen dos camins perpendiculars d'amplada $x$ paral·lels als costats del jardí, formant una creu. Escriu l'expressió algebraica factoritzada de l'àrea de la zona verda restant.

Dues agències de lloguer de cotxes ofereixen tarifes diferents. L'agència A cobra una quota fixa de $30$ euros més $0,20$ euros per quilòmetre recorregut. L'agència B cobra $50$ euros fixos més $0,15$ euros per quilòmetre. Escriu l'expressió algebraica que representa la diferència de cost entre l'agència A i l'agència B per a un trajecte de $k$ quilòmetres, i determina per a quants quilòmetres el cost és exactament el mateix.

Escriu l'expressió algebraica que proporciona la suma dels primers $n$ múltiples enters positius de $3$, sabent que la suma dels primers $n$ nombres naturals és $\frac{n(n+1)}{2}$. Utilitza aquesta expressió per calcular la suma dels primers $50$ múltiples de $3$.

Un agricultor disposa de $L$ metres de tanca per tancar un terreny rectangular adjacent a un riu rectilini. Com que el riu actua com a barrera natural, no necessita posar tanca en aquest costat. Si anomenem $x$ l'amplada del terreny (la dimensió perpendicular al riu), escriu l'expressió algebraica de l'àrea del recinte en funció de $L$ i $x$. Quina és l'àrea si disposa de $100$ metres de tanca i l'amplada és de $20$ metres?

Es vol calcular el valor numèric de l'expressió algebraica racional $E(x, y) = \dfrac{20x^5y^3 - 8x^3y^5 + 16x^4y^4}{4x^2y^2}$ per als valors $x = 2,5$ i $y = -2$. Per resoldre-ho, dos estudiants proposen camins diferents:

• Mètode d'en Sergio: substituir directament els valors $x = 2,5$ i $y = -2$ al numerador i al denominador, calcular les potències d'exponent $5$, $4$ i $3$, efectuar les multiplicacions i sumes, i finalment dividir el numerador resultant entre el denominador.

• Mètode de l'Alba: dividir prèviament cada terme del numerador entre el monomi del denominador aplicant les regles de divisió de monomis per obtenir un polinomi simplificat, i substituir els valors numèrics únicament en l'expressió resultant.

1. a) Desenvolupa de manera completa el mètode de l'Alba fins a obtenir el polinomi reduït i calcula el seu valor numèric per als valors indicats.
2. b) Analitza el nombre d'operacions amb potències d'exponent alt i multiplicacions decimals que exigeix el mètode d'en Sergio enfront del de l'Alba. Justifica de manera crítica quin dels dos mètodes és més convenient en una prova sense calculadora per minimitzar el temps i el risc d'error.
3. c) Seria vàlid el mètode de l'Alba si els valors assignats fossin $x = 0$ o $y = 0$? Raona la teva resposta basant-te en la definició de l'expressió original.

Siguin $P(x)$ i $Q(x)$ dos polinomis no nuls en una variable, amb graus respectius $\operatorname{gr}(P) = m$ i $\operatorname{gr}(Q) = n$, tals que $m > n \geq 1$.

1. a) Es formen els polinomis $A(x) = [P(x)]^2 \cdot Q(x)$ i $B(x) = P(x) \cdot [Q(x)]^2$. Sabent que el grau d'$A(x)$ és $11$ i el grau de $B(x)$ és $10$, planteja un sistema de dues equacions lineals amb incògnites $m$ i $n$ a partir de les propietats del grau del producte i de la potència de polinomis, i dedueix els graus originals de $P(x)$ i $Q(x)$.
2. b) Considera el polinomi $C(x) = P(x) - k \cdot x^{m-n} \cdot Q(x)$, on $k$ és una constant real diferent de zero. Es pot assegurar sempre que el grau de $C(x)$ és igual a $m$? Justifica teòricament la teva resposta i posa un contraexemple numèric concret amb polinomis senzills on $\operatorname{gr}(C) < m$, indicant quina condició matemàtica precisa ha de complir $k$ respecte als coeficients principals de $P(x)$ i $Q(x)$ perquè tingui lloc aquesta reducció de grau.