Exercicis: Aproximacions i errors

Aproxima el nombre decimal $4,8275$ a les centèsimes utilitzant el mètode de truncament i el mètode d'arrodoniment.

Calcula l'error absolut que es comet en utilitzar l'aproximació $0,33$ per al valor exacte de la fracció $\frac{1}{3}$. Expressa el resultat en forma de fracció.

Calcula l'error relatiu comès en aproximar $\frac{1}{3}$ per $0,33$. Expressa el resultat en forma de percentatge.

Indica la cota d'error absolut que s'assumeix en afirmar que el pes d'un objecte, arrodonit a les mil·lèsimes, és de $12,458$ kg.

Un termòmetre digital marca una temperatura de $38,2^\circ \text{C}$. Si mitjançant un instrument d'alta precisió es sap que la temperatura real és de $38,45^\circ \text{C}$, determina l'error absolut i l'error relatiu de la mesura del termòmetre digital.

Aproxima el nombre irracional $\sqrt{7}$ a les mil·lèsimes, indicant clarament quina és l'aproximació per defecte i quina és l'aproximació per excés.

S'han realitzat dues mesuraments diferents. En la primera, s'ha comès un error relatiu del $0,015$. En la segona, l'error relatiu ha sigut del $1,2\%$. Determina quina de les dues mesures és més precisa i justifica la teva resposta.

Una bàscula de cuina dóna una lectura de $250$ g amb una cota d'error absolut de $5$ g. Escriu en forma d'interval matemàtic el rang de valors en què es troba el pes real de l'objecte.

En una classe de 4t d'ESO, Mateo i la seva comanyera Alba estan comparant la qualitat de dues mesures realitzades al laboratori de Ciències:

• Mesura 1: El gruix d'una moneda d'1 euro, el valor real de la qual és de $2,33$ mm, es mesura obtenint $2,5$ mm.

• Mesura 2: La longitud de la taula de laboratori, el valor real de la qual és de $180,0$ cm, es mesura obtenint $181,0$ cm.

Mateo afirma: «La mesura de la taula és clarament pitjor perquè hem fallat per $1$ cm ($10$ mm), mentre que a la moneda només ens hem desviat $0,17$ mm; per tant, la mesura de la moneda té molta més precisió i menys error».

Identifica l'error conceptual de Mateo, calcula l'error absolut i l'error relatiu percentual de cada mesurament, i redacta una explicació raonada rebatent la seva conclusió i indicant quina de les dues mesures és realment de més qualitat.

Per preparar un berenar de final de curs, vas al supermercat amb un pressupost màxim de $25$ € i anotes els preus exactes de quatre articles: refrescos ($7,89$ €), aperitius ($6,45$ €), empanades ($5,90$ €) i un pastís ($4,85$ €).

1. a) Abans de sumar amb decimals, fes una estimació ràpida del cost total arrodonint el preu de cada article a les unitats d'euro. Segons la teva estimació prèvia, et regularà el pressupost de $25$ €?
2. b) Calcula el cost real exacte i determina l'error absolut i l'error relatiu percentual comesos amb la teva estimació.
3. c) En vista del resultat real, valora si la teva estimació va ser una estratègia adequada per saber si podies pagar a caixa. Justifica per què es va produir aquesta situació analitzant el sentit dels arrodoniments que vas fer.

Durant una competició d'atletisme, el jutge principal mesura la longitud de la pista i anota $399,5$ m. Si la longitud oficial i exacta de la pista ha de ser de $400$ m, calcula l'error absolut i l'error relatiu percentual del mesurament del jutge. Consideres que és una mesura acceptable si el reglament permet un error relatiu màxim del $0,2\%$?

En un laboratori de química, un estudiant utilitza el valor $6,02 \cdot 10^{23}$ per al nombre d'Avogadro en els seus càlculs. Si el valor més precís acceptat actualment és $6,02214 \cdot 10^{23}$, determina l'error absolut en notació científica i l'error relatiu percentual que comet l'estudiant.

Un arquitecte mesura les dimensions d'una habitació rectangular obtenint $4,5$ m de llarg i $3,2$ m d'ample. Sap que la seva cinta mètrica té una cota d'error absolut de $0,1$ m en cada mesura. Calcula l'àrea mesurada i determina entre quins valors màxim i mínim es troba l'àrea real de l'habitació.

En fer el pressupost per a una obra, s'estima que el cost dels materials serà de $15\,400$ €. En acabar l'obra, les factures sumen un total real de $15\,825$ €. Calcula l'error absolut i relatiu de l'estimació inicial. Si l'empresa constructora assumeix les pèrdues si l'error relatiu supera el $3\%$, qui pagarà la diferència?

La mida d'un fitxer informàtic és de $4567,89$ Megabytes (MB). En copiar-lo a un disc dur, el sistema operatiu trunca el valor a les dècimes, mentre que un programa de compressió l'arrodoneix a les dècimes. Calcula la diferència entre l'error absolut comès pel sistema operatiu i el comès pel programa de compressió.

Per calcular la densitat d'un bloc de metall, es mesura la seva massa obtenint $m = 12,4$ kg i el seu volum obtenint $V = 0,004$ m$^3$. Si totes dues mesures s'han arrodonit a la darrera xifra decimal mostrada, determina la cota d'error absolut de la massa i del volum.

La distància mitjana de la Terra al Sol és d'aproximadament $149\,597\,870$ km. Un llibre de text de secundària afirma que la distància és de $1,5 \cdot 10^8$ km. Calcula l'error relatiu percentual que introdueix el llibre de text en utilitzar aquesta aproximació en notació científica.

Dos fusters tallen llistons de fusta que han de mesurar exactament $\frac{5}{7}$ de metre. El primer fuster talla el llistó a $0,71$ m i el segon el talla a $0,72$ m. Sense utilitzar decimals, operant amb fraccions, determina quin dels dos ha comès un error absolut menor.

El sistema de pesatge automatitzat d'una empresa de paqueteria registra el pes d'un paquet com a $4,6$ kg després d'aplicar un arrodoniment a les dècimes de quilogram.

1. a) Escriu l'interval continu $[a;\ b)$ en què es troba el pes real $P$ del paquet i determina la cota màxima de l'error absolut garantida per aquest arrodoniment.
2. b) Construeix i justifica un exemple de valor real per a $P$ que compleixi simultàniament dues condicions: que en arrodonir-se a les dècimes resulti $4,6$ kg, però que si s'hagués truncat a les dècimes hagués resultat $4,5$ kg.
3. c) Per al valor que has proposat a l'apartat anterior, calcula l'error absolut i l'error relatiu percentual d'ambdues aproximacions (arrodoniment i truncament) i explica de manera raonada quin dels dos mètodes ofereix una millor aproximació en aquest cas.

Una cooperativa agrícola de Jaén ha de facturar una comanda de $1200$ ampolles d'oli d'oliva verge extra. Les dades tècniques i comerials són:

• Capacitat de cada ampolla: $0,75$ litres.

• Cost de producció: $6,837$ € per litre.

• Descompte comercial aplicable sobre el cost total: $8,5\%$ (és a dir, s'abona el $91,5\%$).

Dos administratius proposen dos mètodes de càlcul diferents:

• Mètode 1 (Mario): Calcula el cost d'una ampolla ($0,75 \cdot 6,837$) i arrodoneix el resultat als cèntims d'euro; a aquesta quantitat li aplica el descompte del $8,5\%$ i torna a arrodonir als cèntims; finalment, multiplica aquest preu unitari per les $1200$ ampolles.

• Mètode 2 (Sonia): Realitza una única operació combinada sense arrodoniments intermedis i arrodoneix als cèntims d'euro únicament la xifra final de la factura.

1. a) Fes els càlculs pas a pas amb ambdós mètodes i obtén l'import final en euros de cadascun.
2. b) Prenent com a valor exacte el resultat no arrodonit del Mètode 2, calcula l'error absolut i l'error relatiu percentual que introdueix el mètode de Mario en el total de la factura.
3. c) Justifica críticament quin dels dos mètodes s'ha de triar en la gestió econòmica i científica, explicant l'efecte de l'arrodoniment en passos intermedis.

En la fabricació d'una peça cilíndrica per a un motor d'alta precisió, es requereix que el radi sigui $r = 2,50$ cm i l'alçària $h = 8,00$ cm. Si la maquinària té una cota d'error relatiu del $1\%$ en qualsevol mesura lineal, demostra algebraicament si l'error relatiu màxim en el càlcul del volum del cilindre ($V = \pi r^2 h$) serà del $1\%$, $2\%$ o $3\%$. Assumeix que els errors relatius són prou petits per sumar les seves aproximacions lineals.

Una aplicació de seguiment esportiu estima la distància d'una ruta en bicicleta. Sabem que l'error relatiu de la seva estimació ha estat exactament del $4\%$. Si el valor estimat que mostra l'aplicació és de $26,00$ km, planteja i resol les equacions necessàries per trobar els dos possibles valors reals exactes que podria tenir la distància.

Es sap que en aproximar un nombre $x$ per $3,14$, l'error absolut comès és menor que $0,005$. D'altra banda, en aproximar el mateix nombre $x$ per $3,146$, l'error absolut és menor que $0,002$. Expressa totes dues condicions com a intervals, calcula la seva intersecció i determina el rang de valors possibles per al nombre exacte $x$.

Demostra matemàticament que si un nombre positiu $x$ s'arrodoneix a les unitats obtenint una aproximació $A$, l'error relatiu $E_r$ sempre compleix la desigualtat $E_r \le \frac{0,5}{A - 0,5}$. Aplica aquesta fórmula per trobar la cota màxima d'error relatiu en arrodonir a $A = 5$.

La velocitat de propagació d'un senyal en una xarxa de fibra òptica es calcula mitjançant la fórmula $v = \frac{d}{t}$. Es mesura una distància $d = 1200 \pm 5$ m i un temps $t = 0,006 \pm 0,0001$ s. Calcula els valors màxim i mínim possibles per a la velocitat $v$, i dedueix a partir d'aquests la cota d'error absolut general del mesurament de la velocitat.

Un estudiant ha de calcular el valor de $y = \sqrt{x}$. Sap que el valor exacte de $x$ pertany a l'interval $[15,8; 16,2]$. Si decideix utilitzar $x = 16$ per simplificar, obtenint $y = 4$, determina la cota superior de l'error absolut que està cometent en la variable $y$.

El diagrama següent mostra l'interval de confiança d'un mesurament en un experiment de física, on el punt central representa el valor aproximat $V_a$ i els extrems representen els límits donats per la cota d'error absolut $E_a$. Si els extrems de l'interval són $14,35$ i $14,65$, determina el valor aproximat $V_a$, la cota d'error absolut $E_a$ i l'error relatiu màxim possible.

En calcular l'interès compost d'un capital inicial de $10\,000$ € al $5\%$ anual durant $10$ anys, un comptable decideix truncar la taxa de creixement anual de $1,05$ a $1,0$ en els seus càlculs preliminars. Calcula l'error absolut i l'error relatiu que comet en el càlcul del capital final. Quina conclusió pots extreure sobre la propagació d'errors en operacions amb exponents elevats?

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) i la Confederació Hidrogràfica de l'Ebre estudien el volum d'aigua recollit en un embassament després d'una tempesta. La superfície de l'embassament es modelitza de forma simplificada com un rectangle les dimensions satel·litàries del qual són $L = 3,4$ km de llarg i $A = 1,2$ km d'ample, ambdues mesures arrodonides a les dècimes de quilòmetre. L'estació pluviomètrica va registrar una precipitació de $h = 45$ mm de pluja, arrodonida a les unitats de mil·límetre.

1. a) Determina la cota de l'error absolut de cadascuna de les tres mesures ($L$, $A$ i $h$) i calcula la cota superior de l'error relatiu percentual de cadascuna.
2. b) El volum total d'aigua caiguda ve donat per $V = L \cdot A \cdot h$. Aplicant la propietat de propagació d'errors relatius per a productes, dedueix la cota de l'error relatiu percentual total que afecta el càlcul de $V$.
3. c) Calcula el volum estimat $V$ en metres cúbics ($m^3$) i, utilitzant la cota d'error relatiu de l'apartat anterior, calcula el marge d'incertesa en metres cúbics (cota d'error absolut de $V$) i l'interval entre els valors extrems del qual es troba amb seguretat el volum real d'aigua precipitada.

Una empresa aeronàutica situada a Sevilla fabrica sensors cilíndrics de titani. La massa de cada sensor es calcula amb la fórmula $M = d \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h$, on la densitat $d$ és coneguda de manera exacta. Per estrictes requisits de seguretat aèria, l'error relatiu comès en la determinació de la massa $M$ no ha de superar l'$1,2\%$.

El procés de mecanització ja garanteix que l'alçària $h$ es mesura amb un error relatiu del $0,4\%$.

1. a) Aplicant les propietats de propagació de l'error relatiu en productes i potències, planteja una inequació i dedueix l'error relatiu percentual màxim que es pot tolerar en la mesura del radi $r$.
2. b) Si el radi nominal de la peça és $r = 15,0$ mm, determina la cota màxima de l'error absolut permesa per a la mesura de $r$.
3. c) Al taller disposen de dos calibres digitals per mesurar el radi: el calibre A arrodoneix a les dècimes de mil·límetre i el calibre B arrodoneix a les centèsimes de mil·límetre. Analitza raonadament quina és la cota d'error absolut que introdueix cada instrument i justifica si el calibre A és suficient per complir la normativa o si és indispensable utilitzar el calibre B.