Exercicis: Posició relativa de dues rectes

Escriu la posició relativa de les rectes $r: y = 3x - 5$ i $s: y = -2x + 4$ justificant la teva resposta a partir dels seus pendents.

Determina la posició relativa de les rectes $r: 2x - 4y + 6 = 0$ i $s: -x + 2y - 3 = 0$ comparant els seus coeficients.

Calcula les coordenades del punt de tall de les rectes secants $r: x + y - 4 = 0$ i $s: 2x - y - 5 = 0$.

Troba l'equació explícita de la recta paral·lela a $r: y = -4x + 1$ que passa pel punt $P(0, 3)$.

Comprova si les rectes donades en forma contínua $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3}$ i $s: \frac{x}{4} = \frac{y-1}{6}$ són paral·leles o secants.

Calcula el valor del paràmetre $k$ perquè les rectes $r: 3x + ky - 2 = 0$ i $s: x - 2y + 5 = 0$ siguin paral·leles.

Donades les rectes $r: x = 2 - t, y = 3 + 2t$ i $s: 2x + y - 7 = 0$, estudia la seva posició relativa comparant els seus vectors directors i comprovant si un punt de $r$ pertany a $s$.

Troba el punt d'intersecció de la recta $r: 3x - 2y - 12 = 0$ amb l'eix d'abscisses (eix X).

En Marcos ha de determinar a classe la posició relativa de les rectes $r: 2x - 3y + 6 = 0$ i $s: 4x - 6y - 10 = 0$. Al seu quadern escriu:

«Calculo la raó dels coeficients: $\frac{2}{4} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$. Com que dona el mateix resultat, les dues rectes tenen exactament els mateixos punts i, per tant, són coincidents».

1. a) Identifica l'error conceptual que comet en Marcos i explica quina comprovació va oblidar fer.
2. b) Corregeix la seva resolució determinant la posició relativa correcta mitjançant el criteri dels coeficients.
3. c) Quin valor hauria de tenir el terme independent de la recta $s$ perquè la conclusió d'en Marcos fos realment correcta? Justifica la teva resposta.

Donada la recta $r: 3x - 4y + 12 = 0$:

1. a) Escriu l'equació general d'una recta $s$ que sigui paral·lela a $r$ i que passi per l'origen de coordenades $(0, 0)$. Justifica el seu paral·lelisme comparant les raons dels seus coeficients.
2. b) Troba les coordenades del punt de tall de la recta $r$ amb l'eix d'abscisses ($y = 0$).
3. c) Escriu l'equació general d'una recta $t$ que sigui secant a $r$ i que tingui com a intersecció amb aquesta exactament aquest punt de tall amb l'eix d'abscisses. Explica com has triat els coeficients de $t$ per garantir que no sigui paral·lela a $r$.

Dues canonades principals de reg en un camp de conreu segueixen les trajectòries de les rectes $r: 5x + 3y - 15 = 0$ i $s: 2x - y + 5 = 0$. Esbrina si es tallen i, en cas afirmatiu, troba les coordenades exactes del punt de connexió.

Una carretera recta segueix l'equació $2x - y + 4 = 0$. Un repetidor de telefonia està situat en el punt $P(5, 1)$. Troba l'equació general de la línia de cablejat més curta (que ha de ser perpendicular) que uneix el repetidor amb la carretera.

En el plànol arquitectònic d'un edifici, dos murs de càrrega vénen donats per les equacions $r: ax - 6y + 12 = 0$ i $s: 2x + by - 4 = 0$. Determina els valors de $a$ i $b$ perquè tots dos murs representin exactament la mateixa línia (rectes coincidents).

Un vaixell de rescat es desplaça per la línia recta que passa pels punts $A(-2, 1)$ i $B(4, 5)$. Un veler segueix la trajectòria donada per la recta $s: y = \frac{2}{3}x + 4$. Determina si les seves trajectòries són paral·leles o si, per contra, es tallen en algun punt.

Dos vaixells naveguen amb trajectòries donades per les equacions paramètriques $r: x = 1 + 2t, y = -3 + t$ i $s: x = -1 + 4k, y = 2 + 2k$. Comprova analíticament si les seves rutes són paral·leles o si naveguen per la mateixa línia.

Calcula el valor del paràmetre $m$ perquè les rectes $r: mx + 2y - 5 = 0$ i $s: 3x - y + 1 = 0$ siguin perpendiculars.

En un programa de disseny 3D, un làser talla una planxa metàl·lica al llarg de la recta $r: 4x - 3y - 12 = 0$. Troba l'equació general d'una altra recta de tall, paral·lela a l'anterior, que passi pel punt $Q(-1, 2)$.

Dos cometes segueixen trajectòries rectilínies en un model espacial 2D. El primer passa pels punts $P(0, 4)$ i $Q(3, 0)$. El segon té per equació contínua $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{4}$. Comprova si les seves trajectòries es tallen en algun punt o si són paral·leles.

Per esbrinar la posició relativa de les rectes $r: y = -\frac{3}{4}x + 2$ i $s: 6x + 8y - 5 = 0$, dues alumnes plantegen camins diferents:

• L'Elena proposa transformar la recta $r$ a la seva forma general ($Ax + By + C = 0$) i aplicar directament el criteri de proporcionalitat de coeficients ($\frac{A_1}{A_2}$, $\frac{B_1}{B_2}$, $\frac{C_1}{C_2}$).

• En David prefereix aïllar la variable $y$ en l'equació de $s$ per deixar-la en forma explícita ($y = mx + n$) i comparar pendents i ordenades a l'origen.

1. a) Aplica el mètode de l'Elena i conclou la posició relativa d'ambdues rectes.
2. b) Aplica el mètode d'en David i comprova que s'arriba a la mateixa conclusió.
3. c) Compara ambdós procediments: raona quin dels dos consideres més directe o amb menor risc de cometre errors de càlcul (signes o fraccions) per a aquest parell d'equacions concret.

Considera les rectes $r: 2x - y - 6 = 0$ i $s: x + y - 6 = 0$.

1. a) Sense resoldre el sistema algebraic, analitza el signe dels pendents i obtén els punts de tall amb els eixos coordenats de cada recta. A partir d'aquesta informació geomètrica qualitativa, estima de manera raonada en quin quadrant del pla cartesià es produirà el punt de tall entre $r$ i $s$.
2. b) Comprova formalment que són rectes secants utilitzant la relació entre els seus coeficients i calcula les coordenades exactes del seu punt d'intersecció resolent el sistema lineal.
3. c) Valora si les coordenades obtingudes confirmen la teva estimació prèvia i explica per què anticipar el quadrant ajuda a detectar possibles errors de signe en el càlcul algebraic.

Tres carrers formen un parc triangular al centre d'una ciutat. Les equacions dels carrers són $r: x + y - 6 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ i $t: x - 2y + 6 = 0$. Calcula les coordenades exactes dels tres vèrtexs del parc.

Discuteix la posició relativa de les rectes $r: kx + y - 3 = 0$ i $s: 4x + ky - 6 = 0$ en funció dels possibles valors del paràmetre $k$.

Un robot aspirador es mou sobre la trajectòria descrita per la recta $r: 3x + 4y - 24 = 0$. En trobar un obstacle exactament en el punt de tall amb l'eix d'ordenades (eix Y), gira $90^{\circ}$ i continua la seva marxa en línia recta. Troba l'equació general de la nova trajectòria i el punt on tallarà l'eix d'abscisses (eix X).

Troba les coordenades del punt simètric de $A(2, 5)$ respecte de la recta $r: x - 2y + 3 = 0$.

Els costats d'una finca amb forma de quadrilàter estan situats sobre les rectes $r: 2x + y - 5 = 0$ i $s: x - 2y + 5 = 0$. Sabent que un dels vèrtexs de la finca és el punt $P(4, 2)$ i que el recinte és un rectangle perfecte, troba les equacions generals de les rectes que contenen els altres dos costats.

Calcula l'àrea del triangle que forma la recta $r: 5x + 2y - 20 = 0$ amb els dos eixos de coordenades.

Donades les rectes $r: 2x - y + 4 = 0$ i $s: x + y - 1 = 0$, troba l'equació explícita d'una recta paral·lela a $r$ que passi pel punt d'intersecció de $s$ amb l'eix d'abscisses.

Un raig de llum segueix la trajectòria de la recta $r: x - y + 2 = 0$ i incideix sobre un mirall pla situat al llarg de l'eix X. Sabent que l'angle d'incidència és igual a l'angle de reflexió respecte a la normal, troba l'equació general de la recta que descriu el raig reflectit.

El Consorci de Transports d'una comunitat autònoma ofereix dues opcions d'abonament mensual per viatjar en una línia interurbana:

• Opció Freqüent: una quota fixa de $15$ € al mes més $1,20$ € per cada viatge realitzat.

• Opció Ocasional: sense quota fixa, amb un cost de $2,20$ € per cada viatge realitzat.

1. a) Modela el cost mensual total ($y$, en euros) segons el nombre de viatges realitzats al mes ($x$) per a cada opció, expressant ambdues relacions com a equacions generals de rectes ($Ax + By + C = 0$).
2. b) Justifica analíticament la posició relativa d'ambdues rectes a partir del quocient dels seus coeficients. Troba les coordenades exactes del punt de tall i interpreta quin significat pràctic tenen per a un usuari a l'hora de triar quin abonament comprar.
3. c) L'entitat gestora planeja substituir l'Opció Ocasional per una nova tarifa que tingui la recta associada estrictament paral·lela a la de l'Opció Freqüent. Quin preu exacte per viatge hauria de fixar en aquesta nova tarifa per aconseguir-ho? Seria possible que ambdues opcions costessin el mateix per a algun nombre de viatges en aquest cas? Raona la teva resposta a partir de les propietats geomètriques de les rectes paral·leles.

Es consideren les rectes $r: kx + 3y - 6 = 0$ i $s: 3x + ky - (k + 3) = 0$, on $k$ és un paràmetre real:

1. a) Discuteix la posició relativa d'ambdues rectes segons els diferents valors de $k$, distingint amb claredat mitjançant la proporcionalitat dels coeficients quan són secants, paral·leles o coincidents.
2. b) Per al cas particular $k = 1$, les rectes són secants. Calcula de manera exacta les coordenades del seu punt d'intersecció i comprova algebraicament que aquest punt pertany a ambdues rectes.
3. c) Un company de classe sosté la següent afirmació: «Si dues rectes tenen la mateixa direcció, forçosament es tracta de la mateixa recta». Basant-te en les conclusions obtingudes a l'apartat a) per al valor $k = -3$, refuta de manera raonada la seva afirmació explicant la diferència algebraica i geomètrica entre rectes paral·leles i coincidents.