Exercicis: Rectes paral·leles als eixos

Escriu l'equació de la recta paral·lela a l'eix d'abscisses (eix $X$) que passa pel punt $A(3, -5)$.

Escriu l'equació de la recta paral·lela a l'eix d'ordenades (eix $Y$) que passa pel punt $B(-2, 7)$.

Una recta passa pels punts $P(4, 2)$ i $Q(-3, 2)$. És paral·lela a algun dels eixos? Escriu la seva equació.

En Marcos ha de trobar en un examen l'equació de la recta que passa pels punts $A(5, -2)$ i $B(5, 7)$. Al seu full de respostes escriu el següent:

«Calculo el pendent: $m = \frac{7 - (-2)}{5 - 5} = \frac{9}{0} = 0$. Com que el pendent és $0$, la recta és horitzontal i la seva equació és $y = 5$, perquè la primera coordenada de tots dos punts val $5$».

1. a) Identifica els dos errors conceptuals comesos per en Marcos (un sobre l'operació matemàtica realitzada i un altre sobre la relació entre les coordenades i l'orientació de la recta).
2. b) Explica com es dedueix l'equació correcta observant directament les coordenades d'$A$ i $B$, i escriu aquesta equació.

Dissenya tres punts en el pla cartesià, anomenats $A$, $B$ i $C$, que compleixin alhora les tres condicions següents:

1. La recta que passa per $A$ i $B$ és paral·lela a l'eix $X$.

2. La recta que passa per $B$ i $C$ és paral·lela a l'eix $Y$.

3. El punt de tall entre totes dues rectes és $B(-3, 4)$ i la distància entre el punt $A$ i el punt $B$ és de $6$ unitats.

Escriu totes les coordenades possibles per al punt $A$, proposa unes coordenades vàlides per al punt $C$ i escriu l'equació de cadascuna de les dues rectes que has determinat.

El capçal d'una impressora 3D ha de traçar una línia de suport horitzontal constant a $15\text{ mm}$ de l'origen en l'eix $Y$. Escriu les equacions paramètriques i l'equació general d'aquesta recta.

Determina el valor de $k$ perquè la recta d'equació general $kx + 3y - 6 = 0$ sigui paral·lela a l'eix $X$. Escriu l'equació resultant.

En un camp de futbol representem el centre del camp en l'origen de coordenades $(0,0)$. Si el camp té $100\text{ m}$ de llargada (situat sobre l'eix $X$) i $60\text{ m}$ d'amplada (situat sobre l'eix $Y$), escriu les equacions de les quatre línies rectes que delimiten el terreny de joc.

Per trobar l'equació de la recta que passa pels punts $P(-7, 3)$ i $Q(5, 3)$, dos estudiants de 4t d'ESO proposen estratègies diferents:

• L'Alba diu: «Aplico la fórmula contínua de la recta que passa per dos punts: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$, substitueixo les coordenades i opero en creu per aïllar».

• En Bruno diu: «No cal operar: em fixo que l'ordenada de tots dos punts és la mateixa ($y = 3$), així que la recta no puja ni baixa, és horitzontal i la seva equació és directament $y = 3$».

1. a) Justifica per què el raonament d'en Bruno és correcte i explica quin inconvenient algebraic trobaria l'Alba si intentés aplicar la seva fórmula a una recta vertical com la que uneix $R(2, -1)$ i $S(2, 8)$.
2. b) Tenint en compte l'anterior, argumenta quin dels dos enfocaments és més segur i eficient per identificar rectes paral·leles als eixos.

L'Institut Geogràfic Nacional (IGN) estableix un perímetre de seguretat rectangular al voltant d'una zona volcànica en una illa canària. Es pren una estació de vigilància com a origen de coordenades $(0, 0)$, mesurant les distàncies en quilòmetres (eix $X$ cap a l'est, eix $Y$ cap al nord). El perímetre té els costats orientats exactament segons els punts cardinals, i dos dels seus vèrtexs oposats són $V_1(-4, -2)$ i $V_2(3, 5)$.

1. a) Escriu l'equació de cadascuna de les quatre rectes que formen els límits del perímetre, indicant a quin punt cardinal (nord, sud, est o oest) correspon cadascuna.
2. b) Una patrulla d'emergències envia la seva posició GPS des del punt $P(-4, 1)$. Determina de manera raonada si la patrulla es troba a l'interior de la zona d'exclusió, fora d'aquesta o exactament sobre un dels seus límits.

En el desenvolupament d'un videojoc, la pantalla té una resolució de $1920 \times 1080$ píxels. Si situem l'origen $(0,0)$ a la cantonada inferior esquerra, escriu les equacions de les dues línies rectes (una d'horitzontal i una altra de vertical) que divideixen la pantalla exactament en quatre quadrants iguals.

Un quadrat té el centre en el punt $C(3, 3)$ i els seus costats són paral·lels als eixos de coordenades. Si el costat del quadrat mesura $4\text{ u}$, escriu les equacions de les quatre rectes que contenen els seus costats.

Es consideren les rectes fixes $r: y = 6$, $s: y = 1$ i $t: x = 2$. Es busca una quarta recta vertical $u: x = k$ (amb $k \neq 2$) tal que les quatre rectes delimitin un recinte rectangular d'àrea igual a $20\text{ unitats quadrades}$.

1. a) Abans de calcular: observa la distància que separa les rectes $r$ i $s$. Estima mentalment quina longitud ha de tenir la base del rectangle i prediu quants valors diferents pot prendre $k$, indicant a quins costats de la recta $t$ se situaran.
2. b) Planteja la relació matemàtica entre l'àrea, l'altura fixa i la base en funció del paràmetre $k$. Resol l'equació per trobar els valors exactes de $k$ i escriu les equacions de les possibles rectes $u$.
3. c) Comprova si els valors obtinguts coincideixen amb la teva estimació prèvia i explica geomètricament el significat que existeixin exactament dues solucions.

Es considera la família de rectes donada per l'equació general implícita:

on $a$ i $b$ són paràmetres reals constants.

1. a) Determina els valors numèrics exactes d'$a$ i $b$ perquè la recta sigui paral·lela a l'eix d'abscisses (eix $X$) i passi pel punt $P(7, -5)$. Escriu l'equació resultant.
2. b) Analitza si és possible ajustar els paràmetres $a$ i $b$ perquè la recta resultant sigui paral·lela a l'eix d'ordenades (eix $Y$) i, a més, coincideixi exactament amb el mateix eix $Y$. Justifica la teva conclusió a partir de les condicions algebraiques que han de complir els coeficients.