Exercicis: Punt mitjà d'un segment

Calcula les coordenades del punt mitjà del segment els extrems del qual són els punts $A(2, 4)$ i $B(6, 10)$.

El punt mitjà del segment $AB$ és $M(3, 5)$. Si l'extrem $A$ té per coordenades $(1, 2)$, troba les coordenades de l'extrem $B$.

Determina les coordenades del punt mitjà del segment els extrems del qual són els punts $P(-4, -6)$ i $Q(2, -8)$.

Troba el punt simètric de $A(5, -3)$ respecte de l'origen de coordenades $O(0,0)$.

Calcula el punt mitjà del segment que uneix els punts $C\left(\frac{1}{2}, 3\right)$ i $D\left(\frac{3}{2}, -1\right)$.

Comprova analíticament si el punt $M(-1, 2)$ és el punt mitjà del segment d'extrems $E(-4, 5)$ i $F(2, -1)$.

Els punts $A(0, 4)$ i $B(4, 0)$ formen un segment en el pla cartesià. Calcula les coordenades del seu punt mitjà.

Donat el segment d'extrems $G(-3, 7)$ i $H(-3, -1)$, troba el seu punt mitjà i indica sobre quin eix o recta paral·lela als eixos es troba aquest segment.

En Marcos ha de calcular el punt mitjà del segment que uneix els punts $A(-4, 7)$ i $B(2, -1)$. En el seu quadern escriu el següent:

Identifica l'error conceptual que ha comès en Marcos, explicant amb quina altra fórmula o procediment de geometria analítica s'ha confós. A continuació, raona per què el seu resultat és visualment impossible atenent a la posició dels punts i calcula la solució correcta.

Considera el segment d'extrems $A(-9, 2)$ i $B(3, 10)$.

1. a) Abans de fer cap càlcul algebraic, estima raonadament en quin quadrant del pla cartesià s'ha de trobar el punt mitjà $M$ i prediu el signe de la seva abscissa i de la seva ordenada, comparant els valors absoluts dels extrems.
2. b) Aplica la fórmula del punt mitjà per calcular les coordenades exactes de $M$.
3. c) Comprova si el resultat obtingut confirma la teva estimació i justifica per què l'abscissa de $M$ dista exactament la mateixa quantitat de $-9$ que de $3$.

Una llanxa de salvament navega en línia recta des del punt $A(-15, 20)$ fins al punt $B(45, -10)$ (coordenades en metres). Si ha d'amollar una boia de senyalització exactament a la meitat del seu recorregut, en quines coordenades ho farà?

Els extrems d'un diàmetre d'una circumferència són els punts $P(-3, 5)$ i $Q(7, -1)$. Calcula les coordenades del centre de la circumferència i la mida del seu radi.

Dues antenes de telefonia estan situades en les coordenades $T_1(4,5; 8,2)$ i $T_2(-1,5; 3,4)$ en un plànol topogràfic a escala. Es vol instal·lar un repetidor exactament al punt mitjà entre totes dues. Calcula les coordenades exactes on s'ha de situar el repetidor.

Un raig làser incideix en una lent situada al punt $L(2, 5)$. Si el punt d'origen del làser és $O(-3, 1)$ i la lent actua com a punt de simetria central, calcula les coordenades del punt $P$ on impactarà el làser després d'atravessar la lent assumint que manté la seva trajectòria recta.

Donat el triangle de vèrtexs $A(-2, 1)$, $B(4, 5)$ i $C(2, -3)$, troba les coordenades del punt mitjà del costat $BC$ i, a continuació, calcula la longitud de la mediana que parteix del vèrtex $A$.

El punt mitjà del segment $AB$ és $M(a, 3)$. Si coneixem les coordenades dels extrems $A(-2, 5)$ i $B(6, b)$, planteja les equacions corresponents i calcula els valors dels paràmetres $a$ i $b$.

En un programa de disseny per ordinador, es traça un segment des de $P_1(-4, -2)$ fins a $P_2(8, 6)$. El dissenyador necessita col·locar tres punts al segment que el divideixin en quatre parts exactament iguals. Calcula les coordenades del punt central d'aquests tres punts de divisió.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Comprova si el quadrilàter de vèrtexs $A(-1, 2)$, $B(3, 4)$, $C(4, 0)$ i $D(0, -2)$ és un paral·lelogram. Per fer-ho, calcula els punts mitjans de les seves dues diagonals i verifica si coincideixen.

Es vol construir un segment rectilini en el pla cartesià de manera que el seu punt mitjà exacte sigui $M(4, -3)$.

1. a) Determina les coordenades dels extrems $A$ i $B$ sabent que el punt $A$ està situat obligatòriament sobre l'eix d'abscisses ($y = 0$) i el punt $B$ sobre l'eix d'ordenades ($x = 0$).
2. b) Planteja el sistema d'equacions corresponent i justifica raonadament si aquesta parella de punts $(A, B)$ és única o si poden existir més solucions que compleixin ambdues condicions.
3. c) Escriu les coordenades d'una altra parella diferent d'extrems, $C$ i $D$, el punt mitjà dels quals continuï sent $M$, però amb la condició que cap dels dos pertanyi als eixos coordenats.

Al Parc Nacional de Sierra Nevada, el servei de rescat de muntanya necessita instal·lar un repetidor de telecomunicacions en el punt mitjà exacte de la línia que uneix el Refugi A, ubicat a les coordenades $(12, 18)$, i el Refugi B, situat a $(36, 6)$ (coordenades expressades en quilòmetres).

1. a) Modela la situació en el pla i calcula les coordenades d'ubicació del repetidor principal.
2. b) Per raons de seguretat en el protocol d'enllaç, s'han de col·locar a més dues balises secundàries: la balisa $S_1$ en el punt mitjà entre el Refugi A i el repetidor principal, i la balisa $S_2$ en el punt mitjà entre el repetidor principal i el Refugi B. Obtén les coordenades d'ambdues balises utilitzant la tècnica de punts mitjans successius.
3. c) Interpreta el repartiment del trajecte: en quantes parts d'igual longitud ha quedat dividit el tram original entre els dos refugis?

El disseny d'un pont de tirants situa els ancoratges d'un cable en els punts $A(2k, -4)$ i $B(6, k+2)$, essent $k$ un paràmetre desconegut. El punt mitjà del cable s'ha de recolzar sobre un pilar vertical situat exactament sobre l'eix d'abscisses (és a dir, la seva ordenada és $y=0$). Calcula el valor de $k$ i les coordenades exactes del punt de suport.

Tres vèrtexs consecutius d'una parcel·la topogràfica amb forma de paral·lelogram són $A(-3, -1)$, $B(2, -2)$ i $C(5, 2)$. Utilitzant la propietat geomètrica que les diagonals d'un paral·lelogram es tallen en el seu punt mitjà, calcula les coordenades del quart vèrtex $D$.

El segment $AB$ té el seu punt mitjà a $M(4, 3)$. Sabent que l'extrem $A$ es troba sobre l'eix d'abscisses (eix X) i l'extrem $B$ es troba sobre l'eix d'ordenades (eix Y), planteja les equacions corresponents i determina les coordenades exactes de $A$ i de $B$.

Un braç robòtic mou una peça en línia recta des del punt $P_1(-8, 4)$ fins a $P_2(2, -6)$, i fa una pausa al punt mitjà $M_1$. Després, mou la peça des de $M_1$ fins a $P_3(10, 8)$, fent una nova pausa al punt mitjà $M_2$ del segment $M_1 P_3$. Calcula les coordenades exactes de $M_2$.

Dues masses puntuals iguals es desplacen de tal manera que en un instant $t$ (en segons) es troben en les posicions $A(t, 2t-1)$ i $B(3t+2, -t+5)$. Troba l'expressió de les coordenades del centre de masses (punt mitjà $M$) en funció del temps. En quin instant $t$ el centre de masses creua l'eix d'ordenades ($x=0$)?

Es vol dividir el segment d'extrems $A(-5, 1)$ i $B(7, 9)$ en quatre parts de la mateixa longitud utilitzant exclusivament el càlcul de punts mitjans. Detalla el procés i calcula les coordenades dels tres punts que divideixen aquest segment.

Donat el triangle de vèrtexs $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ i $C(2, 6)$, calcula els punts mitjans dels seus tres costats ($M_1$, $M_2$, $M_3$). A continuació, demostra analíticament calculant les distàncies que el perímetre del triangle format pels punts mitjans és exactament la meitat del perímetre del triangle original.

Un segment en el pla cartesià té per extrems els punts genèrics $A(a, b)$ i $B(b, a)$, amb $a \neq b$. Demostra algebraicament que el punt mitjà d'aquest segment sempre pertany a la recta bisectriu del primer i tercer quadrant (l'equació de la qual és $y = x$), independentment dels valors numèrics que prenguin $a$ i $b$.

Es coneixen tres vèrtexs consecutius d'una parcel·la amb forma de paral·lelogram $ABCD$: $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ i $C(6, 9)$. Per trobar les coordenades del quart vèrtex $D$, dos delineants proposen camins diferents:

• Mètode 1: Utilitzar l'equipol·lència de vectors igualant les components de $\vec{AB}$ i $\vec{DC}$.

• Mètode 2: Calcular el punt mitjà de la diagonal coneguda $AC$ i utilitzar que ha de coincidir amb el punt mitjà de l'altra diagonal, $BD$.

1. a) Desenvolupa completament ambdós mètodes i comprova que condueixen al mateix resultat numèric per a $D$.
2. b) Si el plànol topogràfic requerís a més trobar el centre de simetria de la parcel·la (el punt central on es creuen les tanques運行als/diagonals), compara l'eficiència d'ambdós mètodes i justifica quin d'ells estalvia operacions.
3. c) Si no s'especifiqués que els vèrtexs $A$, $B$ i $C$ estan en ordre alfabètic consecutiu, raona quants paral·lelograms diferents es podrien construir amb aquests tres mateixos punts com a vèrtexs.

En un triangle de vèrtexs $A(-1, 3)$, $B(5, 7)$ i $C(3, -1)$:

1. a) Calcula les coordenades del punt mitjà $M$ del costat $BC$ i obtén les components del vector que va des del vèrtex $A$ fins a aquest punt mitjà (segment que defineix la mediana del triangle).
2. b) El baricentre $G$ d'un triangle és el punt que es troba sobre cada mediana a dos terços de la distància des del vèrtex corresponent al costat oposat, complint la relació vectorial $\vec{AG} = 2\cdot \vec{GM}$. Calcula les coordenades exactes de $G$ per a aquest triangle i demostra algebraicament que aquestes coordenades coincideixen amb la mitjana aritmètica de les coordenades dels seus tres vèrtexs: $\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\ \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$.
3. c) Si completem un paral·lelogram que tingui com a costats contigus els segments $AB$ i $AC$, raona sense necessitat de calcular distàncies si el baricentre $G$ pot coincidir amb el punt d'intersecció de les diagonals d'aquest paral·lelogram.