Exercicis: Paral·lelisme i perpendicularitat de rectes

Escriu el pendent d'una recta que sigui paral·lela i el pendent d'una recta que sigui perpendicular a la recta d'equació $y = 4x - 7$.

Donades les rectes $r: y = -2x + 5$ i $s: y = \frac{1}{2}x - 3$, indica raonadament si són paral·leles, perpendiculars o secants no perpendiculars.

Troba l'equació explícita de la recta que és paral·lela a $y = -3x + 2$ i que passa pel punt $P(0, 5)$.

Un vector director de la recta $r$ és $\vec{v} = (3, -1)$. Escriu un vector director per a una recta que sigui paral·lela a $r$ i un altre per a una recta que sigui perpendicular a $r$.

Determina l'equació punt-pendent de la recta perpendicular a $y = \frac{2}{5}x - 1$ que passa pel punt $A(4, 2)$.

Comprova analíticament si les rectes donades en forma general $r: 3x - 6y + 2 = 0$ i $s: x - 2y - 5 = 0$ són paral·leles.

Escriu l'equació general de la recta que és paral·lela a l'eix d'abscisses (eix X) i passa pel punt $Q(-3, 8)$.

Calcula el pendent de la recta que passa pels punts $A(2, -1)$ i $B(5, 8)$, i dedueix a partir d'aquesta quin seria el pendent de qualsevol recta perpendicular a aquesta.

En Marcos ha de trobar l'equació explícita de la recta $s$, perpendicular a la recta $r: y = -\dfrac{3}{4}x + 2$, que passa pel punt $P(0, -5)$. Al seu examen escriu el següent:

«Com que és perpendicular, canvio el signe del pendent, així que $m_s = \dfrac{3}{4}$. Com que talla l'eix d'ordenades a $-5$, la recta és $y = \dfrac{3}{4}x - 5$».

1. a) Identifica i explica raonadament l'error conceptual d'en Marcos. Recolza't en el significat geomètric del pendent (avanç i elevació) per justificar per què la seva recta no forma un angle de $90^\circ$ amb $r$.
2. b) Corregeix la resolució i escriu l'equació explícita correcta de la recta $s$.

Construeix les equacions generals ($Ax + By + C = 0$) de dues rectes diferents, $r$ i $s$, que compleixin alhora les condicions següents:

1) Totes dues han de ser perpendiculars a la recta donada $t: 2x - 5y + 10 = 0$.

2) La recta $r$ ha de passar per l'origen de coordenades $(0, 0)$.

3) La recta $s$ ha de tallar l'eix d'abscisses en el punt $(4, 0)$.

Un cop obtingudes, demostra que $r$ i $s$ són paral·leles entre si analitzant els seus pendents o els seus coeficients, i explica quin significat geomètric té la diferència entre els seus termes independents $C$.

En el plànol d'una ciutat, el carrer Alcalá segueix la trajectòria de la recta $2x + 5y - 10 = 0$. El carrer Goya és perpendicular a aquesta i passa per una plaça situada en les coordenades $P(-2, 3)$. Troba l'equació general del carrer Goya.

Calcula el valor del paràmetre $k$ perquè la recta $kx - 3y + 6 = 0$ sigui paral·lela a la recta que uneix els punts $A(1, 2)$ i $B(4, 11)$.

Un feix làser viatja al llarg de la recta $y = 3x - 2$. En el punt exacte on el làser creua l'eix d'ordenades (eix Y), es col·loca un mirall perpendicular a la trajectòria del raig. Determina l'equació explícita de la recta que representa el mirall.

Els costats contigus d'una parcel·la rectangular se situen sobre les rectes $r: 2x - 4y + 7 = 0$ i $s: 4x + 2y - 3 = 0$. Comprova analíticament que els costats formen un angle recte. Després, troba l'equació d'una recta paral·lela a $r$ que passi per l'origen de coordenades.

Dos avions volen a la mateixa altitud. La ruta del primer avió ve donada per les equacions paramètriques $x = 1 + 5t$, $y = -2 - 3t$. La ruta del segon avió és paral·lela a la del primer i passa per la torre de control $T(0, 0)$. Escriu les equacions paramètriques de la ruta del segon avió.

Determina el valor del paràmetre $m$ perquè les rectes $r: mx + 4y - 1 = 0$ i $s: 2x - 5y + 8 = 0$ siguin perpendiculars.

Una canonada principal de reg segueix la recta d'equació contínua $\frac{x-2}{4} = \frac{y+1}{-3}$. Cal instal·lar una canonada secundària perpendicular a la principal que connecti amb un aspersor situat a $S(-1, 5)$. Troba l'equació contínua d'aquesta canonada secundària.

Troba l'equació explícita de la mediatriu del segment d'extrems $A(-2, 3)$ i $B(4, 1)$. (Recorda que la mediatriu és la recta perpendicular al segment que passa pel seu punt mitjà).

Dos repetidors de telecomunicacions se situen a les coordenades $A(-2, -1)$ i $B(4, 3)$. Per repartir la cobertura de manera equilibrada, els tècnics han de traçar la mediatriu del segment $AB$.

1. a) Abans de fer cap càlcul algebraic:

• Dedueix raonadament si el pendent del segment $AB$ és positiu o negatiu i, a partir d'aquest, quin signe ha de tenir el pendent de la mediatriu.

• Determina mentalment a quin quadrant estarà el punt mitjà del segment $AB$ i estima si l'ordenada a l'origen de la mediatriu serà positiva o negativa.

1. b) Fes els càlculs analítics: calcula les coordenades del punt mitjà d'$AB$, el pendent de la mediatriu i escriu la seva equació en forma general ($Ax + By + C = 0$).
2. c) Comprova si els valors calculats a l'apartat b confirmen les estimacions que has fet a l'apartat a i raona per què el resultat és geomètricament coherent.

En la xarxa ferroviària, un tram recte de via d'alta velocitat segueix la trajectòria de la recta $r: 3x + 4y - 24 = 0$ (on les coordenades $x$ i $y$ estan en quilòmetres respecte a un centre de control). Una plataforma logística situada al punt $P(7, 7)$ necessita connectar-se amb la via principal mitjançant un ramal secundari totalment recte.

1. a) Per minimitzar el cost i l'impacte ambiental, el ramal ha de seguir la distància més curta possible fins a la via. Troba l'equació general de la recta $s$ per la qual ha de discórrer aquest ramal i raona quina propietat geomètrica assegura que sigui el traçat de menor longitud.
2. b) Calcula les coordenades exactes del punt de connexió $Q$ on el ramal s'unirà a la via principal resolent el sistema format per totes dues rectes.
3. c) La normativa estableix que si la distància entre la plataforma i la via principal supera els $4\text{ km}$, s'ha de construir una estació tècnica intermèdia. Justifica si caldrà aquesta estació calculant la distància exacta entre $P$ i $Q$.

El disseny de la teulada d'un pavelló esportiu inclou dues bigues d'acer que es creuen. La biga 1 es recolza en la recta $ax + 3y - 5 = 0$ i la biga 2 en la recta $2x - by + 4 = 0$. Calcula els valors exactes de $a$ i $b$ sabent que les bigues són perpendiculars i que la biga 1 passa pel punt $P(1, -2)$.

Demostra analíticament que el quadrilàter els vèrtexs del qual són $A(1, 1)$, $B(5, 3)$, $C(4, 5)$ i $D(0, 3)$ és un rectangle. Per a fer-ho, comprova els pendents dels seus costats i confirma que els angles contigus són rectes.

Un vaixell navega en línia recta seguint la trajectòria $r: 3x + 4y - 24 = 0$. Un far es troba situat en el punt $F(7, 7)$. Calcula la distància més curta des del far fins a la trajectòria del vaixell. (Pista: troba la recta perpendicular a $r$ que passa per $F$, troba el punt de tall i calcula la distància entre tots dos punts).

Donades les rectes $r: \frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{k}$ i $s: 3x - 5y + 2 = 0$, determina el valor de $k$ perquè siguin paral·leles. A continuació, calcula el valor de $k$ perquè siguin perpendiculars.

Calcula les coordenades exactes de l'ortocentre (punt de tall de les tres altures) del triangle de vèrtexs $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ i $C(2, -5)$.

Un panell solar està alineat amb la recta que passa pels punts $P(1, 4)$ i $Q(5, 2)$. Per a maximitzar l'eficiència, els raigs del sol han d'incidir de manera perpendicular sobre el panell. Escriu les equacions paramètriques de la trajectòria d'un raig de sol que impacta exactament en el punt mitjà del panell.

Troba les coordenades exactes de la projecció ortogonal del punt $P(3, -2)$ sobre la recta $r: x - 2y + 5 = 0$. (Nota: la projecció ortogonal és el punt d'intersecció de la recta $r$ amb la recta perpendicular a aquesta que passa per $P$).

Dos robots aspirador es mouen per una sala diàfana. El primer segueix la trajectòria donada per l'equació $y = \frac{1}{2}x + 2$. El segon es mou per una línia perpendicular a la del primer, de manera que tots dos xocarien en el punt exacte de tall de la primera trajectòria amb l'eix d'ordenades (eix Y). Troba l'equació explícita de la trajectòria del segon robot i calcula l'àrea del triangle format per les trajectòries de tots dos robots i l'eix d'abscisses (eix X).

Per comprovar si les rectes $r: 12x - 15y + 8 = 0$ i $s: 10x + 8y - 3 = 0$ són perpendiculars entre si, dos estudiants proposen camins diferents:

• Mètode 1: Aïllar l'equació explícita ($y = mx + n$) de cadascuna, identificar-ne els pendents i comprovar si $m_r \cdot m_s = -1$.

• Mètode 2: Aplicar directament la condició sobre els coeficients de l'equació general ($A_r \cdot A_s + B_r \cdot B_s = 0$).

1. a) Resol el problema aplicant tots dos mètodes i verifica que condueixen a la mateixa conclusió.
2. b) Compara els dos camins: quin resulta més eficient i minimitza el risc de cometre errors amb fraccions i signes? Dedueix algebraicament per què la condició $A_r \cdot A_s + B_r \cdot B_s = 0$ equival exactament a $m_r \cdot m_s = -1$.
3. c) Sabent que $r$ i $s$ són perpendiculars, és possible trobar alguna recta al pla que sigui paral·lela a $r$ i que no sigui perpendicular a $s$? Justifica la teva resposta de manera lògica sense necessitat de plantejar equacions numèriques.

En un pla urbanístic s'han de situar tres edificis $A$, $B$ i $C$ de manera que formin un triangle rectangle l'angle recte del qual estigui al vèrtex $B$. Les posicions dels dos primers són fixes: $A(-1, 2)$ i $B(3, 5)$. El tercer edifici, $C$, s'ha d'ubicar sobre una avinguda la trajectòria de la qual és la recta horitzontal d'equació $y = 11$.

1. a) Planteja la condició analítica de perpendicularitat entre les rectes que contenen els costats $AB$ i $BC$, i calcula les coordenades exactes $(x_C, y_C)$ en què s'ha de construir l'edifici $C$.
2. b) Suposa ara que es canvia el projecte i l'edifici $C$ s'ha d'ubicar obligatòriament sobre un carrer vertical d'equació $x = k$. Demostra algebraicament si existeix algun valor concret de $k$ per al qual sigui totalment impossible construir el triangle rectangle amb vèrtex recte a $B$, i explica quina situació geomètrica anòmala es produeix en aquest cas.