Exercicis: Representació de funcions

Un taxista cobra una baixada de bandera de $3$ € i $1,5$ € per cada quilòmetre recorregut. Escriu l'expressió algebraica de la funció que relaciona el cost del trajecte amb els quilòmetres recorreguts.

Determina les coordenades del vèrtex i l'equació de l'eix de simetria de la paràbola $f(x) = x^2 - 6x + 5$.

Indica quines són les asímptotes vertical i horitzontal de la funció de proporcionalitat inversa $f(x) = \frac{2}{x-3} + 4$.

En un concurs de preguntes, els punts acumulats es dupliquen a cada ronda superada. Si comences amb $100$ punts, escriu la funció exponencial $P(r)$ que proporciona els punts en funció del nombre de rondes $r$ superades.

Donada la funció definida a trossos $f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$, calcula els valors numèrics de $f(-2)$, $f(0)$ i $f(3)$.

Troba el domini de definició de la funció radical $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.

Una recta passa pels punts $(-3, -4)$ i $(0, 4)$. Determina el seu pendent, la seva ordenada a l'origen i la seva expressió algebraica.

Determina el domini de la funció logarítmica $f(x) = \log_3(x - 5)$.

En Marcos ha de representar la funció racional $f(x) = \dfrac{3}{x-2} + 4$. Al seu quadern de treball escriu: «Com que el denominador s'anul·la a $x = 2$, l'asimptota horitzontal és $x = 2$. I com que la constant sumada al final és $4$, l'asimptota vertical és $y = 4$. Per tant, la gràfica no pot tallar cap dels dos eixos coordenats». Localitza els dos errors conceptuals que ha comès en Marcos, explica amb les teves paraules per què confon el comportament de les asímptotes i corregeix la seva anàlisi determinant les equacions correctes d'ambdues asímptotes i les coordenades del punt de tall amb l'eix $Y$.

Troba l'expressió algebraica d'una funció quadràtica de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ que compleixi simultàniament aquestes tres condicions geomètriques: té el vèrtex al punt $V(3, 4)$, talla l'eix d'ordenades (eix $Y$) al punt $(0, -5)$ i les seves branques s'obren cap avall. Explica pas a pas com dedueixes els coeficients $a$, $b$ i $c$ a partir de la simetria de la paràbola i les propietats del vèrtex, sense limitar-te a resoldre mecànicament un sistema de tres equacions amb tres incògnites.

El benefici de la venda de samarretes de la festa de fi de curs, en euros, ve donat per la funció $B(x) = -2x^2 + 120x - 1000$, on $x$ és el nombre de samarretes venudes en centenars. Quantes samarretes han de vendre per maximitzar el benefici i quin és aquest benefici màxim?

La gràfica següent mostra la velocitat d'un ciclista en funció del temps. Determina l'expressió algebraica de la funció definida a trossos que la representa.

El lloguer d'un autobús per a una excursió escolar costa $600$ €. Escriu la funció $C(x)$ que determina el cost per alumne en funció del nombre d'alumnes $x$ que hi assisteixin. Si a última hora es donen de baixa $5$ alumnes, escriu la nova funció de cost per alumne i troba quant pagarà cadascun si originalment hi anaven a anar $30$ alumnes.

S'inverteixen $5000$ € en un dipòsit bancari que ofereix un interès compost anual del $4\%$. Escriu la funció exponencial que modelitza el capital acumulat al cap de $t$ anys i calcula el capital disponible després de $5$ anys.

El temps $t$ (en segons) que triga a caure a terra un objecte que es deixa anar des d'una altura $h$ (en metres) s'aproxima amb la funció radical $t(h) = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Calcula el domini de la funció en aquest context i determina el temps que triga a caure un objecte deixat anar des de $4,9$ metres d'altura.

A partir de la paràbola base $y = x^2$ (en traç discontinu), s'ha realitzat una translació per obtenir la paràbola en traç continu. Escriu l'expressió algebraica de la nova paràbola i indica el vector de translació aplicat.

El nivell d'intensitat sonora $L$, en decibels (dB), es calcula mitjançant la funció logarítmica $L(I) = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$, on $I$ és la intensitat del so i $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ és el llindar d'audició. Calcula el nivell d'intensitat sonora d'una conversa normal la intensitat de la qual és $I = 10^{-6} \text{ W/m}^2$.

L'altura $h(t)$ en metres d'una cabina d'una sínia de fira respecte a terra en funció del temps $t$ en minuts ve donada per $h(t) = 12 + 10\sin\left(\frac{\pi}{4}t\right)$. Quina és l'altura màxima i mínima que aconsegueix la sínia? Quant triga a fer una volta completa?

En una prova d'atletisme escolar a Espanya, el llançament de pes d'una esportista descriu una trajectòria parabòlica donada per la funció $h(x) = -0,05x^2 + 0,6x + 1,8$, on $x$ és la distància horitzontal recorreguda en metres i $h(x)$ és l'alçada de l'artefacte sobre el terra en metres.

1. a) Abans de calcular amb fórmules, estima de manera raonada entre quins valors enters estarà la distància en què s'assoleix l'alçada màxima i si la marca final superarà els $14\text{ m}$, recolzant-te en el significat de l'ordenada a l'origen i en la rapidesa amb què canvia la trajectòria.
2. b) Calcula amb exactitud les coordenades del vèrtex i l'abast total del llançament (tall amb el terra, $h(x) = 0$). Compara els valors numèrics obtinguts amb les teves estimacions prèvies i valora si el model matemàtic és coherent amb la realitat d'aquest esport.

Una empresa pública d'abastament d'aigua a Espanya factura el consum domèstic bimestral per fomentar l'estalvi responsable mitjançant una tarifa per trams. La quota fixa del servei és de $12$ € al bimestre. El consum d'aigua es factura segons les regles següents:

• Els primers $20\text{ m}^3$ consumits tenen un preu reduït de $0,50$ € per cada $\text{m}^3$.

• Per a consums superiors a $20\text{ m}^3$ i fins a un màxim de $50\text{ m}^3$, els primers $20\text{ m}^3$ es facturen a la tarifa reduïda i cada metre cúbic addicional que excedeixi de $20$ costa $1,20$ €.

• Tot consum que superi els $50\text{ m}^3$ es cobra abonant els trams anteriors més $2,00$ € per cada metre cúbic que sobrepassi els $50\text{ m}^3$.

Escriu l'expressió analítica de la funció a trossos $C(x)$ que relaciona el cost total de la factura (en euros) en funció dels metres cúbics $x$ consumits. Explica com calcules els termes independents de cada tram per garantir que la funció sigui contínua i no es produeixi cap salt injustificat en l'import.

Expressa la funció $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ com una funció definida a trossos sense utilitzar el valor absolut. Indica en quins intervals la funció quadràtica original era negativa abans d'aplicar el valor absolut.

La trajectòria d'un projectil descriu una paràbola d'equació $y = ax^2 + bx + c$. Sabent que el projectil es llança des del punt $(0, 3)$, aconsegueix la seva altura màxima al punt $(2, 7)$ i cau a terra, troba l'expressió algebraica de la paràbola i determina a quina distància horitzontal del punt de llançament impactarà.

La gràfica mostra la intersecció entre la recta $y = -x + 5$ i la hipèrbola $y = \frac{4}{x}$. Calcula de manera analítica les coordenades exactes dels punts de tall $A$ i $B$.

La quantitat de carboni-14 en una resta fòssil disminueix exponencialment segons la funció $N(t) = N_0 \cdot (0,5)^{\frac{t}{5730}}$, on $N_0$ és la quantitat inicial i $t$ el temps en anys. Si un os conserva només el $12,5\%$ del seu carboni-14 original, quants anys han transcorregut?

Un pagès disposa de $120$ metres de tanca per tancar un terreny rectangular adjacent a un riu recte. Sabent que no necessita tancar el costat que dona al riu, escriu la funció que proporciona l'àrea del terreny en funció de l'amplada $x$ perpendicular al riu. Quines dimensions maximitzen l'àrea i quina és l'àrea màxima?

Donada la funció de proporcionalitat inversa $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$, troba l'expressió de la seva funció inversa $f^{-1}(x)$. Comprova analíticament que les asímptotes verticals i horitzontals s'intercanvien entre $f(x)$ i $f^{-1}(x)$.

Determina els valors dels paràmetres $a$, $b$ i $c$ de la funció racional $f(x) = \frac{ax + 2}{bx + c}$ sabent que té una asímptota vertical a $x = 1$, una asímptota horitzontal a $y = 3$ i passa pel punt $(2, 8)$.

El cost mensual de la factura de l'aigua en un municipi es calcula mitjançant una funció definida a trossos: una quota fixa de $10$ € que inclou els primers $15 \text{ m}^3$, un cost de $0,5$ € per $\text{m}^3$ addicional per al consum entre $15 \text{ m}^3$ i $30 \text{ m}^3$, i un cost de $1,2$ € per cada $\text{m}^3$ que excedeixi els $30 \text{ m}^3$. Escriu l'expressió analítica de la funció cost $C(x)$ en funció dels metres cúbics totals consumits $x$.

Per representar amb precisió la funció quadràtica $f(x) = 2x^2 - 12x + 10$ i determinar el seu eix de simetria i el seu vèrtex, dos estudiants defensen estratègies diferents:

• La Irene proposa transformar l'expressió algebraica completant quadrats fins a obtenir la forma canònica $f(x) = a(x - p)^2 + q$.

• En Sergio proposa resoldre primer l'equació $2x^2 - 12x + 10 = 0$ amb la fórmula general, fer la mitjana de les dues arrels per situar l'eix de simetria al punt mitjà i substituir aquesta abscissa a la funció per trobar el vèrtex.

1. a) Aplica pas a pas tots dos mètodes per trobar les coordenades del vèrtex i l'eix de simetria.
2. b) Compara els dos camins: quins avantatges i desavantatges té cadascun? Justifica en quina situació concreta (per exemple, atenent al signe del discriminant de l'equació) el mètode d'en Sergio deixa de ser aplicable de manera directa en el conjunt dels nombres reals, mentre que el procediment de la Irene continua funcionant sense cap obstacle.

Una boia oceanogràfica instal·lada davant les costes de Galícia monitora les oscil·lacions de les marees. L'alçada del nivell del mar $h(t)$ (en metres) respecte a un fons de referència segueix un comportament periòdic de període $T = 12\text{ h}$. Durant un cicle bàsic $t \in [0, 12]$, l'alçada es modelitza mitjançant dos trams parabòlics:

• Tram de baixamar (al voltant del nivell mínim), per a $t \in [0, 6]$: $h(t) = a(t - 3)^2 + 1$.

• Tram de plenamar (al voltant del nivell màxim), per a $t \in [6, 12]$: $h(t) = -a(t - 9)^2 + k$.

Es sap pels registres del port que el nivell del mar varia de manera contínua (sense salts bruscos), que la baixamar mínima és d'$1\text{ m}$ i que la plenamar màxima és de $5\text{ m}$.

1. a) Dedueix els valors exactes dels paràmetres $a$ i $k$. Justifica el teu raonament a partir de les coordenades dels vèrtexs i de la condició de continuïtat en l'instant de canvi de tram ($t = 6\text{ h}$).
2. b) Sense necessitat de definir noves fórmules per a temps posteriors, determina raonadament l'alçada del mar en els instants $t = 27\text{ h}$ i $t = 66\text{ h}$ basant-te exclusivament en la propietat formal de periodicitat $h(t + T) = h(t)$.