Exercicis: Taules de freqüències

Classifica les variables estadístiques següents indicant si són qualitatives, quantitatives discretes o quantitatives contínues:

• Color dels ulls dels alumnes d'una classe.

• Nombre de gols marcats per un equip de futbol en una temporada.

• Temps que triguen els corredors a completar una marató.

• Marca de telèfon mòbil dels professors d'un institut.

En una floristería s'ha anotat el nombre de roses venudes en cadascun dels últims $15$ dies, i s'han obtingut les dades brutes següents:

$12, 15, 12, 14, 15, 12, 13, 14, 15, 12, 14, 13, 15, 12, 14$

Construeix la taula de freqüències absolutes ($f_i$) i relatives ($h_i$) corresponent a aquesta variable.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un estudi sobre el tipus de transport utilitzat per anar a la feina, la freqüència relativa dels enquestats que utilitzen el metro és $0,35$. Si l'estudi s'ha realitzat a un total de $N = 400$ persones, calcula la freqüència absoluta d'aquest grup.

Donada la taula de freqüències absolutes següent sobre el nombre de mascotes que tenen $20$ famílies, calcula i afegeix la columna de freqüències absolutes acumulades ($F_i$).

• $x_i = 0 \implies f_i = 5$

• $x_i = 1 \implies f_i = 8$

• $x_i = 2 \implies f_i = 4$

• $x_i = 3 \implies f_i = 3$

Un ajuntament vol conèixer l'opinió dels seus $50\,000$ habitants sobre la construcció d'un nou parc urbà. Per a això, fa una enquesta telefònica a $1\,200$ residents triats a l'atzar. Identifica clarament quina és la població, quina és la mostra, qui és l'individu i quina és la mida de la mostra.

La taula següent mostra les freqüències relatives ($h_i$) del nombre de germans dels alumnes d'una escola. Calcula les freqüències relatives acumulades ($H_i$) i expressa-les també com a percentatge acumulat ($P_i$).

• $x_i = 0 \implies h_i = 0,25$

• $x_i = 1 \implies h_i = 0,45$

• $x_i = 2 \implies h_i = 0,20$

• $x_i = 3 \text{ o més} \implies h_i = 0,10$

Un alumne ha construït una taula de freqüències relatives per a les notes d'un examen i ha obtingut els valors següents per a les diferents qualificacions: $0,15$; $0,25$; $0,35$; $0,30$. Sense necessitat de conèixer el nombre total d'alumnes, explica per què es pot afirmar amb total seguretat que l'alumne ha comès un error en els seus càlculs.

Completa la taula de freqüències següent sabent que el total de dades és $N=50$.

• $x_i = 1 \implies f_i = 10$

• $x_i = 2 \implies f_i = x$

• $x_i = 3 \implies f_i = 15$

• $x_i = 4 \implies f_i = 5$

Calcula el valor de la incògnita $x$ i determina la freqüència relativa del valor $x_i = 2$.

La Lucía ha realitzat una enquesta als $40$ estudiants del seu curs sobre el nombre de llibres que han llegit en l'últim trimestre. En presentar la seva taula de freqüències a classe, comet dos errors notables al seu full de càlcul:

• A la fila del valor $x_2 = 1$ llibre, la freqüència absoluta del qual és $f_2 = 14$ i la freqüència absoluta acumulada del qual és $F_2 = 22$, escriu com a freqüència relativa acumulada $H_2 = \frac{14}{40} = 0,35$.

• Al final de la columna de freqüències absolutes acumulades ($F_i$), suma tots els valors de les files ($8 + 22 + 33 + 38 + 40 = 141$) i escriu a sota: «Total acumulat $= 141$ persones enquestades».

Identifica detalladament els dos errors conceptuals comesos per la Lucía, explica per què el seu raonament és incorrecte i calcula els valors numèrics correctes que haurien de substituir les seves anotacions.

En un institut de $200$ alumnes de 4t d'ESO es fa un estudi sobre el mitjà de transport principal que utilitzen per anar a classe. El recompte dona les dades següents: Caminant ($f_1 = 96$), Autobús ($f_2 = 54$), Bicicleta/Patinet ($f_3 = 36$) i Cotxe particular ($f_4 = 14$).

1. a) Sense fer divisions llargues ni fer servir la calculadora, fes una estimació mental ràpida del percentatge ($p_i$) que representa cada modalitat aprofitant que la mida total de la mostra és $N = 200$. Explica en una frase quin raonament o estratègia mental has seguit per estimar-los.
2. b) Calcula a continuació els valors exactes de les freqüències relatives ($h_i$) i dels percentatges ($p_i$) per a cada mitjà de transport.
3. c) Compara les teves estimacions amb els valors calculats i comprova si la suma de les freqüències relatives i la dels percentatges compleixen les propietats fonamentals que exigeix tota taula de freqüències.

Agrupa els pesos següents (en kg) de $20$ paquets d'una empresa de missatgeria en $4$ intervals d'igual amplitud, començant en $2,0$ kg i acabant en $10,0$ kg. Construeix la taula de freqüències indicant els intervals, les marques de classe ($x_i$) i les freqüències absolutes ($f_i$).

Datos: $2,5$; $3,1$; $4,8$; $5,2$; $2,9$; $6,5$; $7,4$; $8,8$; $9,1$; $4,5$; $5,5$; $6,2$; $3,8$; $7,1$; $8,2$; $9,5$; $4,2$; $5,9$; $6,8$; $7,7$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Completa la taula de freqüències següent en la qual falten algunes dades. Es sap que la mida de la mostra és $N = 40$.

• $x_i = 10 \implies f_i = 8$, $F_i = 8$, $h_i = 0,20$

• $x_i = 20 \implies f_i = ?$, $F_i = 20$, $h_i = ?$

• $x_i = 30 \implies f_i = 14$, $F_i = ?$, $h_i = ?$

• $x_i = 40 \implies f_i = ?$, $F_i = 40$, $h_i = 0,15$

El diagrama de barres següent mostra el nombre de llibres llegits durant l'estiu per un grup d'estudiants. A partir de la informació visual del gràfic, construeix la taula completa indicant les freqüències absolutes ($f_i$), les freqüències relatives ($h_i$) i els percentatges ($p_i$).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un estudi bidimensional s'ha preguntat a $10$ persones pel seu número de calçat ($X$) i el seu nombre de germans ($Y$). Els parells $(X,Y)$ obtinguts són els següents:

$(38, 1), (40, 2), (39, 1), (40, 1), (38, 2), (41, 0), (39, 2), (40, 1), (41, 1), (39, 1)$

Construeix la taula de doble entrada de freqüències absolutes per a aquestes dues variables.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

A partir de la taula de doble entrada següent, extreu la taula de distribució marginal de la variable $X$ (número de calçat), indicant les seves freqüències absolutes ($f_i$) i les seves freqüències relatives ($h_i$):

Una empresa classifica el salari mensual dels seus empleats en intervals. Sabent que el $15\%$ cobra entre $1000$ i $1500$ euros, el $45\%$ cobra entre $1500$ i $2000$ euros, el $30\%$ cobra entre $2000$ i $2500$ euros, i els $12$ empleats restants cobren entre $2500$ i $3000$ euros.

Calcula el nombre total d'empleats de l'empresa i construeix la taula completa de freqüències absolutes per als salaris.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En analitzar les qualificacions d'un examen de Matemàtiques avaluat sobre $10$, s'observa que la freqüència relativa acumulada fins a la nota $6$ (inclosa) és de $H_6 = 0,65$. Si a la classe hi ha $80$ alumnes en total, quants alumnes han tret una nota estrictament superior a $6$? Quin percentatge representen sobre el total de la classe?

Es disposa d'un conjunt de $150$ dades contínues sobre la durada (en hores) de determinades bateries industrials. Utilitza la regla empírica de l'arrel quadrada ($\sqrt{N}$) per determinar el nombre aproximat d'intervals de classe recomanats. Si el valor mínim registrat és $12$ hores i el màxim és $87$ hores, calcula l'amplitud que hauria de tenir cada interval (arrodonint a l'enter superior) i escriu quins serien aquests intervals començant a comptar des del valor mínim.

En una enquesta de valoració sobre una aplicació educativa, $50$ usuaris han atorgat una puntuació sencera de l'$1$ al $5$ ($x_i \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$). La persona responsable d'elaborar l'informe ha extraviat la llista amb les respostes originals, però conserva les notes següents al seu quadern de treball:

• El $10\,\%$ dels usuaris va puntuar amb $1$ estrella.

• La freqüència relativa de la puntuació de $2$ estrelles és $h_2 = 0,24$.

• La freqüència absoluta acumulada fins a $4$ estrelles inclusivament és $F_4 = 41$.

• El nombre de persones que van valorar amb $3$ estrelles duplica exactament el nombre de persones que van valorar amb $4$ estrelles ($f_3 = 2 \cdot f_4$).

A partir d'aquestes condicions, reconstrueix de manera raonada la taula de freqüències completa, deduint pas a pas el valor de cada freqüència absoluta ($f_i$) i de cada freqüència acumulada ($F_i$).

Una estació meteorològica de l'AEMET en una comarca agrícola ha registrat durant $25$ dies de primavera el nombre d'hores d'insolació diària (radiació solar directa):

$3,2$; $5,8$; $7,1$; $4,5$; $8,4$; $6,0$; $9,2$; $5,1$; $7,8$; $10,4$; $4,0$; $6,6$; $8,1$; $7,4$; $5,5$; $9,8$; $6,9$; $8,7$; $7,0$; $11,1$; $4,8$; $6,3$; $8,9$; $7,6$; $10,0$.

1. a) Seguint el criteri habitual per a dades contínues, determina el nombre d'intervals recomanat ($k \approx \sqrt{N}$) i calcula l'amplitud constant $c$ necessària si es fixa com a límit inferior inicial $3,0$ hores i una amplitud exacta d'$1,7$ hores per interval.
2. b) Construeix la taula de freqüències agrupades en intervals semioberts $[a, b)$, indicant la marca de classe ($x_i$), la freqüència absoluta ($f_i$), la freqüència relativa ($h_i$) i la freqüència relativa acumulada ($H_i$) de cada classe.
3. c) A partir de la taula obtinguda, determina quin percentatge dels dies analitzats la insolació va ser estrictament inferior a $8,1$ hores i explica breument la utilitat de les marques de classe a l'hora de sintetitzar informació contínua.

Una taula de freqüències absolutes té $4$ valors diferents: $x_1, x_2, x_3, x_4$. Se sap que les freqüències absolutes depenen d'una incògnita $x$ de la manera següent:

$f_1 = 2x$, $f_2 = x + 5$, $f_3 = 3x - 2$ i $f_4 = 5x$.

Si la freqüència relativa acumulada del tercer valor és $H_3 = 0,60$, planteja una equació, troba el valor de $x$ i reconstrueix la columna completa de freqüències absolutes.

El següent histograma representa les edats dels visitants a un museu durant un matí. Observa que els intervals tenen diferent amplitud i que a l'eix vertical es representa la densitat de freqüència (alçària $a_i = \frac{f_i}{c_i}$, on $c_i$ és l'amplitud de l'interval).

Reconstrueix la taula de freqüències absolutes sabent que els intervals representats són $[0, 10)$, $[10, 30)$, $[30, 40)$ i $[40, 60)$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

S'ha realitzat una enquesta sobre dues variables $X$ i $Y$. La taula de doble entrada està incompleta. Completa-la sabent que el total d'individus és $N=50$, la distribució marginal de $X$ té $f(X=1) = 20$ i $f(X=2) = 30$, i la distribució marginal de $Y$ té $f(Y=A) = 15$, $f(Y=B) = 25$ i $f(Y=C) = 10$.

A més, es coneixen les freqüències conjuntes parcials següents:

• Hi ha $5$ individus amb $X=1$ i $Y=A$.

• Hi ha $10$ individus amb $X=1$ i $Y=B$.

• Hi ha $5$ individus amb $X=2$ i $Y=C$.

Construeix la taula de doble entrada emplenant les cel·les que falten.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una distribució de freqüències agrupada en intervals, es coneixen les freqüències relatives acumulades següents: $H_1 = 0,12$, $H_2 = 0,38$, $H_3 = 0,70$, $H_4 = 0,90$ i $H_5 = 1$.

Si la freqüència absoluta del tercer interval és $f_3 = 48$, determina la mida total de la mostra $N$ i calcula les freqüències absolutes de tots els intervals.

Un investigador està analitzant una mostra estratificada de $300$ persones extreta d'una població de $15\,000$ habitants. La població es divideix en tres barris: Nord ($6\,000$ hab.), Centre ($4\,500$ hab.) i Sud ($4\,500$ hab.).

Perquè la mostra sigui estrictament representativa (mostratge proporcional), quantes persones de cada barri han de formar part de la taula de freqüències de la mostra? Si en la mostra real utilitzada per l'investigador es va enquestar $100$ persones de cada barri, quin error de representació (en percentatge absolut) s'ha comès al barri Nord respecte del que li corresponia proporcionalment?

Demostra matemàticament, utilitzant la notació de sumatori ($\sum$), que la suma de totes les freqüències relatives ($h_i$) d'una distribució unidimensional de $k$ valors diferents és sempre igual a $1$, independentment de la mida de la mostra $N$.

Els salaris d'una empresa estan agrupats en $3$ intervals d'igual amplitud. Es sap que la marca de classe del primer interval és $1\,200$ € i la marca de classe del tercer interval és $2\,000$ €. Determina l'amplitud dels intervals i escriu els límits inferior i superior de cadascun dels tres intervals.

Es tenen dos grups d'alumnes, A i B. Del grup A ($30$ alumnes) es sap que la freqüència relativa d'aprovats és $0,60$. Del grup B ($20$ alumnes) es sap que la freqüència absoluta de suspesos és $5$.

Si es junten tots dos grups en una sola taula de freqüències globals, quina serà la freqüència relativa acumulada de suspesos respecte del total de $50$ alumnes? (Assumeix que la variable només pren dos valors categòrics ordenats: Suspès i Aprovat, en aquest ordre).

El departament d'orientació d'un institut ha avaluat les puntuacions obtingudes per $120$ estudiants de 4t d'ESO en una prova estandarditzada de raonament numèric, en una escala de $0$ a $100$ punts amb valors decimals continus. Per presentar l'informe a la direcció del centre, es proposen tres mètodes alternatius:

• Mètode 1: Construir una taula amb cada nota individual obtinguda sense agrupar, assignant a cada puntuació numèrica diferent la seva freqüència absoluta $f_i$.

• Mètode 2: Agrupar les dades en intervals d'amplitud uniforme aplicant la regla $k \approx \sqrt{N}$, arrodonint $k$ a l'enter més proper i calculant l'amplitud constant $c$ que cobreixi el rang complet $[0, 100]$.

• Mètode 3: Agrupar les dades en $4$ intervals qualitativoacadèmics preestablerts pels criteris d'avaluació: Insuficient $[0, 50)$, Suficient/Bé $[50, 70)$, Notable $[70, 90)$ i Excel·lent $[90, 100]$.

Respon i justifica amb rigor estadístic:

1. a) Explica per què el Mètode 1 és inadequat i ineficient per a aquest conjunt de dades, assenyalant quin problema pràctic presentaran les freqüències de la majoria de les files.
2. b) Si s'adopta el Mètode 2, determina el nombre enter de classes $k$ i calcula l'amplitud uniforme $c$ arrodonida cap amunt a l'enter més convenient per abastar el recorregut $[0, 100]$. Quin avantatge de càlcul aporta treballar amb amplituds idèntiques respecte a intervals d'amplitud variable?
3. c) Justifica en quin context comunicatiu o de presa de decisions el Mètode 3 resulta més convenient i clar que el Mètode 2, tot i que els seus intervals tinguin amplituds diferents ($50$, $20$, $20$ i $10$ punts).

A partir d'una mostra de $200$ joves d'entre 18 i 24 anys obtinguda en un estudi sociolaboral a Espanya (seguint l'esquema de l'Enquesta de Població Activa de l'INE), s'analitzen conjuntament dues variables:

• Nivell educatiu assolit ($X$): $A$ (ESO o inferior), $B$ (Batxillerat o FP de Grau Mitjà) i $C$ (Estudis universitaris o FP de Grau Superior).

• Situació laboral ($Y$): $E$ (Ocupat amb feina), $D$ (A l'atur) i $I$ (Inactiu estudiant).

Es disposa de la següent informació agregada sobre la mostra:

1. El $30\,\%$ dels joves té nivell formatiu $A$ i el $40\,\%$ té nivell $B$.

2. En el grup $C$ no hi ha cap persona a l'atur, i el nombre de joves ocupats duplica el d'inactius.

3. En el conjunt de la mostra hi ha $40$ persones a l'atur, de les quals el $60\,\%$ pertany al nivell formatiu $A$.

4. El nombre total de joves ocupats a la mostra és de $100$.

5. Entre els joves amb nivell $B$, exactament $24$ es troben en inactivitat acadèmica o formativa.

Fes les tasques d'anàlisi següents:

1. a) Modela la distribució conjunta elaborant la taula de doble entrada completa (freqüències conjuntes i marginals per files i columnes). Planteja i resol les equacions necessàries per deduir cada casella desconeguda justificant els teus passos.
2. b) Calcula la taxa mostral d'atur relativa dins de cadascun dels tres nivells educatius per separat (és a dir, el percentatge que representen els aturats respecte al total de joves del seu propi nivell formatiu: $A$, $B$ i $C$).
3. c) Interpreta els percentatges obtinguts en l'apartat anterior i redacta una conclusió fonamentada: les dades donen suport a la hipòtesi que un nivell de formació més alt s'associa a una freqüència relativa d'atur menor en aquest col·lectiu?