Exercicis: Medides de posició

El nombre de gols marcats per un equip d'handbol en els seus últims 9 partits ha estat: $24, 28, 21, 30, 25, 28, 22, 27, 26$. Calcula el primer quartil ($Q_1$), la mediana ($Me$) i el tercer quartil ($Q_3$) d'aquestes dades.

La durada de la bateria, en hores, de 10 telèfons mòbils després d'una càrrega completa és: $14, 18, 12, 15, 19, 11, 16, 15, 13, 17$. Determina la mediana i els quartils $Q_1$ i $Q_3$ de la durada de les bateries.

El següent diagrama de caixa i bigotis representa els preus, en euros, de les entrades per a diferents concerts en una ciutat durant l'estiu. Identifica el preu mínim, el preu màxim, la mediana i els quartils $Q_1$ i $Q_3$.

El nombre de pàgines llegides en un dia per un grup de 15 estudiants és: $12, 20, 8, 15, 30, 25, 10, 18, 22, 14, 35, 28, 16, 24, 19$. Troba el percentil $60$ ($P_{60}$) i interpreta el seu significat en el context del problema.

En una enquesta realitzada a 20 famílies sobre el nombre de mascotes que tenen a casa, s'han obtingut els resultats següents:

• 0 mascotes: 6 famílies

• 1 mascota: 8 famílies

• 2 mascotes: 4 famílies

• 3 mascotes: 2 famílies

Calcula la mediana del nombre de mascotes.

S'ha preguntat als 25 alumnes d'una classe quants dies a la setmana practiquen esport. Els resultats es mostren en la taula:

Determina el primer i el tercer quartil d'aquesta distribució.

En la revisió mèdica anual, el pediatra diu als pares d'un nen que la seva alçada es troba en el percentil $85$ ($P_{85}$) per a la seva edat. Explica detalladament què significa aquesta dada estadística en relació amb la resta de nens de la seva mateixa edat.

Les temperatures màximes registrades en una ciutat durant 12 dies consecutius de primavera han estat, en graus Celsius: $18, 20, 22, 19, 21, 24, 25, 23, 20, 19, 26, 22$. Calcula el rang interquartílic (diferència entre el tercer i el primer quartil) de les temperatures.

En Marcos ha registrat les notes obtingudes per 8 alumnes en un examen: $4, 8, 3, 9, 6, 5, 7, 2$. Per trobar els quartils, fa el següent raonament: «Com que són 8 dades, per al primer quartil calculo la posició $\dfrac{1 \cdot 8}{4} = 2$, així que $Q_1$ és la dada que està en segon lloc, és a dir, $Q_1 = 8$. Per al tercer quartil calculo la posició $\dfrac{3 \cdot 8}{4} = 6$, i com que la sisena dada de la llista és un 5, aleshores $Q_3 = 5$».

1. a) Assenyala l'error de concepte fonamental que ha comès en Marcos en manipular les dades. Explica per què la seva conclusió final ($Q_1 = 8$ i $Q_3 = 5$) és matemàticament absurda atenent a la definició de quartil.
2. b) Corregeix el procediment: ordena la sèrie i calcula de manera justificada els valors reals de $Q_1$, la mediana ($Me$) i $Q_3$.

Es vol dissenyar una mostra hipotètica de $N = 7$ qualificacions primeres (d'1 a 10) d'un grup reduït d'estudiants que compleixi simultàniament aquestes quatre condicions:

• La nota mínima és 2 i la nota màxima és 9.

• La mediana de la mostra és exactament 6.

• El primer quartil és $Q_1 = 4$.

• El tercer quartil és $Q_3 = 8$.

1. a) Proposa una llista ordenada de 7 notes que satisfaci totes les condicions, justificant la posició que ocupa cada mesura.
2. b) És única la mostra possible o hi pot haver diverses combinacions vàlides? Raona la teva resposta indicant quins elements tenen llibertat de variació i entre quins límits poden oscil·lar.

El temps, en minuts, que un grup de 40 adolescents passa al dia a les xarxes socials s'ha agrupat en la taula següent:

Identifica la classe mediana i calcula el valor exacte de la mediana utilitzant la fórmula d'interpolació lineal.

El següent polígon de freqüències acumulades mostra la distribució dels salaris mensuals, en euros, dels 50 empleats d'una empresa tecnològica. A partir del gràfic, estima de forma aproximada el valor de la mediana ($Me$), el primer quartil ($Q_1$) i el tercer quartil ($Q_3$).

Les talles de calçat dels 30 jugadors d'un club de bàsquet es distribueixen segons la taula següent:

Calcula els percentils $P_{20}$ i $P_{80}$ de la distribució i interpreta els resultats obtinguts en el context del problema.

El diagrama de caixa i bigotis adjunt representa la vida útil, en hores, d'una mostra de 200 bombetes LED d'una determinada marca. Respon a les preguntes següents justificant les teves respostes:

1. a) Quin percentatge de bombetes dura més de $1500$ hores?
2. b) Entre quins valors es troba el $50\%$ central de la distribució?
3. c) Quantes bombetes exactament van durar menys de $1200$ hores?

Els següents diagrames de caixa i bigotis mostren les qualificacions obtingudes en un examen de Ciències per dues classes diferents, A i B.

1. a) Quina classe té una dispersió més gran en el $50\%$ central de les seves notes?
2. b) En quina classe és més alta la nota que delimita el $75\%$ de les qualificacions més baixes?
3. c) Quina de les dues classes consideras que ha tingut un rendiment més homogeni en general? Justifica la teva resposta.

La distància, en quilòmetres, que recorren diàriament 50 empleats per arribar al seu lloc de treball es distribueix de la manera següent:

Calcula el percentil $90$ ($P_{90}$) utilitzant la fórmula d'interpolació lineal i explica quina informació proporciona aquest valor a l'empresa per planificar les places d'aparcament o ajuts de transport.

El pes, en grams, de 60 pomes recollides en un hort s'ha tabulat en intervals:

Calcula el rang interquartílic dels pesos de les pomes utilitzant la interpolació lineal per trobar prèviament $Q_1$ i $Q_3$.

Les edats d'un grup de 6 amics són: $14, 15, 15, 16, 17, 18$. Un nou amic s'uneix al grup. Determina quina edat ha de tenir aquest nou integrant perquè la mediana de les edats de tot el grup passi a ser exactament de $16$ anys.

El temps diari (en minuts) que triga una mostra de 50 estudiants de 4t d'ESO a desplaçar-se fins al seu centre educatiu s'ha tabulat de la següent manera:

1. a) Estima: Determina en quin interval es troba el percentil 60 ($P_{60}$). Sense fer encara cap càlcul algebraic complex, raona si el valor de $P_{60}$ hauria d'estar més a prop de 30, del punt mitjà (37,5) o de 45. Dóna una estimació intuïtiva del seu valor.
2. b) Comprova: Calcula amb precisió el valor de $P_{60}$ mitjançant la fórmula d'interpolació lineal. Compara el valor obtingut amb la teva estimació prèvia i explica el significat del resultat en el context del desplaçament dels alumnes.

En una enquesta de qualitat feta a 200 usuaris sobre una aplicació mòbil, la valoració es mesura amb estrelles discretes de l'1 al 5. Els resultats han estat: 20 persones van donar 1 estrella; 45 van donar 2; 75 van donar 3; 40 van donar 4; i 20 van donar 5.

Tres estudiants debaten com calcular els quartils d'aquest conjunt:

• En Sergio proposa llistar les 200 dades de manera individual en un full i anar tatxant dels extrems cap al centre.

• La Lucía proposa tractar les dades com si fossin contínues creant intervals $[0,5; 1,5), [1,5; 2,5), \dots$ i aplicar la fórmula d'interpolació lineal contínua.

• L'Alba proposa calcular les freqüències acumulades ($F_i$) directament sobre la taula discreta i buscar el primer valor on $F_i \ge \dfrac{k \cdot N}{4}$.

1. a) Compara les tres alternatives: explica quin problema pràctic evident presenta el camí d'en Sergio i quin error conceptual comet la Lucía en aplicar interpolació contínua a una variable discreta de valors enters aïllats.
2. b) Aplica el mètode de l'Alba per calcular justificadament $Q_1$, la mediana ($Me$) i $Q_3$. Interpreta el nivell de satisfacció dels usuaris a partir de la mediana obtinguda.

En una aplicació de música, les valoracions (d'1 a 5 estrelles) donades per un grup d'usuaris tenen la distribució següent:

Se sap que la mediana de les valoracions és $3,5$ estrelles. Determina el valor de la freqüència desconeguda $x$ raonant la teva resposta, i a continuació calcula el primer quartil ($Q_1$) de la distribució.

La quantitat de pluja mensual, en mm, registrada en una regió durant diversos anys s'agrupa en la taula següent:

Troba el valor de $k$ tal que el percentil $P_k$ sigui exactament $65$ mm. Quin percentatge de mesos va ploure menys d'aquesta quantitat?

El següent gràfic representa el polígon de freqüències acumulades del temps de càrrega, en minuts, de la bateria de 40 vehicles elèctrics. A partir del gràfic, reconstrueix la taula de freqüències absolutes per intervals i calcula de forma analítica el tercer quartil ($Q_3$). Compara el resultat analític amb el valor que s'observa directament al gràfic.

Una botiga d'electrònica té una llista de preus per a 20 models d'auriculars. Se sap que el primer quartil dels preus és $30$ €, la mediana és $45$ € i el tercer quartil és $60$ €. Per la setmana del "Black Friday", la botiga aplica un descompte del $20\%$ a tots els auriculars i, a més, descompta $5$ € extra a caixa. Determina quins seran els nous valors de $Q_1$, $Me$ i $Q_3$ després d'aplicar la promoció, justificant matemàticament la teva resposta.

Els temps de reacció, en mil·lisegons, de 15 jugadors professionals en un videojoc són: $210, 245, 215, 230, 220, 250, 215, 225, 240, 235, 218, 222, 260, 228, 232$.

Calcula els cinc valors resum (mínim, $Q_1$, mediana, $Q_3$, màxim) d'aquest grup. Si un jugador amateur té un diagrama de caixa els quartils del qual són $Q_1 = 240$ i $Q_3 = 280$, raona estadísticament si és possible afirmar que més del $25\%$ dels jugadors professionals tenen temps de reacció pitjors (més grans) que el $25\%$ dels jugadors amateur més ràpids.

Les qualificacions d'un examen de 6 estudiants són nombres enters de l'1 al 10. Es sap que la mitjana aritmètica és $6,5$, la mediana és $6,5$, la moda és $7$ (i és única), i el primer quartil ($Q_1$) és $5$. Reconstrueix les qualificacions exactes dels 6 estudiants explicant pas a pas el raonament seguit.

S'ha estudiat la vida útil, en milers de quilòmetres, de dues marques de pneumàtics, X i Y.

Per a la marca X:

Per a la marca Y:

Calcula el rang interquartílic de totes dues marques i determina quina de les dues ofereix una vida útil més consistent (menys dispersa en el $50\%$ central).

La distribució dels ingressos mensuals, en centenars d'euros, d'un barri residencial s'agrupa en la taula següent:

Calcula el primer decil ($D_1$) i el novè decil ($D_9$). Posteriorment, troba la ràtio $\frac{D_9}{D_1}$ i explica què indica aquest quocient sobre la desigualtat econòmica al barri.

A partir d'una mostra de 120 treballadors d'un sector industrial a Espanya (amb dades inspirades en l'Enquesta d'Estructura Salarial de l'INE), s'ha registrat el salari mensual brut (en euros) a la taula següent:

1. a) Calcula mitjançant interpolació lineal la mediana ($Me$) i el percentil 80 ($P_{80}$) de la distribució salarial.
2. b) L'administració local afirma: «Com que el salari mitjà aritmètic d'aquest grup ronda els 1850 €, la gran majoria de la plantilla cobra més de 1800 €». Utilitza les mesures de posició calculades i l'anàlisi de la taula per refutar rigorosament aquesta afirmació, explicant per què en variables econòmiques asimètriques la mediana representa la realitat millor que la mitjana.
3. c) Es planteja un subsidi de transport per al $20\,\%$ de treballadors amb sous més baixos. Dedueix el llindar salarial màxim per rebre l'ajuda i indica a quina mesura de posició correspon exactament.

En una comunitat de 80 habitatges s'analitza el consum elèctric mensual en quilowatts hora (kWh). Els consums es van agrupar en 4 intervals d'idèntica amplitud ($c = 50$): $[100, 150)$, $[150, 200)$, $[200, 250)$ i $[250, 300)$.

Per una errada informàtica es van esborrar les dades de la taula, però l'administrador recorda amb certesa tres informacions clau:

1. En el primer interval, $[100, 150)$, hi ha exactament 12 habitatges registrats.

2. El primer quartil, obtingut per la fórmula d'interpolació lineal, va donar exactament $Q_1 = 170$ kWh.

3. El percentil 90 de la comunitat va ser de $P_{90} = 275$ kWh.

1. a) Planteja les equacions corresponents a partir de les fórmules d'interpolació i determina raonadament les freqüències absolutes ($f_1, f_2, f_3, f_4$) dels quatre intervals de la taula.
2. b) Amb la taula ja reconstruïda, calcula el consum medià ($Me$) de la comunitat.
3. c) Quin percentatge exacte dels habitatges d'aquesta comunitat té un consum situat entre $Q_1$ i la mediana? Raona si la teva resposta depèn de les dades numèriques concretes d'aquest problema o si és una propietat general per a qualsevol distribució estadística contínua.