Exercicis: Medides de dispersió

Les temperatures màximes registrades en una ciutat durant una setmana d'hivern han estat: $12$, $14$, $9$, $11$, $15$, $10$ i $13$ graus Celsius. Calcula el rang d'aquestes temperatures.

Les notes d'un alumne en cinc exàmens de matemàtiques són $5$, $6$, $7$, $8$ i $9$. Sabent que la mitjana aritmètica és $7$, calcula la variància i la desviació típica de les seves qualificacions.

El pes mitjà d'un model de cargols fabricat industrialment és de $15$ grams, amb una desviació típica de $0,45$ grams. Calcula el coeficient de variació i expressa'l en percentatge.

En un bosc de pins, l'alçada mitjana és de $12$ metres amb una desviació típica de $1,5$ metres. En un bosc de roures, l'alçada mitjana és de $8$ metres amb una desviació típica de $1,2$ metres. Quina espècie d'arbre presenta una dispersió relativa més gran en la seva alçada?

En un estudi estadístic sobre els salaris mensuals d'una empresa, s'ha determinat que el primer quartil és $1200$ euros i el tercer quartil és $1800$ euros. Quin és el rang interquartílic dels salaris?

En un estudi estadístic compost per $20$ dades, se sap que la suma de tots els valors és $\sum x_i = 100$ i la suma dels seus quadrats és $\sum x_i^2 = 580$. Calcula la variància de la distribució.

La desviació típica de les edats d'un grup d'amics és actualment de $2,5$ anys. Si d'aquí a $4$ anys tornem a calcular la desviació típica de les seves edats, quin serà el nou valor? Justifica la teva resposta de forma raonada.

Una taula de freqüències agrupa el temps d me d'ús diari del telèfon mòbil en els intervals següents: $[0, 1)$, $[1, 2)$, $[2, 3)$ i $[3, 4)$ hores. Determina el rang màxim possible de les dades originals que han estat agrupades en aquesta taula.

La Lucía i en Marcos analitzen els resultats d'un examen de Matemàtiques a la seva classe de 4t d'ESO. La mitjana de les notes ha estat de $6,5$ i la desviació típica, d'$1,2$. Per premiar el lliurament d'un projecte voluntari, el professor decideix sumar $0,8$ punts a la qualificació final de cada alumne de la classe.

En Marcos afirma: «Com que a tots ens sumen $0,8$, la nova mitjana serà $7,3$ i la nova desviació típica serà $1,2 + 0,8 = 2,0$, perquè totes les notes són ara més altes».

1. a) Identifica l'error comès per en Marcos i explica raonadament per què la dispersió no varia en sumar una constant a totes les dades.
2. b) Què passaria amb la desviació típica si el professor, en lloc de sumar punts, decidís multiplicar totes les notes originals per $1,1$ (un augment del $10\,\%$)? Justifica la teva resposta calculant el nou valor de $\sigma$.

Considera dos grups de cinc estudiants, $A$ i $B$, que han obtingut les notes següents en un examen de $0$ a $10$ punts:

• Grup $A$: $0$, $5$, $5$, $5$, $10$

• Grup $B$: $0$, $1$, $5$, $9$, $10$

Observa que tots dos grups tenen la mateixa mitjana ($\bar{x} = 5$) i el mateix rang ($10 - 0 = 10$).

1. a) Abans de calcular cap variància, estima de manera justificada quin dels dos grups tindrà una desviació típica més gran. Basa la teva predicció en el significat de la desviació típica com a mitjana de les distàncies de les dades a la mitjana.
2. b) Calcula la variància i la desviació típica de cada grup utilitzant la fórmula de les desviacions $\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{N}}$ i comprova si la teva estimació inicial era encertada.

En un equip de futbol, el nombre de gols marcats per partit al llarg d'una temporada es resumeix en la distribució següent:

• $0$ gols: $5$ partits

• $1$ gol: $8$ partits

• $2$ gols: $4$ partits

• $3$ gols: $3$ partits

Calcula la variància i la desviació típica del nombre de gols per partit.

El temps, en minuts, que triguen diversos clients a ser atesos a la caixa d'un supermercat s'agrupa en els intervals següents:

• $[0, 5)$: $4$ clients

• $[5, 10)$: $10$ clients

• $[10, 15)$: $6$ clients

Troba la variància i la desviació típica del temps d'espera.

Dos ciclistes, Ana i Carlos, han registrat els seus temps (en minuts) en cinc etapes idèntiques d'entrenament:

• Temps d'Ana: $45$, $48$, $50$, $46$, $47$

• Temps de Carlos: $40$, $55$, $42$, $58$, $41$

Calcula el coeficient de variació de cadascun d'ells i determina qui és més regular en els seus temps.

Determina el rang i el rang interquartílic de la distribució de puntuacions representada en el següent diagrama de caixa i bigotis.

Els preus d'un producte tecnològic en diverses botigues dels Estats Units tenen una desviació típica de $15$ dòlars. Si per a un estudi econòmic convertim tots els preus a euros aplicant un tipus de canvi fix de $0,90$ euros per dòlar, quina serà la variància i la desviació típica dels preus expressats en euros?

En una mostra formada per tres dades, se sap que dues d'elles són $4$ i $8$. Sabent que la mitjana aritmètica de les tres dades és $6$, esbrina el valor de la tercera dada i calcula la variància de la mostra.

Calcula la variància i la desviació típica de les dades representades en el següent histograma, sabent que l'eix horitzontal representa l'edat en anys i l'eix vertical el nombre de persones. Utilitza les marques de classe per als teus càlculs.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una màquina envasadora A produeix paquets d'arròs amb un pes mitjà de $500$ grams i una desviació típica de $5$ grams. Una altra màquina B produeix paquets de llenties amb un pes mitjà de $1000$ grams i una desviació típica de $8$ grams. Utilitzant el coeficient de variació, determina quina màquina és comparativament més precisa en el seu procés d'envasament.

A partir de les dades publicades per l'Institut Nacional d'Estadística (INE) en la seva Enquesta Anual d'Estructura Salarial, s'estudien els salaris mensuals nets de dos sectors professionals a Espanya:

• Sector de l'Hostaleria: salari mitjà de $1250$ € amb una desviació típica de $200$ €.

• Sector de la Programació i Consultoria TIC: salari mitjà de $2600$ € amb una desviació típica de $390$ €.

1. a) Indica en quin dels dos sectors els salaris presenten una dispersió absoluta més gran i quin paràmetre estadístic permet afirmar-ho directament.
2. b) Una analista laboral afirma: «Els salaris en el sector TIC són molt més desiguals que en l'hostaleria perquè la seva desviació típica és gairebé el doble». Utilitza el coeficient de variació ($CV$) per determinar si aquesta afirmació és correcta i explica en quin dels dos sectors hi ha més dispersió relativa en relació amb el seu nivell salarial mitjà.

Es vol dissenyar una mostra de quatre notes enteres (valors d'$1$ a $10$) corresponents a quatre estudiants d'un grup de treball, de manera que compleixin simultàniament les condicions següents:

1. La mitjana aritmètica ha de ser exactament $6$.

2. El rang ha de ser exactament $4$.

3. La variància ha de ser la menor possible entre totes les combinacions que compleixen les dues condicions anteriors.

1. a) Troba de manera raonada les quatre qualificacions que formen aquesta mostra, explicant per què els valors centrals s'han de situar al més a prop possible de la mitjana.
2. b) Calcula la variància i la desviació típica de la mostra que has proposat.
3. c) Proposa una altra mostra diferent de quatre notes enteres que continuï tenint mitjana $6$ i rang $4$, però amb una variància estrictament més gran que l'obtinguda a l'apartat anterior, calculant el seu nou valor per justificar-ho.

Un conjunt estadístic format per $10$ dades té una mitjana aritmètica de $5$ i una variància de $2$. Si s'afegeix a aquest conjunt una nova dada amb valor $16$, calcula la nova mitjana aritmètica i la nova variància de les $11$ dades resultants.

En un institut, la classe de 4t A té $20$ alumnes amb una nota mitjana en estadística de $6$ i una variància de $1,5$. La classe de 4t B té $30$ alumnes amb una nota mitjana també de $6$ i una variància de $2$. Si s'agrupen els alumnes de totes dues classes en un sol conjunt, quina serà la variància global dels $50$ alumnes?

La temperatura en una ciutat s'ha mesurat diàriament en graus Celsius ($C$), i s'ha obtingut una desviació típica de $5^\circ C$. Sabent que la relació matemàtica per convertir graus Celsius a graus Fahrenheit ($F$) és $F = \frac{9}{5}C + 32$, demostra algebraicament quina serà la variància de les temperatures si totes les mesures s'expressen en graus Fahrenheit i calcula el seu valor final.

Una variable estadística discreta pren els valors $0$, $1$ i $2$ amb freqüències absolutes $2$, $k$ i $2$, respectivament. Sabent que la mitjana aritmètica de la distribució és $1$, planteja una equació per determinar el valor de la freqüència $k$ de manera que la variància de la distribució sigui exactament $0,5$.

S'ha realitzat un estudi estadístic sobre una variable i es sap que la mida de la mostra és $N$. A més, s'han obtingut els valors agregats següents: $\sum x_i f_i = 40$ i $\sum x_i^2 f_i = 200$. Si la variància de la distribució és $4$, determina la mida de la mostra $N$.

Observa els polígons de freqüències de les distribucions A i B representades en el gràfic següent. Totes dues distribucions tenen la mateixa mitjana aritmètica. Quina de les dues distribucions presenta una desviació típica més gran? Justifica la teva resposta analitzant la concentració de les dades respecte a la mitjana, sense necessitat de fer càlculs numèrics.

En calcular la variància d'un conjunt de $10$ dades es va obtenir un valor de $4$, essent la mitjana aritmètica igual a $5$. Posteriorment, en revisar els registres, es va descobrir que una dada el valor real de la qual era $3$ s'havia anotat per error com a $8$. Calcula la variància correcta de la distribució després de esmenar l'error.

Un inversor està analitzant el risc de dos fons d'inversió. El fons Alpha ha obtingut unes rendibilitats anuals del $2\%$, $4\%$, $6\%$ i $8\%$, totes amb la mateixa freqüència absoluta. El fons Beta ha obtingut rendibilitats del $4\%$, $5\%$, $5\%$ i $6\%$. Calcula la desviació típica de cada fons i explica, utilitzant el coeficient de variació, quin dels dos assumeix un risc relatiu més gran per cada unitat de rendibilitat obtinguda.

Per calcular la variància d'una distribució estadística hi ha dues expressions algebraicament equivalents:

• Mètode 1 (definició conceptual): $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 f_i}{N}$

• Mètode 2 (fórmula desenvolupada): $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2 f_i}{N} - \bar{x}^2$

Imagina que has de resoldre a mà i sense calculadora els dos casos següents:

• Cas $A$: Cinc mesuraments d'altíssima precisió presos en un laboratori: $1002$, $1003$, $1005$, $1006$ i $1009$ mm.

• Cas $B$: Una distribució de freqüències on la mitjana és fraccionària, $\bar{x} = \frac{10}{3} = 3,333\dots$, amb $N = 12$ observacions i on ja es disposa del càlcul acumulat $\sum x_i^2 f_i = 150$.

1. a) Raona quin mètode resulta molt més eficient i segur per al Cas $A$. Explica quines dificultats numèriques provocaria utilitzar l'altre mètode a mà.
2. b) Justifica quin mètode és l'idoni per al Cas $B$ i quin inconvenient d'arrodiment evitaries.
3. c) Aplica el mètode que has seleccionat a l'apartat a) per calcular la mitjana, la variància i la desviació típica del Cas $A$.

En un institut d'Educació Secundària, els dos grups de 4t d'ESO fan la mateixa prova comuna de Matemàtiques:

• Grup $4t\text{ A}$ ($N_A = 20$ alumnes): mitjana $\bar{x}_A = 6,0$ i desviació típica $\sigma_A = 1,0$.

• Grup $4t\text{ B}$ ($N_B = 30$ alumnes): mitjana $\bar{x}_B = 8,0$ i desviació típica $\sigma_B = 1,0$.

L'equip docent vol determinar la mitjana i la desviació típica globals del conjunt dels $50$ alumnes.

1. a) Una estudiant sosté: «Com que tots dos grups tenen idèntica desviació típica ($\sigma = 1,0$), la desviació típica del total dels $50$ alumnes ha de continuar sent $1,0$». Explica raonadament per què aquesta conclusió és incorrecta, identificant quin factor de dispersió sorgeix en fusionar dos grups amb mitjanes diferents que l'estudiant no ha tingut en compte.
2. b) Reconstrueix, a partir de les fórmules de la mitjana i la variància, la suma de les notes $\sum x_i$ i la suma dels quadrats de les notes $\sum x_i^2$ de cada classe.
3. c) Calcula la mitjana i la desviació típica de la totalitat dels $50$ estudiants. Compara el resultat obtingut amb la predicció de l'estudiant de l'apartat a).