Exercicis: Diagrames de caixa

S'han registrat les edats de 7 estudiants d'un taller de teatre: $12, 14, 15, 18, 20, 22, 25$.

Calcula el mínim, el primer quartil ($Q_1$), la mediana ($Me$), el tercer quartil ($Q_3$) i el màxim. Determina també el rang interquartílic ($IQR$).

Observa el diagrama de caixa següent que representa els punts anotats per un jugador de bàsquet en diversos partits.

Identifica els valors del resum dels cinc nombres (mínim, $Q_1$, mediana, $Q_3$, màxim) i calcula l'amplitud de la caixa (rang interquartílic).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un estudi sobre el pes de les motxilles escolars, s'ha obtingut que el primer quartil és $Q_1 = 4,5$ kg i el tercer quartil és $Q_3 = 7,2$ kg.

Calcula el rang interquartílic ($IQR$). Si el pes mínim registrat és de $2$ kg, quina és la longitud del bigoti esquerre en el diagrama de caixa?

Donada la llista següent de temperatures en graus Celsius registrades durant 8 dies, desordenades: $15, 12, 19, 14, 18, 10, 21, 16$.

Ordena les dades de menor a major i calcula el resum dels cinc nombres necessari per dibuixar un diagrama de caixa.

Respon a les preguntes conceptuals següents sobre un diagrama de caixa:

• Quin percentatge aproximat de les dades es troba dins de la caixa (entre $Q_1$ i $Q_3$)?

• Quin percentatge de les dades es troba en cadascun dels bigotis (assumint que no hi ha valors atípics)?

• Si la caixa és molt estreta, què indica sobre la dispersió de les dades centrals?

Un grup d'investigadors ha resumit l'alçària (en cm) d'una població de plantes amb els cinc nombres següents: Mínim = $110$, $Q_1 = 125$, $Me = 135$, $Q_3 = 142$, Màxim = $160$.

Dibuixa el diagrama de caixa corresponent a la teva llibreta indicant clarament l'escala utilitzada en l'eix horitzontal.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

S'ha mesurat el temps (en minuts) que triguen 9 persones a resoldre un trencaclosques: $10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 25, 30$.

Calcula la mediana i els quartils $Q_1$ i $Q_3$. El valor $30$ es considera un valor atípic segons la regla de $1,5 \cdot IQR$?

Indica si les afirmacions següents són veritables o falses, justificant la teva resposta en cada cas:

• La línia que marca la mediana sempre es troba exactament al centre geomèric de la caixa.

• Els dos bigotis d'un diagrama de caixa sempre tenen la mateixa longitud.

• El rang interquartílic no es veu afectat pels valors extrems (màxim i mínim).

En Marcos analitza les edats dels socis d'un club d'escacs juvenil. Després d'ordenar les dades, obté el resum de cinc nombres següent: $\text{Mínim} = 8$ anys, $Q_1 = 12$ anys, $\text{Mediana} = 15$ anys, $Q_3 = 18$ anys i $\text{Màxim} = 30$ anys.

Per comprovar si la persona de $30$ anys s'ha de considerar un valor atípic (outlier), en Marcos escriu al seu quadern:

«$RIC = 18 - 12 = 6$. Com que la mediana és $15$, el límit a partir del qual una dada és atípica és $\text{Mediana} + 1{,}5 \cdot RIC = 15 + 1{,}5 \cdot 6 = 15 + 9 = 24$. Com que $30 > 24$, l'edat de $30$ anys és un valor atípic.»

1. a) Localitza i explica l'error conceptual que ha comès en Marcos en la fórmula del límit superior.
2. b) Corregeix el càlcul aplicant el criteri adequat i determina quin és el límit superior real a partir del qual una edat es considera atípica en aquest grup. Es continua considerant $30$ un valor atípic després de la correcció?

En un control de velocitat en una travessera urbana limitada a $50\text{ km/h}$, la Policia Local anota les velocitats (en $\text{km/h}$) de $9$ vehicles infractors:

$$52,\; 53,\; 54,\; 55,\; 56,\; 58,\; 60,\; 85,\; 95$$

1. a) Estima sense calcular la mitjana: Observa la posició de la dada central i la distància a la qual queden els extrems respecte d'ella. Esperes que el diagrama de caixa sigui simètric o que presenti asimetria? A partir d'aquesta forma, raona si estimes que la mitjana aritmètica resultarà apreciablement més gran, més petita o igual que la mediana.
2. b) Comprova amb càlculs: Troba els cinc nombres del resum (mínim, $Q_1$, mediana, $Q_3$, màxim) i el rang interquartílic ($RIC$). Tot seguit, calcula la mitjana aritmètica exacta i comprova si confirma la teva estimació prèvia sobre l'asimetria.

El gràfic següent mostra els diagrames de caixa de les pulsacions per minut en repòs de dos grups d'atletes, A (corredors de fons) i B (aixecadors de peses).

A partir de l'observació dels gràfics, respon:

• Quin grup té una mediana menor?

• Quin grup presenta una dispersió més gran en el $50\%$ central de les seves dades?

• Calcula el rang interquartílic de tots dos grups i compara'ls.

S'ha preguntat a un grup de famílies pel nombre de mascotes que tenen, i s'ha obtingut la taula de freqüències següent:

• $0$ mascotes: $8$ famílies

• $1$ mascota: $12$ famílies

• $2$ mascotes: $10$ famílies

• $3$ mascotes: $6$ famílies

• $4$ mascotes: $4$ famílies

Calcula els quartils $Q_1$, $Me$ i $Q_3$ a partir de les freqüències acumulades i descriu detalladament com seria el diagrama de caixa corresponent.

En una distribució estadística, el primer quartil és $Q_1 = 40$ i el tercer quartil és $Q_3 = 64$.

Calcula el rang interquartílic ($IQR$). A continuació, determina els límits inferior i superior per identificar valors atípics (utilitzant la regla de $1,5 \cdot IQR$). Es consideraria el valor $105$ un valor atípic? I el valor $3$?

En una classe de 32 alumnes, el diagrama de caixa de les notes de l'examen final mostra que $Q_1 = 4$, $Me = 6$ i $Q_3 = 7,5$.

Sabent que no hi ha notes repetides que coincideixin exactament amb els quartils, quants alumnes aproximadament han obtingut una nota igual o inferior a $4$? Quants alumnes han obtingut una nota entre $4$ i $7,5$?

La taula següent mostra el temps (en hores) que un grup de joves dedica a la setmana a jugar a videojocs, agrupat en intervals:

• $[0, 5)$: $10$ joves

• $[5, 10)$: $25$ joves

• $[10, 15)$: $30$ joves

• $[15, 20)$: $15$ joves

Calcula la posició dels quartils $Q_1$, $Me$ i $Q_3$ interpolant en les classes corresponents.

Els salaris (en euros) de 5 empleats d'una empresa petita són: $1100, 1200, 1300, 1500, 2500$.

Calcula el resum dels cinc nombres. Si l'empleat que cobra $2500$ € rep un augment de $500$ € (passant a cobrar $3000$ €), com afecta això a la mediana i al rang interquartílic? Quin avantatge té el diagrama de caixa davant de la mitjana aritmètica en aquest cas?

Un diagrama de caixa té els valors següents: Mínim = $10$, $Q_1 = 15$, $Me = 18$, $Q_3 = 35$, Màxim = $40$.

Analitza l'asimetria de la distribució. Està esbiaixada cap a la dreta o cap a l'esquerra? Justifica la teva resposta comparant les distàncies entre els quartils i la mediana.

Les notes d'un examen sobre 10 punts tenen el resum següent: Mínim = $3$, $Q_1 = 5$, $Me = 6$, $Q_3 = 8$, Màxim = $10$.

El professor decideix transformar les notes multiplicant-les per $0,8$ i afegint-hi $2$ punts. Calcula el nou resum dels cinc nombres i el nou rang interquartílic.

El servei d'atenció al client d'una companyia de telecomunicacions registra el temps d'espera (en minuts) de $100$ usuaris en dos canals diferents:

• Canal telefònic: $\text{Mínim} = 1$, $Q_1 = 3$, $\text{Mediana} = 4$, $Q_3 = 5$, $\text{Màxim} = 45$. Mitjana $= 5{,}8\text{ min}$; Rang $= 44\text{ min}$; $RIC = 2\text{ min}$. (El màxim de $45$ es va deure a una caiguda puntual del sistema informàtic un dia concret).

• Canal xat web: $\text{Mínim} = 3$, $Q_1 = 6$, $\text{Mediana} = 8$, $Q_3 = 10$, $\text{Màxim} = 12$. Mitjana $= 7{,}9\text{ min}$; Rang $= 9\text{ min}$; $RIC = 4\text{ min}$.

La direcció debat quin mètode emprar per comparar la regularitat i la qualitat del servei:

• Mètode 1: Comparar la dispersió utilitzant el rang total ($\text{Màxim} - \text{Mínim}$).

• Mètode 2: Comparar la dispersió utilitzant el rang interquartílic ($RIC$) i la mediana.

1. a) Si l'empresa utilitzés el Mètode 1, quin canal semblaria molt més dispers i impredictible? Reflecteix aquesta conclusió l'experiència habitual del $50\,\%$ central dels usuaris?
2. b) Tria raonadament quin dels dos mètodes estadístics és més representatiu per valorar la qualitat quotidiana del servei i explica per què el $RIC$ resulta més robust davant d'incidències tècniques aïllades.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) registra durant $15$ dies de gener les següents temperatures mínimes (en graus Celsius) en una estació d'alta muntanya:

$$-12,\; -10,\; -9,\; -8,\; -6,\; -5,\; -4,\; -3,\; -2,\; -1,\; 0,\; 2,\; 3,\; 4,\; 18$$

1. a) Modela la distribució d'aquestes temperatures calculant el resum de cinc nombres (mínim, $Q_1$, $\text{Mediana}$, $Q_3$, màxim) i el rang interquartílic ($RIC$).
2. b) Determina mitjançant el criteri matemàtic de Tukey si el registre de $18\;^\circ\text{C}$ (produït per un episodi excepcional de vent càlid) s'ha de catalogar com a dada atípica. En vista del resultat, fins a quin valor numèric es dibuixaria el bigoti dret del diagrama de caixa?
3. c) Si es transformen totes les temperatures a l'escala Fahrenheit mitjançant la funció lineal $F = 1{,}8 \cdot C + 32$, calcula la nova mediana i el nou rang interquartílic ($RIC_F$) aplicant les propietats de les transformacions lineals, sense necessitat de convertir les $15$ dades una a una.

Enginyeria inversa. Crea un conjunt de dades format per 7 nombres enters que compleixi simultàniament les condicions següents per al seu diagrama de caixa:

• Mínim = $2$

• $Q_1 = 4$

• Mediana = $7$

• $Q_3 = 10$

• Màxim = $15$

Demostra pas a pas que el teu conjunt de dades compleix els valors requerits.

El següent histograma mostra la distribució de les edats dels visitants a un museu durant una tarda.

A partir de les freqüències representades a l'histograma, determina els intervals en què es troben el primer quartil ($Q_1$), la mediana ($Me$) i el tercer quartil ($Q_3$). Justifica els teus càlculs utilitzant les freqüències acumulades.

En una distribució estadística, els quartils vénen donats per expressions algebraiques en funció d'un paràmetre $x > 0$:

• $Q_1 = x$

• $Me = 2x + 1$

• $Q_3 = x^2 - 2$

Sabent que el rang interquartílic ($IQR$) és igual a $10$, planteja una equació, resol per trobar el valor de $x$, i calcula els valors numèrics de $Q_1$, $Me$ i $Q_3$.

En un diagrama de caixa, el bigoti dret és extremadament llarg en comparació amb el bigoti esquerre i la caixa. Per exemple: Mínim = $10$, $Q_1 = 20$, $Me = 25$, $Q_3 = 35$, Màxim = $120$.

Raona i justifica matemàticament si la mitjana aritmètica d'aquesta distribució serà més gran, més petita o aproximadament igual a la mediana. Per què passa això?

Es té un conjunt de dades format per 6 nombres: $4, 8, 10, 15, 20, y$.

Sabent que la mediana d'aquest conjunt de dades és $12$, troba el valor desconegut de $y$. Un cop trobat, calcula el primer i el tercer quartil, i determina si existeix cap valor atípic.

Demostra amb un contraexemple que un diagrama de caixa no és suficient per identificar si una distribució és bimodal (és a dir, si té dues modes o pics de freqüència).

Per fer-ho, inventa dos conjunts de dades de 8 elements cadascun: un que sigui clarament unimodal i un altre que sigui clarament bimodal, però de manera que tots dos tinguin exactament el mateix resum dels cinc nombres (Mínim, $Q_1$, $Me$, $Q_3$, Màxim).

Una empresa analitza el temps de vida (en hores) de dues marques de bombetes, A i B. Totes dues marques tenen la mateixa mediana ($Me = 1000$ h) i el mateix rang interquartílic ($IQR = 200$ h). Tanmateix, el rang total de la marca A és de $400$ h, mentre que el rang total de la marca B és de $1200$ h.

Quina informació ens aporta aquesta diferència en els rangs totals sobre la fiabilitat i la presència de valors atípics en totes dues marques? Quina de les dues marques consideraries més predictible i per què?

S'ha registrat el nombre de pulsacions per minut de 11 atletes després d'una cursa: $110, 115, 120, 122, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 200$.

Calcula el resum dels cinc nombres i identifica si el valor $200$ és un valor atípic utilitzant el criteri de $1,5 \cdot IQR$. Si eliminem aquest valor atípic del conjunt de dades, com varien la mitjana i la mediana? Quina mesura de centralització és més robusta davant d'aquest canvi?

Enginyeria inversa d'una distribució salarial. En un estudi sociològic es recopilen els salaris nets mensuals de $N = 10$ empleats d'una cooperativa, expressats en centenars d'euros i ordenats de menor a major: $x_1 \le x_2 \le \dots \le x_{10}$.

Construeix una sèrie numèrica de $10$ valors enters que compleixi simultàniament totes les condicions següents en el seu diagrama de caixa:

1. $\text{Mínim} = 10$ ($1000\text{ \euro}$).

2. $Q_1 = 13$ i $Q_3 = 19$. (Per a una mostra de $10$ dades ordenades, pren com a quartils la mediana de cada meitat: $Q_1 = x_3$ i $Q_3 = x_8$).

3. La mediana de la mostra és exactament $16$ ($1600\text{ \euro}$), però cap empleat de les posicions centrals cobra exactament aquesta quantitat ($x_5 \ne x_6$).

4. En la distribució hi ha exactament un valor atípic superior i cap valor atípic inferior.

Calcula de manera explícita les fronteres que delimiten les dades atípiques, proposa els $10$ valors numèrics $\{x_1, x_2, \dots, x_{10}\}$ i justifica pas a pas per què el teu conjunt satisfà cadascun dels requisits.

Dues línies d'autobús urbà (Línia A i Línia B) connecten l'estació de tren amb un campus universitari. A partir del registre de temps de trajecte (en minuts) durant tot el curs escolar, s'han traçat els seus diagrames de caixa, les dades característiques dels quals són:

• Línia A: $\text{Mínim} = 12$, $Q_1 = 18$, $\text{Mediana} = 25$, $Q_3 = 28$, $\text{Màxim} = 34$ (sense dades atípiques).

• Línia B: $\text{Mínim} = 15$, $Q_1 = 20$, $\text{Mediana} = 22$, $Q_3 = 24$, $\text{Màxim} = 42$ (amb una única dada atípica a $42$; l'últim valor no atípic on acaba el bigoti és $29$).

1. a) Un estudiant arriba a l'estació a les $8:30$ i el seu examen comença a les $9:00$ (disposa de $30$ minuts de marge). Dedueix a partir dels quartils quin percentatge dels viatges triga $28$ minuts o menys en la Línia A i quin percentatge triga $24$ minuts o menys en la Línia B. Quina línia li ofereix més garantia que com a mínim el $75\,\%$ de les vegades arribarà a temps?
2. b) Analitza l'asimetria de cada línia comparant les distàncies $(Me - Q_1)$ enfront de $(Q_3 - Me)$ i la longitud dels bigotis. Justifica en quina de les dues línies és previsible que la mitjana aritmètica sigui clarament inferior a la mediana.
3. c) Per agilitzar el trànsit s'habilita un carril reservat que redueix el temps de viatge segons la relació $t' = 0{,}8 \cdot t - 1$. Demostra de forma algebraica general que si una dada qualsevol $x$ era un valor atípic superior en la variable original $t$, el seu valor transformat $x'$ continuarà sent obligatòriament un valor atípic superior en la variable $t'$.