Exercicis: Funció logarítmica

Calcula el valor dels logaritmes següents aplicant directament la definició, sense utilitzar la calculadora:

a) $\log_2 32$

b) $\log_3 \frac{1}{9}$

c) $\log 10000$

Troba el valor de la incògnita $x$ en cadascuna de les igualtats següents utilitzant la definició de logaritme:

a) $\log_x 25 = 2$

b) $\log_5 x = 3$

c) $\log_2 64 = x$

Determina el domini de definició de les funcions logarítmiques següents:

a) $f(x) = \log(x - 5)$

b) $g(x) = \ln(2x + 8)$

Indica, raonant la teva resposta i sense necessitat de dibuixar-les, quines de les funcions següents són creixents i quines són decreixents:

a) $f(x) = \log_3 x$

b) $g(x) = \log_{0,5} x$

c) $h(x) = \ln x$

Utilitza la calculadora i la fórmula del canvi de base per trobar el valor de $\log_4 15$. Arrodoneix el resultat a tres xifres decimals.

Observa les gràfiques de les funcions logarítmiques representades a la imatge superior. Associa, justificant la teva resposta, la Funció A i la Funció B amb les seves expressions analítiques respectives:

1) $y = \log_2 x$

2) $y = \log_{1/2} x$

Sabent que, aproximadament, $\log 2 = 0,301$, calcula el valor de $\log 8$ utilitzant exclusivament les propietats dels logaritmes.

La Sofia està estudiant la funció $f(x) = \log_3(x - 2)$ per a un examen de 4t d'ESO i anota a la seva fitxa de repàs les tres conclusions següents:

1. «Com que no existeix el logaritme de nombres negatius ni del zero, el domini és $[2, +\infty)$, incloent-hi el $2$ perquè allà comença la corba».

2. «Com que la base és $a = 3$, que és un nombre més gran que $1$, la funció és decreixent i té una asímptota horitzontal a l'eix $X$».

3. «La gràfica talla l'eix d'ordenades (eix $Y$) en el punt $(0, -2)$».

Identifica detalladament l'error conceptual que comet la Sofia en cadascuna de les seves tres afirmacions i redacta la justificació matemàtica correcta. Finalment, determina de manera justificada el domini real de $f(x)$, l'equació de la seva asímptota vertical i les coordenades exactes del seu punt de tall amb l'eix $X$.

Considera la funció logarítmica bàsica $f(x) = \log_2 x$.

1. a) Sense fer servir la calculadora, estima entre quins dos nombres enters consecutius es troba el valor de $f(20)$. Justifica la teva deducció basant-te en les potències de base $2$ més properes a $20$ i en el fet que la funció sigui estrictament creixent.
2. b) Sabent que $2^{4{,}32} \approx 19{,}97$ i que $2^{4{,}33} \approx 20{,}11$, comprova la teva estimació anterior i acota el valor de $f(20)$ amb dues xifres decimals.
3. c) Observa que el nombre $20$ està numèricament més a prop de $16$ que de $32$ ($20 - 16 = 4$, mentre que $32 - 20 = 12$). Explica, a partir del creixement i la forma còncava de la gràfica del logaritme, per què el valor de $f(20)$ està tan proper a $f(16) = 4$ en comparació amb la distància que el separa de $f(32) = 5$.

Desenvolupa la següent expressió aplicant les propietats dels logaritmes (logaritme d'un producte, quocient i potència), de manera que quedin logaritmes de variables simples:

$\log \left( \frac{x^3 \cdot y^2}{\sqrt{z}} \right)$

Agrupa la següent expressió en un sol logaritme utilitzant les propietats dels logaritmes:

$2 \log a + \log b - 3 \log c$

Resol les equacions logarítmiques senzilles següents:

a) $\log(3x - 1) = \log(x + 7)$

b) $\log_2(x - 4) = 3$

Dada la funció $f(x) = \log_3(12 - 3x)$:

a) Determina el seu domini analíticament.

b) Indica quina és l'equació de la seva asímptota vertical.

c) Cap a quina direcció (esquerra o dreta) s'obre la gràfica d'aquesta funció respecte a la seva asímptota?

Un capital s'inverteix en un fons bancari que ofereix un interès compost anual. La fórmula que regeix el capital acumulat $C$ al llarg dels anys $t$ és $C = C_0 \cdot 1,04^t$, on $C_0$ és el capital inicial. Si s'inverteixen $2000$ euros, determina quants anys complets han de transcorrer perquè el capital superi els $3000$ euros. Utilitza logaritmes per aïllar la incògnita.

A partir de la gràfica de la funció $f(x)$ mostrada a dalt, que correspon a un logaritme desplaçat de la forma $f(x) = \log_a (x + b)$:

a) Indica el valor de $b$ observant l'asímptota vertical.

b) Utilitza el punt $B(1, 2)$ per calcular la base $a$ del logaritme.

c) Escriu l'expressió analítica completa de la funció.

La intensitat del so es mesura en decibels (dB) mitjançant una funció logarítmica. La fórmula és $d = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$, on $d$ són els decibels, $I$ és la intensitat del so i $I_0$ és la intensitat llindar d'audició (una constant). Aïlla la intensitat $I$ en funció dels decibels $d$ i $I_0$.

Sabent que $\log 2 = 0,301$ i $\log 3 = 0,477$, calcula el valor de $\log 12$ i de $\log 5$ utilitzant les propietats dels logaritmes, sense fer servir directament la tecla log de la calculadora per a aquests nombres. (Pista: recorda que $5 = \frac{10}{2}$).

Una funció logarítmica de la forma $f(x) = \log_a(x + b)$ té la seva asímptota vertical a la recta $x = -5$ i la seva gràfica passa pel punt $(11, 4)$.

1. a) Determina raonadament el valor del desplaçament horitzontal $b$ i el valor de la base $a$. A partir d'aquests valors, especifica el domini de $f(x)$ i raona si la funció és creixent o decreixent en tot el seu domini.
2. b) Recorda que la funció exponencial i la logarítmica són funcions inverses les gràfiques de les quals són simètriques respecte a la recta $y = x$. Dedueix l'expressió algebraica de la funció inversa $f^{-1}(x)$, indica el seu domini i el seu recorregut, i troba les coordenades del punt de tall de $f^{-1}(x)$ amb l'eix $Y$ a partir del punt de tall de $f(x)$ amb l'eix $X$.

La normativa espanyola sobre contaminació acústica avalua el nivell de pressió sonora en decibels ($\text{dB}$) mitjançant la funció:

on $I$ és la intensitat física de l'ona acústica en watts per metre quadrat ($\text{W/m}^2$) i $I_0 = 10^{-12}\text{ W/m}^2$ és el llindar auditiu humà de referència.

1. a) En una avinguda cèntrica de València, el trànsit dens registrava una intensitat d'$I_1 = 10^{-4}\text{ W/m}^2$. Després d'aplicar mesures de pacificació del trànsit a $30\text{ km/h}$ i carril bici, la intensitat va baixar a $I_2 = 10^{-6}\text{ W/m}^2$. Calcula el nivell de soroll en decibels abans i després de la intervenció.
2. b) Un portaveu veïnal declara: «Com que la intensitat de l'ona física s'ha reduït a la centèsima part ($100$ vegades menys), el nivell de decibels s'hauria d'haver dividit també entre $100$, passant de $80\text{ dB}$ a menys d'$1\text{ dB}$». Aplicant les propietats del logaritme d'un quocient o d'una potència, refuta amb rigor matemàtic l'afirmació del veí i demostra quants decibels disminueix exactament el nivell de soroll cada vegada que la intensitat física $I$ es divideix entre $10$.

Resol la següent equació logarítmica comprovant la validesa de les solucions obtingudes:

$\log(x + 2) + \log(x - 1) = 1$

Troba els valors de $x$ i $y$ que satisfan el següent sistema d'equacions no lineals:

$\begin{cases} x - y = 9 \\ \log x - \log y = 1 \end{cases}$

L'escala de Richter per mesurar la magnitud dels terratrèmols és logarítmica i es defineix com a $M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right)$, on $A$ és l'amplitud de l'ona sísmica i $A_0$ és una amplitud de referència.

Un terratrèmol a la ciutat Alfa va tenir una magnitud de $6$ en l'escala de Richter, i un altre a la ciutat Beta va tenir una magnitud de $8$. Quantes vegades va ser més gran l'amplitud de l'ona sísmica del terratrèmol de Beta en comparació amb el d'Alfa? Demostra el teu raonament matemàticament.

Determina el domini de definició de la funció $f(x) = \ln(x^2 - 4x - 5)$. Expressa el resultat en forma d'intervals.

La prova del carboni 14 s'utilitza per datar restes orgàniques antigues. La proporció de C-14 disminueix exponencialment com el temps segons la funció $P(t) = 100 \cdot 0,5^{\frac{t}{5730}}$, on $P$ és el percentatge de C-14 restant respecte a l'original i $t$ és el temps transcorregut en anys.

Si es descobreix un fòssil que conserva únicament el $15\%$ del seu carboni 14 original, quina és l'antiguitat estimada del fòssil? Expressa el resultat en anys i arrodoneix a la unitat.

La imatge mostra la gràfica de la funció exponencial $f(x) = e^x$ i la seva funció inversa $g(x)$.

a) Escriu l'expressió analítica de $g(x)$.

b) Explica el significat geomètric de la recta puntejada taronja $y = x$ en relació amb totes dues corbes.

c) Determina el domini i el recorregut de totes dues funcions, justificant com s'intercanvien entre una funció i la seva inversa.

Se sap que una funció logarítmica de la forma $f(x) = \log_a(x + b)$ passa per l'origen de coordenades $(0, 0)$ i pel punt $(6, 1)$.

Planteja un sistema d'equacions per trobar els valors dels paràmetres $a$ i $b$. Un cop trobats, escriu l'expressió analítica final de la funció i indica quina és la seva asímptota vertical.

En informàtica, el temps d'execució $T$ d'un determinat algorisme d'ordenació depèn de la quantitat de dades $n$ a processar, i segueix una funció del tipus $T(n) = k \cdot n \cdot \log_2 n$, on $k$ és una constant pròpia de l'ordinador.

Si en processar $n = 8$ dades l'ordinador triga $T = 24$ mil·lisegons:

a) Calcula el valor de la constant $k$.

b) Quant de temps trigarà el mateix ordinador a processar $n = 32$ dades?

Es vol esbrinar si les gràfiques de les funcions $f(x) = \log_2 x$ i la seva funció inversa $g(x) = 2^x$ tenen algun punt d'intersecció en el pla cartesià. Dos estudiants proposen estratègies oposades:

• Mètode algebraic (proposat per Hugo): Igualar ambdues expressions plantejant l'equació $\log_2 x = 2^x$, aplicar la definició de logaritme per escriure $x = 2^{(2^x)}$ i intentar aïllar algebraicament el valor de $x$ mitjançant operacions bàsiques de potències i arrels.

• Mètode geomètric i de propietats de la inversa (proposat per Irene): Recordar que les gràfiques de dues funcions inverses són simètriques respecte a la recta $y = x$. Irene afirma que si una funció creixent talla la seva inversa, necessàriament els seus punts comuns s'han de situar sobre la recta de simetria $y = x$. Per tant, en lloc de resoldre $\log_2 x = 2^x$, n'hi ha prou d'analitzar la posició relativa de $g(x) = 2^x$ respecte a la recta $y = x$ comparant els valors de $2^x$ i $x$ per a $x > 0$.

1. a) Avalua ambdós mètodes: explica per què l'intent purament algebraic d'Hugo és un atzucac al nivell de 4t d'ESO i descriu per què l'estratègia d'Irene és conceptualment adequada.
2. b) Aplica el raonament d'Irene: calcula els valors de $g(x) = 2^x$ i de la recta $y = x$ per als punts de prova $x = 0$, $x = 1$ i $x = 2$. A partir d'aquests valors i del creixement exponencial, justifica formalment si $f(x)$ i $g(x)$ s'arriben a tallar alguna vegada en el pla.

L'Institut Geogràfic Nacional (IGN) calibra la resposta d'un sensor sísmic mitjançant una funció logarítmica amb translació del tipus $f(x) = \log_a(x + b)$. Es coneixen les condicions tècniques següents sobre el seu comportament:

1. El sensor no pot registrar magnituds quan $x \le -3$, i la recta $x = -3$ és una asímptota vertical de la corba.

2. La funció és estrictament decreixent en tot el seu domini.

3. La gràfica de la seva funció inversa, $f^{-1}(x)$, conté el punt $(-1, 1)$.

1. a) Determina raonadament els paràmetres $b$ i $a$. Justifica per què la base $a$ ha de ser un nombre estrictament comprès entre $0$ i $1$ i formula explícitament les funcions $f(x)$ i $f^{-1}(x)$.
2. b) Descriu el comportament asimptòtic de $f(x)$: basant-te en la relació entre logaritmes i potències amb base compresa a $(0, 1)$, dedueix raonadament cap a quin valor tendeix $f(x)$ quan la variable $x$ s'aproxima a $-3$ per la dreta ($x \to -3^+$).
3. c) Troba les coordenades exactes dels punts de tall de $f(x)$ amb l'eix d'abscisses ($X$) i amb l'eix d'ordenades ($Y$).