Exercicis: Inequacions amb una incògnita

Resol la inequació de primer grau següent: $3(x - 2) + 4 \leq 5x - 8$. Expressa la solució en forma d'interval.

Resol la inequació amb denominadors: $\frac{x}{2} - \frac{x-1}{3} > 1$.

Troba els valors de $x$ que verifiquen la inequació de segon grau, la qual ja es presenta factoritzada: $(x - 4)(x + 2) < 0$.

Resol la inequació incompleta de segon grau següent i representa la seva solució a la recta real: $2x^2 - 18 \geq 0$.

Troba l'interval solució de la inequació de segon grau: $x^2 - 5x + 6 \leq 0$.

Resol el sistema d'inequacions amb una incògnita següent i expressa la solució com un únic interval:

$2x - 3 < 5$

$3x + 1 \geq -2$

Resol la inequació racional senzilla estudiant el signe del numerador i del denominador: $\frac{x-3}{x+1} \leq 0$.

La suma del doble d'un nombre natural i $5$ és estrictament menor que $17$. Planteja la inequació corresponent i troba tots els nombres naturals que la compleixen.

En Marcos està resolent la inequació racional $\frac{6}{x - 2} \leq 2$. Per eliminar el denominador, decideix multiplicar tots dos membres per $(x - 2)$, i obté $6 \leq 2(x - 2)$. Després d'operar, conclou que la solució és $x \geq 5$, és a dir, l'interval $[5, +\infty)$. a) Identifica l'error conceptual que comet en Marcos en el seu primer pas i explica per què no és lícit multiplicar tots dos membres d'una inequació per una expressió algebraica sense conèixer-ne el signe. b) Troba un contraexemple numèric (un valor de $x$) que verifiqui la inequació original però no pertanyi a la solució d'en Marcos. c) Resol la inequació de manera correcta passant tots els termes al primer membre, agrupant en una única fracció i estudiant els signes resultants.

Considera la inequació polinòmica de segon grau $x^2 - 2x - 8 < 0$. a) Abans de fer cap càlcul algebraic, estima el signe numèric del polinomi avaluant mentalment en valors senzills com ara $x = -3$, $x = 0$ i $x = 5$. Amb aquesta estimació, prediu raonadament si el conjunt solució serà un interval acotat de la forma $(a, b)$ o la unió de dues semirrectes infinites. b) Resol la inequació pas a pas mitjançant la descomposició factorial del polinomi i una taula de signes. c) Comprova si l'interval trobat coincideix amb la teva predicció inicial i raona si els valors frontera $x = -2$ i $x = 4$ formen part o no del conjunt solució.

Resol la inequació següent parant atenció als signes negatius davant de les fraccions: $\frac{2x - 1}{4} - \frac{3x + 2}{6} \geq \frac{x - 5}{3} - 1$.

Es vol construir un jardí rectangular de manera que la seva llargada sigui $4$ metres més gran que la seva amplada $x$. Si es disposa de prou adob per cobrir com a màxim $45 \text{ m}^2$, planteja una inequació i determina els possibles valors que pot prendre l'amplada $x$.

Una petita empresa d'artesania té unes despeses fixes mensuals de $300$ euros i produir cada polsera de cuir li costa $2$ euros. Si ven cada polsera a $5$ euros, quantes polseres ha de vendre com a mínim al mes per començar a obtenir beneficis? Planteja i resol la inequació.

Resol la inequació racional: $\frac{2x + 1}{x - 2} > 3$. Recorda passar tots els termes a un membre i operar per obtenir un únic quocient abans d'estudiar els signes.

Resol la inequació polinòmica de grau superior treient factor comú prèviament: $x^3 - 4x^2 - 5x \leq 0$.

Resol la inequació amb valor absolut i expressa la seva solució com a unió d'intervals: $|2x - 5| \geq 7$.

Un furgó de repartiment consumeix $8$ litres de combustible cada $100 \text{ km}$ a la carretera i $12$ litres cada $100 \text{ km}$ a la ciutat. Si en un trajecte de $500 \text{ km}$ en total ha consumit menys de $45$ litres, quants quilòmetres com a màxim ha pogut recórrer per ciutat?

Determina per a quins valors del paràmetre $k$ l'equació de segon grau $x^2 - kx + 9 = 0$ no té solucions reals. Planteja la inequació corresponent utilitzant el discriminant i resol-la.

Una estudiant universitària de València s'ha de desplaçar diàriament a la seva facultat utilitzant Metrovalencia. Per a la zona que recorre, se li presenten dues opcions tarifàries: Opció A, comprar bitllets senzills a $2,80$ € per cada trajecte; o Opció B, contractar un abonament mensual de viatges il·limitats per $36$ € al mes, al qual ha de sumar un pagament únic de $4$ € el primer mes per l'emissió física de la targeta personalitzada. a) Planteja una inequació de primer grau amb una incògnita que determini a partir de quants trajectes al mes l'Opció B resulta estrictament més barata que l'Opció A durant el primer mes d'ús. b) Resol la inequació i interpreta la solució indicant el nombre enter mínim de viatges necessaris per amortitzar l'abonament. c) Si el mes lectiu té 21 dies i fa 2 viatges diaris (anada i tornada), calcula quants diners estalvia mensualment amb l'opció més favorable respecte a l'altra.

Per resoldre la inequació amb valor absolut $|2x - 6| \leq 10$, es plantegen dues estratègies diferents: Via 1 (Mètode algebraic), transformar l'expressió en la doble desigualtat simultània $-10 \leq 2x - 6 \leq 10$ i aïllar $x$; i Via 2 (Interpretació geomètrica), extreure factor comú per escriure $2 \cdot |x - 3| \leq 10$, simplificar a $|x - 3| \leq 5$ i interpretar la distància al valor central $3$ sobre la recta real. a) Desenvolupa de manera explícita tots dos procediments i comprova que s'obté exactament el mateix interval solució. b) Justifica raonadament quin dels dos mètodes consideres més eficient i quin minimitza la probabilitat de cometre errors amb els signes. c) Explica com s'adaptaria el plantejament de cada via si la inequació fos estricta i de sentit oposat: $|2x - 6| > 10$.

Resol la inequació racional en la qual el numerador i el denominador són polinomis de segon grau: $\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 9} \leq 0$.

Resol el sistema d'inequacions següent i explica quina particularitat té el seu conjunt solució:

$x^2 - 4x + 4 \leq 0$

$2x - 1 > 0$

Es llança un coet d'aigua verticalment cap amunt en un experiment escolar. La seva altura $h$ en metres en funció del temps $t$ en segons ve donada per l'expressió $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Determina algebraicament durant quin interval de temps el coet estarà per sobre dels $17 \text{ m}$ d'altura.

Resol la inequació amb valor absolut que inclou expressions fraccionàries: $\left| \frac{3x - 1}{2} \right| < 4$.

Els beneficis mensuals d'una fàbrica de patinets elèctrics, expressats en milers d'euros, vénen donats per la funció $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 16x$, on $x$ representa el nombre de centenars de patinets fabricats. Quants patinets s'han de fabricar perquè l'empresa no tingui pèrdues (és a dir, perquè $B(x) \geq 0$)?

En un triangle isòsceles, els costats iguals mesuren $x \text{ cm}$ i el costat desigual mesura $10 \text{ cm}$. Perquè el triangle es pugui construir, la suma de les longituds de dos costats qualsevol ha de ser estrictament més gran que la longitud del tercer costat. A més, es vol que el seu perímetre no superi els $36 \text{ cm}$. Planteja un sistema d'inequacions i troba els possibles valors de $x$.

Estudia i resol el sistema següent format per una inequació de primer grau i una altra de segon grau:

$3x - 5 \leq x + 1$

$x^2 - 7x + 10 > 0$

Resol la inequació racional següent, fent les sumes algebraicament necessàries per expressar-la com un únic quocient abans d'estudiar els signes: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} \geq \frac{3}{4}$.

Es vol dissenyar una inequació racional amb una incògnita el conjunt exacte de solucions de la qual sigui $(-3, 2] \cup (5, +\infty)$. a) Construeix una inequació de la forma $\frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0$, on tant el numerador $P(x)$ com el denominador $Q(x)$ siguin polinomis factoritzats en binomis mònics de primer grau. Justifica pas a pas, recolzant-te en l'estudi de signes per trams, la posició de cada factor al numerador o al denominador. b) Explica detalladament per què els nombres $-3$ i $5$ han d'aparèixer amb interval obert (parèntesi) a la solució, mentre que el $2$ queda tancat (amb claudàtor). c) Sense refer tota la taula de signes, raona quina transformació elemental hauries d'aplicar a la teva inequació perquè la solució passi a ser $(-\infty, -3) \cup [2, 5)$.

Un fabricant de components d'automoció a Navarra dissenya un sensor tèrmic la resistència elèctrica de funcionament $R$ del qual (en ohms) depèn de la temperatura exterior $t$ (en graus Celsius) segons l'expressió $R(t) = t^2 - 2(k - 1)t + (k + 5)$, on $k$ és un paràmetre real de calibratge. Per estrictes normes de seguretat, el dispositiu només opera correctament si la resistència és estrictament positiva ($R(t) > 0$) per a qualsevol temperatura $t \in \mathbb{R}$. a) Interpreta la gràfica de $y = R(t)$ com una paràbola i dedueix quina condició geomètrica respecte a l'eix d'abscisses i quina condició algebraica sobre el seu discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ s'han de complir per garantir aquesta operativitat. b) Planteja i resol la inequació de segon grau en la incògnita $k$ resultant de la condició anterior, indicant l'interval de valors vàlids per al calibratge del sensor. c) Si a fàbrica es comet un error i s'ajusta el paràmetre a $k = 4$, justifica quina anomalia es produirà i determina a quina temperatura exacta $t$ el sensor deixarà de funcionar en anul·lar-se la seva resistència.