Exercicis: Altres tipus d'equacions

Resol la següent equació biquadrada fent el canvi de variable $x^2 = t$:

$x^4 - 10x^2 + 9 = 0$

Troba totes les solucions reals de la següent equació biquadrada incompleta treient factor comú:

$2x^4 - 32x^2 = 0$

Resol la següent equació racional multiplicant tots els termes per $x$ per eliminar el denominador:

$\frac{12}{x} = x - 4$

Troba el valor de $x$ que verifica la següent equació racional senzilla:

$\frac{x+3}{x-1} = 2$

Resol l'equació irracional aïllant el radical i elevant tots dos membres al quadrat:

$\sqrt{3x + 4} = 5$

Determina els valors de $x$ que compleixen la següent equació amb arrels. Recorda que has de comprovar les solucions al final per descartar possibles solucions falses:

$\sqrt{x + 2} = x$

Resol la següent equació exponencial expressant tots dos membres com a potències de la mateixa base:

$3^{2x-1} = 27$

Troba el valor de $x$ en l'equació logarítmica aplicant directament la definició de logaritme:

$\log_2(x + 5) = 3$

Daniel ha de resoldre a classe l'equació amb radicals $\sqrt{2x + 5} = x - 5$. Per eliminar l'arrel, eleva al quadrat tots dos membres i obté $2x + 5 = x^2 - 10x + 25$. Després de simplificar i passar tots els termes a un membre, arriba a $x^2 - 12x + 20 = 0$. Aplica la fórmula quadràtica i troba dues solucions: $x = 10$ i $x = 2$. Molt convençut, escriu al seu examen que totes dues són solucions de l'equació inicial.

1. a) Explica quina propietat lògica falla en elevar al quadrat tots dos membres d'una igualtat i per què aquest pas pot introduir «solucions falses».
2. b) Sense tornar a resoldre l'equació quadràtica, comprova numèricament els dos valors en l'equació original $\sqrt{2x + 5} = x - 5$ i indica quina és l'única solució vàlida, explicant per què s'ha de descartar l'altra.

Es vol construir una equació biquadrada de la forma $x^4 + bx^2 + c = 0$ que compleixi simultàniament dues condicions:

1. Les seves úniques solucions reals han de ser $x = 3$ i $x = -3$.

2. En aplicar el canvi de variable $t = x^2$, l'equació de segon grau resultant en la variable $t$ ha de tenir dues solucions reals diferents: $t_1$ i $t_2$.

1. a) Raona quin signe i quin valor numèric exacte ha de tenir una de les solucions de $t$, i quin signe ha de tenir obligatòriament l'altra solució perquè no aporti més arrels reals a la incògnita $x$.
2. b) Tria un valor numèric per a aquesta segona solució de $t$ i escriu l'equació biquadrada completa $x^4 + bx^2 + c = 0$ resultant, comprovant que compleix les condicions demanades.

L'àrea d'un rectangle és de $6 \text{ cm}^2$. Sabent que la seva base mesura $x^2 + 2$ cm i la seva altura $x^2 - 3$ cm, planteja una equació biquadrada per trobar el valor de $x$ (amb $x > 0$) i determina les dimensions reals del rectangle.

Un ciclista viatja a un poble veí a una velocitat de $20 \text{ km/h}$ i torna pel mateix camí a una velocitat de $x \text{ km/h}$. La velocitat mitjana de tot el trajecte d'anada i tornada ve donada per la fórmula $v_m = \frac{2 \cdot 20 \cdot x}{20 + x}$. Si la velocitat mitjana total ha estat de $24 \text{ km/h}$, planteja una equació racional i calcula la velocitat de tornada $x$.

La distància $d$ (en metres) que recorre un cotxe des que prem el fre fins que s'atura es pot aproximar amb la fórmula $d = \frac{v^2}{20}$, on $v$ és la velocitat en m/s. Si un cotxe deixa unes marques de frenada de $45$ m, a quina velocitat circulava?

El nombre de membres d'un servidor de Discord segueix la fórmula exponencial $N = 500 \cdot 2^{t/3}$, on $t$ és el temps transcorregut en mesos. Quants mesos han de transcorrer perquè el servidor assoleixi exactament els $4000$ membres?

El nivell d'intensitat sonora $L$ en decibels (dB) es calcula mitjançant l'expressió logarítmica $L = 10 \log\left(\frac{I}{10^{-12}}\right)$, on $I$ és la intensitat acústica en $\text{W/m}^2$. Calcula la intensitat $I$ d'un so produït pel trànsit intens, sabent que el seu nivell és de $80 \text{ dB}$.

Resol la següent equació biquadrada i indica clarament quines són les seves solucions reals i per què es descarten les altres:

$x^4 - 2x^2 - 8 = 0$

Resol la següent equació racional reduint a comú denominador. Para especial atenció a les possibles solucions que anul·lin algun denominador:

$\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$

Resol l'equació irracional aïllant una de les arrels i elevant al quadrat. Recorda comprovar la solució obtinguda:

$\sqrt{x+4} - \sqrt{x-1} = 1$

Considera l'equació racional $\frac{12}{x} - \frac{12}{x + 2} = 1$.

1. a) Abans d'operar, fes una estimació raonada per buscar una solució positiva $x > 0$:

• Si $x = 2$, calcula mentalment el valor de $\frac{12}{x} - \frac{12}{x + 2}$ i compara'l amb $1$.

• Si $x = 6$, calcula mentalment el valor d'aquesta mateixa expressió i compara'l amb $1$.

• A partir d'aquestes dues proves, dedueix i justifica entre quins dos nombres enters s'ha de trobar la solució positiva.

1. b) Resol formalment l'equació eliminant denominadors mitjançant el mínim comú múltiple, comprova si es confirma la teva estimació i determina totes les solucions reals de l'equació, assenyalant quins valors de $x$ estaven prohibits des del principi.

Per resoldre equacions exponencials se solen emprar dues estratègies principals: treure factor comú o fer un canvi de variable del tipus $u = a^x$. Observa aquestes dues equacions:

(1) $2^{x + 3} - 2^x = 56$

(2) $4^x - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

1. a) Resol l'equació (1) traient factor comú la potència $2^x$ al membre esquerre i justifica per què aquest camí és més directe que fer un canvi de variable.
2. b) Explica per què el mètode de treure factor comú no és aplicable de manera directa a l'equació (2) (parant atenció a la presència del terme independent i a les bases de les potències).
3. c) Resol l'equació (2) utilitzant el canvi de variable $u = 2^x$, indicant clarament les solucions finals per a la incògnita $x$.

La diagonal d'un marc rectangular de fusta mesura $\sqrt{10}$ cm. Si un dels seus costats mesura $x$ cm i l'altre mesura $\frac{3}{x}$ cm, planteja una equació racional, transforma-la en una equació biquadrada i calcula les dimensions del marc.

Un dipòsit d'aigua per a reg es pot omplir fent servir dues aixetes diferents. La primera aixeta triga $x$ hores a omplir-lo per si sola, i la segona aixeta, que té menys cabal, triga $x+3$ hores. Si s'obren les dues alhora, el dipòsit s'omple en exactament $2$ hores. Planteja una equació racional i determina quant triga cada aixeta per separat.

En una peça de xapa amb forma de triangle rectangle, un catet mesura $x$ cm, l'altre catet mesura $\sqrt{x+5}$ cm i la hipotenusa mesura $x+1$ cm. Planteja una equació irracional aplicant el teorema de Pitàgores, troba el valor de $x$ i calcula l'àrea de la peça.

El valor d'una inversió financera (en milers d'euros) segueix l'evolució $V(t) = 4^t - 6 \cdot 2^t + 10$, on $t$ és el temps en anys des de l'inici de la inversió. En quins instants $t$ el valor de la inversió és exactament de $2$ mil euros? (Pista: utilitza les propietats de les potències i fes el canvi de variable $u = 2^t$).

La magnitud d'un terratrèmol en l'escala de Richter ve donada per $M = \log(A) - \log(A_0)$, on $A$ és l'amplitud màxima de les ones sísmiques enregistrades i $A_0$ és una amplitud de referència estàndard. Si en un terratrèmol de magnitud $M_1 = 3$ l'amplitud va ser $A_1$, i en un altre terratrèmol més fort l'amplitud va ser $A_2 = 100 \cdot A_1$, quina va ser la magnitud $M_2$ d'aquest segon terratrèmol? Aplica les propietats dels logaritmes per demostrar-ho pas a pas.

Un grup d'amics lloga una casa rural per al cap de setmana per un total de $120$ €. A última hora s'apunten $2$ amics més al viatge, la qual cosa fa que cadascun dels que anaven a anar inicialment pagui $3$ € menys. Si $x$ és el nombre inicial d'amics, planteja una equació racional i esbrina quants amics van anar finalment a la casa rural.

Resol la següent equació irracional que involucra dos radicals. Hauràs d'elevar al quadrat dues vegades. Comprova les solucions obtingudes al final del procés:

$\sqrt{2x+3} - \sqrt{x-2} = 2$

Resol la següent equació logarítmica aplicant les propietats dels logaritmes (suma de logaritmes) i comprova el resultat per descartar solucions que generin arguments negatius:

$\log(x+2) + \log(x-1) = 1$

Un tren de mitjana distància de Renfe fa un trajecte d'anada i tornada entre dues ciutats separades per $60\text{ km}$. A l'anada, a causa d'una limitació temporal de velocitat per obres de manteniment a la via, el tren circula a una velocitat mitjana de $v - 20\text{ km/h}$, sent $v$ la seva velocitat mitjana habitual. En el trajecte de tornada, ja sense restriccions, circula a la seva velocitat habitual $v\text{ km/h}$. Se sap que el viatge d'anada va durar exactament 15 minuts ($0,25\text{ hores}$) més que el viatge de tornada.

1. a) Planteja una equació racional que modeli la situació a partir de la relació entre el temps, la distància i la velocitat, identificant el significat de cada terme i les restriccions que imposa la realitat física sobre el valor de $v$.
2. b) Resol l'equació per calcular el valor de la velocitat habitual $v$ i la velocitat real a la qual va circular en el trajecte d'anada.
3. c) Calcula el temps total que va estar el tren en moviment al llarg de tot el recorregut (anada i tornada), expressant el resultat en hores i minuts.

Es vol dissenyar una equació logarítmica de la forma $\log(x + a) + \log(x + 1) = \log(b)$, on $a$ i $b$ són constants reals fixades, de manera que passi el següent:

• En aplicar les propietats dels logaritmes i transformar la igualtat en una equació polinòmica de segon grau, les solucions algebraiques d'aquesta equació siguin exactament $x = 5$ i $x = -3$.

• Tanmateix, en comprovar en l'equació logarítmica original, el valor $x = -3$ ha de quedar descartat (perquè no pertany al domini de definició), de manera que $x = 5$ sigui l'única solució vàlida.

1. a) A partir de les relacions entre les arrels i els coeficients d'un polinomi quadràtic, dedueix els valors numèrics obligatoris de les constants $a$ i $b$.
2. b) Explica amb precisió l'aparent paradoxa: per què el valor $x = -3$ aconsegueix verificar l'equació polinòmica producte però resulta inadmissible en l'equació logarítmica de partida?
3. c) Comprova que, amb els valors d'$a$ i $b$ obtinguts, el valor $x = 5$ satisfà plenament l'equació logarítmica inicial.