Exercicis: Inequacions amb dues incògnites

Comprova quins dels punts següents són solució de la inequació $3x - 2y \le 6$:

• $A(0, 0)$

• $B(4, 1)$

• $C(2, -1)$

• $D(-2, -5)$

Escriu la inequació lineal amb dues incògnites la regió solució de la qual està representada en la gràfica següent. Tingues en compte si la línia de frontera és contínua o discontínua.

Representa gràficament al pla cartesià la regió solució de la inequació $x + 2y > 4$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Determina si els punts $P(1, 3)$, $Q(-1, 2)$ i $R(4, 0)$ pertanyen a la regió factible definida pel sistema d'inequacions següent:

$x + y \le 5$

$2x - y > -1$

Tradueix l'enunciat següent a una inequació lineal amb dues incògnites: "El triple del pes d'una caixa gran ($x$) més el doble del pes d'una caixa petita ($y$) no supera els $50$ kg".

Representa gràficament el sistema d'inequacions que defineix el quart quadrant del pla cartesià (on l'abscissa és positiva o nul·la i l'ordenada és negativa o nul·la).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Donada la inequació $4x - 5y < 20$, indica raonadament si els punts situats exactament sobre la recta $4x - 5y = 20$ formen part de la regió solució.

Escriu el sistema d'inequacions la solució del qual és la franja vertical compresa entre $x = -2$ i $x = 3$, incloent-hi totes dues fronteres.

La Lucía ha de resoldre la inequació $2x - y < 0$. En la seva llibreta escriu el següent:

«Pas 1: Dibuixo la recta contínua d'equació $2x - y = 0$.

Pas 2: Com que el punt $(0, 0)$ és el més fàcil de substituir, comprovo si compleix la desigualtat: $2\cdot 0 - 0 < 0 \implies 0 < 0$.

Pas 3: Com que $0 < 0$ és fals, ombrejo el semiplà en el qual no està el punt $(0, 0)$».

Identifica els dos errors conceptuals comesos per la Lucía, explica per què el seu raonament és incorrecte i descriu com s'ha de corregir l'exercici triant un punt de prova adequat.

Per determinar quin semiplà correspon a la solució de la inequació $y > -3x + 6$, dos companys de classe debaten sobre quin mètode emprar:

• En Carlos afirma: «Com que la variable $y$ ja està aïllada amb coeficient positiu i el signe és $>$, el semiplà solució està format obligatòriament per tots els punts situats per sobre de la recta, així que no cal comprovar cap punt».

• L'Alba respon: «És més segur fer servir sempre el punt $(0, 0)$, substituir-lo en la desigualtat original i ombrejar el costat corresponent segons si és certa o falsa».

1. a) Aplica tots dos mètodes per a aquesta inequació i comprova si condueixen a la mateixa regió.
2. b) Analitza què passaria amb el mètode directe d'en Carlos si la inequació de partida fos $-2y > 6x - 12$. Quina precaució matemàtica obligatòria exigeix el seu mètode enfront de l'aparent seguretat del mètode del punt de prova?

Per organitzar una festa, es compren ampolles de refresc a $2$ € cadascuna i bosses d'aperitius a $3$ € cadascuna. Si el pressupost màxim és de $30$ € i es vol comprar almenys una unitat de cada producte, planteja el sistema d'inequacions corresponent i dóna dues possibles combinacions de compra vàlides.

Troba el sistema d'inequacions que defineix la regió ombrada en la gràfica següent:

Representa gràficament la regió factible determinada pel sistema d'inequacions següent:

$2x + y \le 6$

$x - y \ge -1$

$y \ge 0$

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un examen de $20$ preguntes, cada encert suma $2$ punts i cada error resta $1$ punt. Si per aprovar es necessita obtenir almenys $15$ punts, planteja la inequació que relaciona el nombre d'encerts ($x$) i el nombre d'errors ($y$). Tenint en compte que $x \ge 0$, $y \ge 0$ i $x+y \le 20$, representa gràficament la regió de possibles combinacions per aprovar.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Representa el sistema d'inequacions següent i descriu amb paraules la forma geomètrica de la regió solució:

$3x - y > 2$

$3x - y < 6$

Un taller fabrica bicicletes i tricicles. Cada bicicleta requereix $2$ rodes i cada tricicle $3$ rodes. A magatzem queden $60$ rodes. A més, es sap que el nombre de bicicletes fabricades ha de ser almenys el doble que el de tricicles. Planteja el sistema d'inequacions que modelitza aquesta situació.

Troba els valors del paràmetre $k$ per als quals el punt $A(-1, 4)$ pertany a la regió solució de la inequació $kx - 2y \le 3$.

Representa gràficament la solució de la inequació de segon grau amb dues incògnites $y \ge x^2 - 4x + 3$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un centre esportiu municipal ofereix abonaments mensuals que combinen sessions de natació ($x$, a $4$ € cadascuna) i sessions de sala de força ($y$, a $6$ € cadascuna). L'abonament exigeix no superar un pressupost mensual de $48$ € ($4x + 6y \le 48$), assistir com a mínim a $3$ sessions de natació ($x \ge 3$) i realitzar almenys $2$ sessions de força ($y \ge 2$).

1. a) Abans de calcular res, estima de manera intuïtiva si un usuari podria contractar $7$ sessions de natació i $4$ sessions de força amb aquest abonament. Justifica la teva predicció.
2. b) Comprova algebraicament si la combinació estimada $(7, 4)$ pertany a la regió factible.
3. c) Calcula analíticament les coordenades dels tres vèrtexs del polígon que delimita la regió factible i determina quin és el nombre màxim de sessions totals (natació més força) que permet gaudir aquest abonament.

Una regió del pla forma un trapezi tancat els vèrtexs del qual són els punts $A(1, 1)$, $B(5, 1)$, $C(4, 4)$ i $D(1, 4)$, estant inclosos tant els seus quatre costats com tota l'àrea interior.

1. a) Obtén l'equació de cadascuna de les quatre rectes que formen els costats del trapezi.
2. b) Escriu el sistema d'inequacions lineals amb dues incògnites la solució gràfica del qual sigui exactament aquest recinte.
3. c) Utilitza un punt interior clar (per exemple, el punt $(2, 2)$) per justificar de manera analítica per què has seleccionat el sentit de la desigualtat en cadascuna de les quatre inequacions.

Una empresa de transport disposa de camions de tipus A (capacitat de $3$ tones) i camions de tipus B (capacitat de $5$ tones). Necessiten transportar almenys $45$ tones de mercaderia. Per restriccions de personal, no poden usar més de $12$ camions en total. Planteja el sistema d'inequacions i comprova analíticament si és possible realitzar el transport usant $4$ camions del tipus A i $7$ del tipus B.

Determina el sistema d'inequacions que defineix la regió delimitada mostrada en la figura següent:

Representa gràficament la regió del pla definida pel sistema mixt següent (una inequació quadràtica i una de lineal):

$y \le -x^2 + 2x + 3$

$x - y \le 1$

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una granja es crien gallines i porcs. Es sap que el nombre màxim d'animals que pot albergar la granja és de $100$. A més, per qüestions de rendibilitat, la quantitat de porcs no pot superar la tercera part de la quantitat de gallines, i hi ha d'haver almenys $10$ porcs. Planteja el sistema d'inequacions i representa'l gràficament per trobar la regió de possibles combinacions.

Donat el sistema d'inequacions:

$x + 2y \le 7$

$ax - y \ge 1$

Calcula el valor del paràmetre $a$ perquè el punt $P(3, 2)$ sigui un vèrtex de la regió factible (és a dir, es trobi exactament en la intersecció de les dues rectes frontera).

Un agricultor vol plantar tomàquets i pebrots en una parcel·la de $500 \text{ m}^2$. Per cada metre quadrat de tomàquets necessita $4$ litres d'aigua a la setmana, i per cada metre quadrat de pebrots necessita $3$ litres. Disposa d'un dipòsit que li proporciona com a màxim $1800$ litres setmanals. Si per motius comercials ha de dedicar almenys $100 \text{ m}^2$ als tomàquets i almenys $50 \text{ m}^2$ als pebrots, planteja el sistema d'inequacions i esbrina si pot plantar $250 \text{ m}^2$ de cada hortalissa.

Escriu un sistema d'inequacions la solució del qual sigui un quadrat perfecte centrat en l'origen de coordenades, de costat $4$ unitats, amb els seus costats paral·lels als eixos cartesians, i on els punts dels vora estiguin inclosos.

Resol gràficament el sistema següent i troba analíticament les coordenades dels vèrtexs de la regió factible:

$y \le 2x + 2$

$y \le -x + 5$

$y \ge 1$

Una cooperativa oliera de Jaén comercialitza dos formats d'oli d'oliva verge extra: garrafes familiars de $5$ litres ($x$) i ampolles gourmet d'$1$ litre ($y$). Per a la campanya nadalenca s'estableixen les restriccions operatives següents:

• El volum total d'oli destinat a aquests dos formats no pot superar els $1\,500$ litres.

• Per limitacions de subministrament de vidre, només es disposa de material per envasar com a màxim $600$ ampolles gourmet.

• Per garantir la rendibilitat, el volum total envasat en garrafes ha de ser, almenys, el triple que el volum total envasat en ampolles gourmet.

• S'exigeix preparar almenys una garrafa ($x \ge 1$) i almenys una ampolla ($y \ge 1$).

1. a) Modela el problema mitjançant un sistema d'inequacions lineals amb dues incògnites, prestant una atenció especial a com expressar algebraicament la condició que compara els volums envasats.
2. b) Determina analíticament els vèrtexs de la regió factible i indica raonadament si es tracta d'un recinte acotat o no acotat.
3. c) Comprova si la cooperativa pot atendre íntegrament una comanda de $220$ garrafes i $350$ ampolles gourmet respectant tots els criteris anteriors.

La claraboia superior d'un hivernacle es dissenya en un pla cartesià (amb mesures en metres) mitjançant una regió envidrada compresa entre una corba parabòlica i una biga recta:

1. La vora superior és una paràbola amb vèrtex a $(0, 4)$ que talla l'eix horitzontal a $(-2, 0)$ i $(2, 0)$. El marc d'aquesta paràbola sí que forma part de la zona envidrada.

2. La vora inferior és una recta que uneix els punts $(-2, 0)$ i $(1, 3)$, però per motius de dilatació estructural, aquesta línia divisòria no inclou el vidre (frontera discontínua).

3. La zona transparent se situa estrictament per sobre d'aquesta recta i per sota o sobre la paràbola.

1. a) Dedueix algebraicament l'equació de la paràbola $y = ax^2 + c$ i l'equació explícita de la recta frontera.
2. b) Escriu el sistema d'inequacions que delimita la zona amb vidre, diferenciant amb precisió els símbols de desigualtat estricta i no estricta.
3. c) Esbrina analíticament els dos punts de tall on s'uneixen totes dues fronteres i raona formalment si el punt $(0, 2)$ pertany o no a la zona envidrada.

Repte del tema. Converteix-te en auditor energètic de casa teva!

Fase 1. Dades reals: Agafa l'última factura de la llum de casa teva (o consulta el preu mitjà del kWh al web de REE). Anota el cost fix per potència contractada, el preu del kWh i la despesa total.

Fase 2. Modelització:

1. Planteja i resol un sistema lineal per calcular el consum exacte en franja punta i vall coneixent l'import del consum d'energia (despesa total menys costos fixos) i la relació entre tots dos consums.

2. Modela el cost mitjà unitari mitjançant una equació racional del tipus $y = \frac{k}{x} + c$ i calcula, resolent una inequació amb una incògnita, a partir de quin consum $x$ el cost mitjà baixa d'un llindar fixat.

3. Planteja una inequació amb dues incògnites que limiti l'ús de dos electrodomèstics per no superar una despesa extra de $25,5$ €. Representa a GeoGebra la regió factible.

Fase 3. Proposta: Resol un problema amb una equació de segon grau que determini les dimensions d'una placa solar rectangular la llargària de la qual superi en $0,5$ m l'amplària, cobrint una superfície mínima de $1,5$ m². Reuneix-ho tot en un informe breu amb les teves captures de GeoGebra i conclusions d'estalvi.

Es valorarà:

• Correcció analítica en resoldre les equacions, inequacions i sistemes.

• Rigor en l'ús de dades reals i precisió de la regió factible a GeoGebra.

• Coherència i justificació de la proposta d'estalvi a l'informe final.