Exercicis: Repartiments

Reparteix la quantitat de $450$ € de manera directament proporcional als nombres $2$, $3$ i $4$.

Divideix el nombre $300$ en parts inversament proporcionals a $2$ i $3$.

En un repartiment directament proporcional a les quantitats $3$, $5$ i $7$, a la primera persona li corresponen $120$ €. Calcula la quantitat total que s'ha repartit i el que reben les altres dues persones.

Reparteix $330$ punts de manera inversament proporcional a $1$, $2$ i $3$.

Fes el repartiment de $620$ accions de manera directament proporcional a les fraccions $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ i $\frac{1}{5}$.

Es reparteixen $130$ € de manera inversament proporcional als nombres $2$, $3$ i $4$. Quant correspon a la part associada al nombre $4$?

Un avi decideix repartir $120$ € entre els seus tres nets de $8$, $10$ i $12$ anys de manera directament proporcional a les seves edats. Determina la quantitat de diners que rep cadascun.

En un concurs escolar es reparteixen $190$ punts extra de manera inversament proporcional al nombre d'errades comeses. Si els tres finalistes van tenir $1$, $3$ i $4$ errades respectivament, calcula els punts que obté cada alumne.

L'Hugo, la Sara i el Leo han obtingut $2$, $3$ i $6$ faltes de puntualitat durant el trimestre escolar. Per premiar el compromís de final de curs, el tutor decideix repartir $720$ punts de convivència de manera inversament proporcional a les faltes comeses per cadascun.

L'Hugo proposa el següent: «Com que és un repartiment invers, al qui té menys faltes li correspon el coeficient més alt del grup, i al qui en té més, el més baix; per tant, els coeficients de repartiment han de ser $6$ per a mi, $3$ per a la Sara i $2$ per al Leo. Sumem $6 + 3 + 2 = 11$, calculem la constant i repartim».

1. a) Demostra raonadament per què l'assignació de coeficients que proposa l'Hugo és conceptualment incorrecta (compara la proporció entre les parts de l'Hugo i la Sara segons la seva proposta amb la proporció inversa real). Explica quin error típic ha comès.
2. b) Corregeix el plantejament: escriu els coeficients correctes, calcula la constant de proporcionalitat i determina quants punts corresponen a cada alumne. Comprova que la suma de les parts coincideix amb el total.

Tres estudiants universitaris, Álex, Blanca i Carlos, comparteixen un pis a València i reben una factura d'electricitat i gas de $210$ € corresponent al mes de juliol. Com que han passat setmanes fora, acorden pagar de manera directament proporcional als dies que ha romàs cadascun a l'habitatge: Álex hi va estar $10$ dies, Blanca $20$ dies i Carlos hi va estar el mes complet ($30$ dies).

1. a) Abans de fer cap càlcul numèric:

• Estima si Carlos pagarà més, menys o exactament la meitat de la factura total. Justifica la teva estimació analitzant la fracció de dies que Carlos va gaudir respecte a la suma total de dies registrats.

• Dedueix raonadament quina relació exacta existirà entre l'import que pagarà Álex i el que pagarà Blanca.

1. b) Fes el repartiment calculant la constant de proporcionalitat directa $k$ i l'import exacte assignat a cada company.
2. c) Comprova si els imports obtinguts confirmen les teves estimacions de l'apartat a) i verifica la validesa del repartiment sumant les tres parts.

Tres socis, Nerea, Beatriz i Santiago, inverteixen $15000$ €, $20000$ € i $25000$ € respectivament per obrir un negoci. Al cap d'un any, l'empresa genera un benefici net de $14400$ €. Calcula quina quantitat dels beneficis correspon a cada soci si el repartiment es fa de manera directament proporcional al capital invertit.

En una competició d'atletisme, l'organització reparteix un premi de $3400$ € de manera inversament proporcional al temps que han trigat els tres primers classificats a arribar a la meta. Si han creuat la línia de meta en $12$, $15$ i $20$ minuts respectivament, determina el premi econòmic que s'emporta cada corredor.

Quatre operaris treballen pintant un edifici. El primer treballa $5$ dies a raó de $6$ hores diàries; el segon, $4$ dies a $8$ hores diàries; el tercer, $6$ dies a $5$ hores diàries i el quart, $3$ dies a $10$ hores diàries. Si cobren en total $3680$ € i decideixen repartir-ho de manera directament proporcional al total d'hores treballades per cadascun, troba quant cobrarà cada operari.

S'ha repartit una quantitat de diners de manera inversament proporcional a les edats de tres germans, que són $10$, $15$ i $20$ anys. Si es sap que al germà de $15$ anys li han correspost $400$ €, troba la quantitat total que s'ha repartit i el que reben els altres dos germans.

Una herència es reparteix de manera directament proporcional als nombres $4$, $7$ i $9$. Sabent que l'hereu que rep la part més gran obté $3500$ € més que el que rep la part més petita, calcula el valor total de l'herència i la quantitat assignada a cadascuna de les tres parts.

En un experiment de laboratori s'ha de repartir una mostra de $145$ grams d'un compost químic entre tres recipients de manera inversament proporcional a les temperatures a les quals es troben. Les temperatures són $\frac{1}{2}$ ºC, $\frac{2}{3}$ ºC i $\frac{3}{4}$ ºC. Calcula la quantitat exacta de compost que es dipositarà en cada recipient.

Per dur a terme la reforestació d'un parc natural, tres municipis aporten diferents grups de voluntaris. El municipi A aporta $45$ voluntaris; el B, $60$ voluntaris; i el C, $75$ voluntaris. El govern regional els concedeix una subvenció total de $10800$ € destinada a la compra de material, a repartir de manera directament proporcional al nombre de voluntaris aportats. Quina quantitat rep cada municipi?

Un bo de productivitat de $2530$ € es reparteix entre tres empleats d'una fàbrica. El repartiment es fa de manera directament proporcional als anys d'antiguitat a l'empresa ($4$, $5$ i $8$ anys) i inversament proporcional al nombre de dies d'absència durant l'any ($2$, $3$ i $4$ dies). Calcula la bonificació que rep cadascun dels empleats.

Una dotació municipal de $4550$ € per a projectes escolars de sostenibilitat es reparteix entre tres col·legis de manera inversament proporcional al temps (en hores) que triga el seu sistema automatitzat a classificar un lot de residus: el col·legi A triga $\dfrac{3}{4}\text{ h}$, el col·legi B triga $\dfrac{1}{2}\text{ h}$ i el col·legi C triga $\dfrac{2}{5}\text{ h}$.

Per resoldre aquest repartiment amb coeficients fraccionaris hi ha dos procediments habituals:

• Mètode 1: Utilitzar directament les fraccions inverses ($\dfrac{4}{3}$, $2$ i $\dfrac{5}{2}$), sumar-les trobant el comú denominador per obtenir la constant $k$ i multiplicar cada fracció per $k$.

• Mètode 2: Multiplicar prèviament tots els inversos pel mínim comú múltiple dels seus denominadors ($\text{mcm}(3, 2) = 6$) per transformar-los en nombres enters equivalents, i fer després un repartiment directament proporcional a aquests enters.

1. a) Resol el repartiment aplicant pas a pas el Mètode 2 i calcula quants diners rep cada col·legi.
2. b) Justifica formalment per què el Mètode 2 és vàlid (és a dir, per què multiplicar tots els coeficients per una constant positiva no altera les proporcions ni els diners finals assignats a cada centre).
3. c) Explica raonadament per què, en resoldre problemes sense calculadora, el Mètode 2 sol minimitzar la probabilitat de cometre errors de càlcul respecte al Mètode 1.

La Diputació Provincial assigna un fons extraordinari de $98000$ € del Pla de Prevenció d'Incendis Forestals entre tres municipis ($A$, $B$ i $C$). La comissió tècnica estableix un repartiment compost:

• Directament proporcional a la superfície forestal del terme municipal: el municipi $A$ compta amb $1200\text{ ha}$, el $B$ amb $1800\text{ ha}$ i el $C$ amb $3000\text{ ha}$.

• Inversament proporcional al nombre de brigadistes professionals contractats prèviament per cada ajuntament (amb la finalitat de compensar els municipis amb menys personal propi): $A$ té $2$ brigadistes, $B$ en té $4$ i $C$ en té $5$.

1. a) Modelitza el problema: calcula el coeficient ponderat de cada municipi combinant ambdós criteris i simplifica la relació a nombres enters tan reduïts com sigui possible.
2. b) Troba la constant de proporcionalitat i la quantitat econòmica que li correspon a cada municipi.
3. c) Interpreta el resultat: el municipi $C$ té $2,5$ vegades més superfície forestal que el municipi $A$; tanmateix, rep $2,5$ vegades més diners? Explica matemàticament com influeix la variable de personal en aquesta compensació territorial.

Es reparteix una quantitat total de $74$ de manera inversament proporcional a tres nombres enters positius consecutius: $x$, $x+1$ i $x+2$. Sabent que la constant de proporcionalitat inversa del repartiment és $k = 120$:

1. a) Planteja l'equació corresponent i troba els tres nombres enters.
2. b) Determina el valor de cadascuna de les tres parts obtingudes en el repartiment.

Un premi de $6000$ € es repartirà entre tres ciclistes en acabar una gran volta. Les bases estableixen que el repartiment es farà de manera directament proporcional al nombre d'etapes guanyades ($3$, $4$ i $5$ etapes) i inversament proporcional al nombre de caigudes tingudes ($1$, $2$ i $x$ caigudes). Si el ciclista que va guanyar $4$ etapes i va patir $2$ caigudes va rebre exactament $2000$ €, determina el nombre de caigudes $x$ del tercer ciclista i la quantitat de diners que va cobrar.

Un terreny de forma triangular es divideix en tres parcel·les traçant línies rectes des d'un punt interior $P$ cap als tres vèrtexs. Les àrees de les tres parcel·les resultants ($S_1$, $S_2$ i $S_3$) són directament proporcionals als nombres $3$, $4$ i $5$. Si el terreny té una àrea total de $2400$ m$^2$ i es ven a un preu de $15$ €/m$^2$, calcula el valor econòmic de cadascuna de les tres parcel·les.

Una àvia vol repartir $4200$ € entre els seus tres nets de $10$, $12$ i $15$ anys. Dubta entre fer-ho de manera directament proporcional a les seves edats o de manera inversament proporcional a aquestes. Calcula quant rebria cada net en totes dues modalitats i indica quin net experimenta la diferència absoluta de diners més gran entre un mètode i l'altre.

S'ha repartit una quantitat de $8700$ € de manera inversament proporcional a tres nombres desconeguts $A$, $B$ i $C$. Les quantitats rebudes han estat $4000$ €, $3000$ € i $1700$ € respectivament. Sabent que el menor dels tres nombres originals és $51$, determina el valor dels altres dos nombres.

Una empresa tecnològica reparteix $50000$ € de beneficis entre tres departaments en dues fases. En la primera fase, el $40$% del total es reparteix de manera directament proporcional a les hores extres treballades: $120$, $150$ i $130$ hores. En la segona fase, el $60$% restant es reparteix de manera inversament proporcional al nombre d'incidències tècniques reportades: $2$, $4$ i $5$ incidències. Calcula el benefici total final que rep cadascun dels tres departaments sumant totes dues fases.

Reparteix l'expressió algebraica $N = 6x^2 + 8x$ de manera directament proporcional a les expressions $x$, $x+1$ i $x+3$. Expressa les tres parts resultants en funció de $x$ i simplifica al màxim els polinomis obtinguts.

Tres canonades diferents omplen un dipòsit industrial. La primera triga $a$ hores, la segona $b$ hores i la tercera $c$ hores. Es sap que els temps $a$, $b$ i $c$ són directament proporcionals als nombres $2$, $3$ i $4$. Els costos de manteniment de les canonades ascendeixen a $1300$ € i es decideix repartir-los de manera inversament proporcional al temps que triga cadascuna a omplir el dipòsit. Troba quant s'ha de pagar de manteniment per cada canonada.

En un certamen autonòmic de projectes tecnològics es reparteix un premi total de $3500$ € entre els tres equips finalistes de manera inversament proporcional a la posició final obtinguda: $1.^{\text{er}}$ lloc, $2.^{\text{n}}$ lloc i $n$-èsim lloc ($1$, $2$ i $n$, amb $n \in \mathbb{N}$ i $n > 2$).

Després d'aplicar el repartiment reglamentari, l'organització constata que l'equip classificat en primera posició ha rebut exactament $1500$ € més que l'equip classificat en la $n$-èsima posició.

1. a) Planteja una equació en funció de la incògnita $n$ a partir de l'expressió algebraica de cada part, del total repartit i de la diferència entre el primer i l'últim classificat.
2. b) Resol l'equació i dedueix de manera justificada en quina posició ($n$) va quedar el tercer equip classificat.
3. c) Amb el valor obtingut de $n$, calcula la quantitat assignada al segon classificat i comprova amb rigor que la suma de les tres parts coincideix amb el total de $3500$ €.

Una comunitat de regants de la vall del Guadalquivir ha de distribuir el cost mensual de manteniment i bombament solar ($7800$ €) entre tres explotacions agrícoles ($A$, $B$ i $C$).

Inicialment s'utilitzava un repartiment directament proporcional al volum d'aigua consumida en el mes: $A$ va consumir $15000\text{ m}^3$, $B$ va consumir $25000\text{ m}^3$ i $C$ va consumir $20000\text{ m}^3$.

Per fomentar l'ús eficient de l'aigua, l'assemblea aprova substituir-lo per un repartiment compost: directament proporcional al volum consumit i inversament proporcional a l'índex d'eficiència del sistema de reg instal·lat ($E_A = 0,75$; $E_B = 0,50$; $E_C = 0,40$, on els índexs estan normalitzats entre $0$ i $1$).

1. a) Modelitza ambdós escenaris: calcula quant pagava cada explotació amb el criteri inicial i quant passa a pagar amb el repartiment compost per eficiència.
2. b) Justifica quina explotació experimenta una pujada percentual més gran respecte a la seva factura inicial i raona la causa matemàtica d'aquest increment.
3. c) L'explotació $C$ planeja modernitzar la seva tecnologia perquè, mantenint el seu consum de $20000\text{ m}^3$ i assumint que $A$ i $B$ no canvien les seves dades, la seva quota mensual no superi els $2600$ € (el que pagava amb el criteri inicial). Planteja una inequació amb incògnita $E_C$ i calcula l'índex mínim d'eficiència que ha d'assolir. És tècnicament viable considerant que l'eficiència màxima possible és $1$?