Exercicis: Interès dels diners simple i compost

Calcula l'interès simple que produeix un capital de $3000$ € invertit al $4\%$ anual durant $5$ anys. Quin serà el capital final en acabar aquest període?

Un banc concedeix un préstec de $1500$ € al $6\%$ d'interès simple anual. Si el préstec es retorna en un termini de $8$ mesos, determina la quantitat total que s'ha de pagar al banc en concepte d'interessos.

Calcula el capital final que s'obté en dipositar $5000$ € en un compte d'estalvi que ofereix un $3\%$ d'interès compost anual durant $4$ anys.

Troba el capital inicial que es va invertir a un interès simple del $5\%$ anual si al cap de $3$ anys va generar uns beneficis de $450$ €.

Una motocicleta nova té un preu de $4000$ €. Si perd un $10\%$ del seu valor cada any que passa, calcula quin serà el seu valor exacte al cap de $3$ anys.

Un capital de $2000$ € s'ha convertit en $2240$ € després de restar invertit durant $4$ anys a interès simple. Troba el tipus d'interès anual que s'hi ha aplicat.

La bateria d'un mòbil perd un $15\%$ de la seva càrrega per cada hora de joc. Si comences a jugar amb el $100\%$ de càrrega, determina quin percentatge de bateria quedarà al cap de $5$ hores.

Calcula l'interès simple que generen $10000$ € invertits al $2,5\%$ anual durant $146$ dies. Considera que un any té $365$ dies per fer els càlculs.

En Marcos vol calcular el capital final que obtindrà després de dipositar $4000$ € durant $3$ anys en un compte a termini fix amb un interès compost del $2,5\%$ anual. Al seu examen escriu el desenvolupament següent:

1. a) Explica quin és l'error conceptual que ha comès en Marcos i quin tipus de creixement dels diners ha suposat en el seu plantejament.
2. b) Escriu la fórmula correcta que hauria d'haver aplicat justificant per què ha de figurar una potència en lloc d'un producte, i calcula el capital final real que obtindrà arrodonint als cèntims d'euro.

Un petit comerç de barri a Sevilla adquireix un equip informàtic de cobrament per $1200$ €. S'estima que aquest equip pateix una depreciació contínua del $20\%$ anual a causa de la ràpida obsolescència tecnològica.

1. a) Abans de fer qualsevol operació amb calculadora, fes una estimació mental raonada: valdrà l'equip més o menys de la meitat del seu preu original ($600$ €) transcorreguts $3$ anys? Justifica la teva conjectura analitzant la pèrdua aproximada de valor any rere any.
2. b) Aplica la fórmula de depreciació ($V_f = V_0 \cdot (1 - \frac{r}{100})^t$) per calcular el seu valor exacte al cap de $3$ anys. Compara el resultat obtingut amb la teva estimació prèvia i valora si el teu raonament intuïtiu ha estat encertat.

Compara el rendiment d'un capital de $8000$ € invertit durant $6$ anys a un tipus del $5\%$ anual sota dues modalitats diferents: interès simple i interès compost. Quina és la diferència exacta en euros entre els interessos generats per tots dos mètodes?

Una persona vol disposar de $10000$ € d'aquí a $5$ anys per comprar un vehicle. Si el seu banc li ofereix un dipòsit amb un interès compost del $4\%$ anual, quants diners ha d'ingressar avui per assolir exactament el seu objectiu?

Un capital inicial de $6000$ € s'ha convertit en $7146,10$ € després de $3$ anys d'inversió. Sabent que els interessos s'han reinvertit cada any (interès compost), determina el tipus d'interès anual aplicat.

S'inverteixen $4000$ € a un interès simple del $3\%$ anual durant $4$ anys. Passat aquest temps, es retira el capital final total i es reinverteix en un altre producte financer que ofereix un $4\%$ d'interès compost anual durant $2$ anys més. Calcula el capital final absolut que s'obtindrà al final dels $6$ anys.

Determina quants anys ha de restar invertit un capital a un tipus del $8\%$ d'interès simple anual perquè el seu valor es dupliqui.

Un inversor diposita $5000$ € a un interès compost anual del $6\%$, però amb períodes de capitalització mensuals. Calcula el capital final que tindrà al seu compte al cap de $2$ anys.

Una família gasta mensualment $1200$ € en alimentació. Si la inflació mitjana s'estima en un $2,5\%$ anual, quant gastarà mensualment d'aquí a $4$ anys per mantenir exactament el mateix nivell de consum? Assumeix que l'augment de preus es regeix per la fórmula de l'interès compost.

L'Salma inverteix $3000$ € al $4\%$ anual i en Bruno inverteix $2500$ € al $6\%$ anual, tots dos sota la modalitat d'interès simple. Planteja una equació i calcula en quants anys tindran exactament el mateix capital final acumulat.

Una persona va vendre fa poc una màquina industrial de segona mà per $8403,50$ €. Sap del cert que la màquina es va adquirir nova fa exactament $4$ anys i que durant aquest temps ha patit una depreciació acumulada a una taxa constant del $15\%$ anual.

1. a) Planteja l'equació del valor de la màquina en funció del temps i identifica clarament quin és el factor de reducció anual que afecta el preu inicial $V_0$.
2. b) Aïlla algebraicament la dada desconeguda i calcula quant va costar la màquina totalment nova, arrodonint a les unitats d'euro.
3. c) Si la depreciació s'hagués calculat com una pèrdua lineal del $15\%$ anual sobre el preu de compra inicial (model simple), hauria costat el mateix? Raona quin model de pèrdua de valor és més perjudicial per al venedor en els primers anys.

Una família a Saragossa decideix obrir un pla d'estalvi per als futurs estudis de la seva filla acabada de néixer. Ingressen un capital inicial de $5000$ € en una entitat bancària a un interès compost del $3,2\%$ anual. Paral·lelament, els avis lliuren en mà $200$ € cada any per guardar-los en una guardiola a casa (sense generar cap mena d'interès).

1. a) Modelitza matemàticament el capital acumulat al banc $C_b(t)$ i els diners acumulats a la guardiola $C_h(t)$ en funció dels anys transcorreguts $t$.
2. b) Calcula quants diners hi haurà en cadascun dels dos fons quan la nena faci $18$ anys.
3. c) Si els avis haguessin ingressat els $3600$ € totals ($18 \cdot 200$ €) des del primer dia en una llibreta a interès simple al $2\%$ anual durant aquests mateixos $18$ anys, haurien assolit la xifra obtinguda pel fons bancari dels pares? Justifica la teva conclusió amb els càlculs corresponents.

Planteja l'equació corresponent i utilitza logaritmes per determinar quants anys han de passar perquè un capital de $5000$ € es converteixi en $7000$ € si s'inverteix a un interès compost del $3,5\%$ anual.

Una persona ingressa $2000$ € en un compte que ofereix un $4\%$ d'interès compost anual. Al cap d'exactament $2$ anys, fa un nou ingrés de $1500$ € al mateix compte. Si no fa cap extracció, calcula el capital total que haurà acumulat al cap de $5$ anys des del primer ingrés.

Per finançar un projecte, una empresa avalua dues opcions de préstec per un import de $10000$ € a retornar en un pagament únic al cap de $3$ anys. El Banc A ofereix un interès simple del $6\%$ anual, però cobra una comissió d'obertura del $1,5\%$ sobre el capital inicial que es paga en el moment de la concessió. El Banc B ofereix un interès compost del $5\%$ anual sense cap comissió. Determina quina opció resulta més econòmica al final del període i quina és la diferència en euros entre totes dues.

Calcula quin tipus d'interès compost anual s'ha d'aplicar a un capital perquè el seu valor es tripliqui en exactament $15$ anys. Expressa el resultat en percentatge amb dues xifres decimals.

En Carlos inverteix $4000$ € a un interès compost del $5\%$ anual. El mateix dia, la Diana inverteix $5000$ € a un interès compost del $3\%$ anual. Utilitza logaritmes per determinar al cap de quants anys el capital acumulat per en Carlos igualarà el de la Diana.

Un equip informàtic d'alta gamma té un preu actual de $1500$ €. Per obsolescència tecnològica, el seu valor nominal es deprecia un $15\%$ cada any. Paral·lelament, la inflació provoca que els diners perdin un $2\%$ del seu poder adquisitiu anualment. Calcula quin serà el valor real (ajustat a la pèrdua de valor dels diners) de l'equip al cap de $4$ anys.

Un inversor vol acumular un capital final de $20000$ € d'aquí a $4$ anys. Per aconseguir-ho, planeja fer un dipòsit inicial d'una quantitat $C$ avui mateix, i un segon dipòsit de la mateixa quantitat $C$ exactament d'aquí a $2$ anys. Si el compte bancari ofereix una rendibilitat del $3\%$ d'interès compost anual, planteja l'equació corresponent i troba el valor de l'aportació $C$.

La gràfica següent mostra l'evolució d'un mateix capital inicial invertit a interès simple (barres blaves) i a interès compost (barres verdes) amb el mateix tipus d'interès anual al llarg dels tres primers anys. Observant els valors exactes a la gràfica, dedueix el capital inicial i el tipus d'interès. A continuació, calcula quina serà la diferència exacta en euros entre totes dues modalitats al cap de $10$ anys.

Necessites determinar quants anys complets han de transcórrer com a mínim perquè una inversió inicial de $10\,000$ €, col·locada al $4\%$ d'interès compost anual, generi un capital final acumulat d'almenys $15\,000$ €. Per resoldre aquesta qüestió, dos companys proposen dues vies diferents:

• Mètode A (Iteratiu numèric amb taula): Calcular el capital any a any multiplicant successivament pel factor de creixement fins a superar els $15\,000$ €.

• Mètode B (Analític amb logaritmes): Plantejar l'equació exponencial corresponent i aïllar el temps $t$ utilitzant logaritmes.

1. a) Resol el problema aplicant tots dos mètodes: per al Mètode A, mostra els valors del capital en els anys immediatament anterior i posterior a superar l'objectiu; per al Mètode B, obtén el valor decimal exacte de $t$.
2. b) Avalua tots dos mètodes: quins avantatges i inconvenients presenta cada camí si l'objectiu fos esbrinar el temps necessari per multiplicar el capital per deu en lloc d'augmentar-lo un $50\%$? Justifica quin dels dos mètodes és més eficient i generalitzable en matemàtiques financeres.

Una empresa de missatgeria a València renova la seva flota adquirint una furgoneta de baixes emissions per un valor de $36\,000$ €, la qual pateix una depreciació estimada del $12\%$ anual. Al mateix temps, per anticipar la seva futura substitució, l'empresa ingressa $12\,000$ € en un compte d'inversió corporativa que rendeix al $4\%$ d'interès compost anual.

1. a) Escriu l'equació algebraica que modelitza el moment exacte $t$ (en anys) en què el valor residual de mercat del vehicle igualarà el capital acumulat al compte d'inversió.
2. b) Simplifica algebraicament aquesta equació agrupant els termes que contenen la incògnita $t$ en un únic quocient de potències de la forma $\left(\frac{a}{b}\right)^t = k$.
3. c) Aïlla $t$ aplicant les propietats dels logaritmes i calcula el seu valor arrodonit a dues xifres decimals. A partir d'aquesta dada, determina en quin any i mes aproximat s'assolirà aquest equilibri econòmic.

Repte del tema. Gestió de costos d'una convivència escolar.

Imagina que coordines el pressupost d'una convivència de cap de setmana per a la teva classe.

1. Dades reals i proporcionalitat directa: Consulta al web de Red Eléctrica de España (REE) el preu mitjà del kWh d'avui ($p$ en €/kWh). Amb una previsió de consum de $140$ kWh per al grup, calcula el cost total de l'electricitat aplicant proporcionalitat directa.

2. Funció de proporcionalitat inversa: El lloguer de les instal·lacions suposa un cost fix de $k = 420$ €. Modela a GeoGebra o en un full de càlcul la funció $f(x) = \frac{420}{x}$, on $x$ és el nombre d'assistents. Genera una taula i grafica la corba per a $x$ entre $6$ i $25$ participants, explicant el comportament de la funció.

3. Repartiments proporcionals: El cost del transport compartit ($180$ €) es finança mitjançant un repartiment inversament proporcional a les hores de voluntariat aportades pels tres comitès organitzadors: $2$, $3$ i $6$ hores. Determina la quantitat que abonarà cada comitè.

4. Informe final: Redacta una proposta amb la taula, la gràfica i una conclusió que justifiqui quants alumnes han d'assistir com a mínim perquè el cost fix individual sigui inferior a $25$ €.

Es valorarà:

• Obtenció precisa de la dada real de REE i resolució correcta de la proporcionalitat directa i inversa.

• Modelització adequada de la hipèrbola $f(x) = k/x$ amb eina digital.

• Rigor matemàtic en el repartiment proporcional invers.

• Claredat i justificació de la proposta final.