Exercicis: El model quàntic i les partícules subatòmiques

En el model quàntic actual ja no es parla d'òrbites, com feia Bohr, sinó d'orbitals. Explica la diferència entre una òrbita i un orbital: quina informació dona cadascun sobre l'electró i quin dels dos conceptes descriu una trajectòria determinada?

El nombre quàntic principal $n$ etiqueta els nivells d'energia de l'àtom.

1. a) Quins valors pot prendre $n$?
2. b) Què els passa a l'energia del nivell i a la mida mitjana del núvol electrònic quan $n$ augmenta?

Dins de cada nivell hi ha subnivells. En aquest tema estudiarem els subnivells s i p: l'orbital s té forma esfèrica i cada orbital p té forma de dos lòbuls simètrics. Les seves formes es mostren a la figura.

1. a) Quants electrons caben com a màxim en un orbital s?
2. b) Un subnivell p té $3$ orbitals: quants electrons caben en total en un subnivell p?

El $1927$, Heisenberg va enunciar el seu principi d'incertesa. Explica què afirma aquest principi sobre la posició i la velocitat de l'electró i per què, a causa d'aquest, els físics dibuixen l'electró com un «núvol de probabilitat» i no com una boleta que segueix una trajectòria.

Indica la càrrega elèctrica (positiva, negativa o nul·la) i la localització a l'àtom (nucli o escorça) del protó, del neutró i de l'electró. Quines de les tres partícules tenen gairebé la mateixa massa? Quina és unes $2000$ vegades més lleugera que les altres dues?

Des dels anys seixanta del segle passat sabem que protons i neutrons no són partícules elementals: estan formats per quarks.

1. a) Quants quarks componen un protó? I un neutró?
2. b) Quina diferència hi ha, en aquest sentit, entre aquestes dues partícules i l'electró?

Els escàners PET dels hospitals funcionen gràcies als positrons.

1. a) Què és un positró? En què s'assembla i en què es diferencia d'un electró?
2. b) Què passa quan un positró es troba amb un electró?

Les centrals nuclears utilitzen com a combustible urani-235, mentre que l'urani més跑abundant a la naturalesa és l'urani-238; tots dos tenen nombre atòmic $Z = 92$. La figura representa els dos nuclis.

1. a) Explica què són els isòtops d'un element.
2. b) Calcula quants neutrons té al nucli cadascun d'aquests dos isòtops de l'urani.

Els electrons ocupen els subnivells en aquest ordre: $1s$, $2s$, $2p$, $3s$, $3p$. Cada subnivell s admet $2$ electrons i cada subnivell p, $6$.

1. a) Escriu la configuració electrònica del sodi ($Z = 11$) i la del clor ($Z = 17$).
2. b) Quants electrons té cadascun dels dos àtoms en el seu últim nivell ocupat?

El iode és un oligoelement essencial que s'afegeix a la sal de taula; el seu isòtop més comú té $Z = 53$ i $A = 127$.

1. a) Calcula els protons, neutrons i electrons d'un àtom neutre de iode.
2. b) Escriu el seu símbol amb la notació ${}^{A}_{Z}\text{X}$.

L'esmalt de les dents conté calci i molts dentifricis porten fluor.

1. a) L'àtom de calci ($Z = 20$) forma l'ió $\text{Ca}^{2+}$: quants electrons té aquest ió?
2. b) L'àtom de fluor ($Z = 9$) forma l'ió $\text{F}^{-}$: quants electrons té aquest ió?
3. c) Explica, pensant en les seves configuracions electròniques, per què els àtoms tendeixen a guanyar o perdre electrons fins a quedar-se amb l'últim nivell complet.

En radioteràpia contra el càncer s'utilitza cobalt-60, una font radioactiva amb $Z = 27$.

1. a) Escriu el símbol del cobalt-60 amb la notació ${}^{A}_{Z}\text{X}$.
2. b) Calcula els seus protons, neutrons i electrons, suposant l'àtom neutre.
3. c) Quina diferència hi ha entre el cobalt-60 i el cobalt-59, l'isòtop estable del mateix element?

El clor natural és una mescla de dos isòtops: un $75\ \%$ de clor-35 i un $25\ \%$ de clor-37.

1. a) Calcula la massa atòmica mitjana del clor com a mitjana ponderada de les masses dels seus isòtops.
2. b) La taula periòdica indica per al clor una massa de $35,5\ \text{u}$: explica per què aquest valor no és un nombre enter si cada àtom de clor té un nombre enter de partícules al seu nucli.

En una prova de PET, el pacient rep glucosa marcada amb fluor-18 ($Z = 9$), un isòtop que emet positrons. Quan un positró troba un electró, tots dos s'anihilen i s'emeten dos fotons gamma en direccions oposades, que detecta l'anell de l'escàner. L'esquema de l'escàner es mostra a la figura.

1. a) Calcula els neutrons del fluor-18 i del fluor-19, l'isòtop estable del fluor.
2. b) Per què, en detectar els dos fotons alhora, l'equip sap que l'anihilació ha tingut lloc sobre la línia que uneix els dos detectors?
3. c) Els tumors consumeixen més glucosa que el teixit sa: raona per què el PET permet localitzar-los.

Els quarks tenen càrregues elèctriques fraccionàries: el quark up té $+\frac{2}{3}$ de la càrrega del protó i el quark down, $-\frac{1}{3}$. El protó està format per dos quarks up i un down (uud), i el neutró, per un up i dos down (udd). La figura resumeix aquesta composició.

1. a) Comprova, sumant les càrregues dels seus quarks, que el protó té càrrega $+1$ i el neutró, càrrega $0$.
2. b) Quina combinació de tres quarks up o down donaria una partícula de càrrega $-1$?
3. c) I una de càrrega $+2$? Justifica totes dues respostes amb la suma de fraccions.

El nivell $n = 1$ té un únic subnivell s; el nivell $n = 2$ té un subnivell s i un subnivell p.

1. a) Quants electrons caben com a màxim en el nivell $n = 1$? I en el nivell $n = 2$?
2. b) La primera fila de la taula periòdica té $2$ elements i la segona, $8$: relaciona aquests nombres amb els resultats de l'apartat anterior.

La massa atòmica mitjana del bor és $10,8\ \text{u}$ i els seus dos isòtops naturals són el bor-10 i el bor-11.

1. a) Anomena $x$ la fracció de bor-10 i planteja l'equació que compleix la mitjana ponderada: $10\cdot x + 11\cdot(1 - x) = 10,8$.
2. b) Resol-la i expressa les abundàncies de cada isòtop en percentatge.
3. c) Comprova el resultat calculant un altre cop la massa mitjana amb aquestes abundàncies.

El magnesi natural té tres isòtops: magnesi-24 ($78,7\ \%$), magnesi-25 ($10,1\ \%$) i magnesi-26 ($11,2\ \%$).

1. a) Calcula la massa atòmica mitjana del magnesi com a mitjana ponderada.
2. b) Explica per què el resultat està molt més a prop de $24$ que de $26$.
3. c) Podria la massa mitjana d'un element coincidir exactament amb un nombre enter? Raona en quin cas passaria.

Considera aquestes tres espècies: $\text{F}^{-}$ ($Z = 9$), $\text{Ne}$ ($Z = 10$) i $\text{Na}^{+}$ ($Z = 11$).

1. a) Calcula el nombre d'electrons de cadascuna.
2. b) Són el mateix element? Són isòtops entre si? Justifica totes dues respostes.
3. c) Escriu la configuració electrònica comuna de les tres espècies amb l'ordre $1s$, $2s$, $2p$ i explica per què es diu que són isoelectròniques.

Calcula els protons, neutrons i electrons de cadascuna d'aquestes espècies i respon després:

1. a) ${}^{40}_{20}\text{Ca}^{2+}$
2. b) ${}^{37}_{17}\text{Cl}^{-}$
3. c) ${}^{35}_{17}\text{Cl}$

1. d) Quines són isòtops entre si? Per què?
2. e) Quines tenen el mateix nombre d'electrons?

L'ordre d'ompliment dels subnivells és $1s$, $2s$, $2p$, $3s$, $3p$, $4s$ (fixa-t'hi: després de $3p$ s'omple $4s$). Cada subnivell s admet $2$ electrons i cada subnivell p, $6$.

1. a) Escriu la configuració electrònica del potassi ($Z = 19$).
2. b) Escriu la configuració de l'ió sulfur, $\text{S}^{2-}$ ($Z = 16$), i comprova que coincideix amb la d'un gas noble: de quin es tracta?
3. c) El potassi és un metall que reacciona violentament amb l'aigua: explica, a partir de la seva configuració, per què perd amb facilitat un electró.

Els rajos còsmics que arriben a l'alta atmosfera produeixen positrons, l'antipartícula de l'electró.

1. a) Quan un positró i un electró gairebé en repòs s'anihilen, surten dos fotons en direccions oposades. Explica, amb la idea de la conservació de la quantitat de moviment (si el sistema estava gairebé en repòs, la seva quantitat de moviment total era zero), per què no pot sortir un sol fotó.
2. b) Raona per què no trobem antimatèria estable en el nostre entorn quotidià.
3. c) El Gran Col·lisionador d'Hadrons (LHC) produeix antipartícules i altres partícules noves en col·lisions molt energètiques: per què cal tanta energia per crear partícules massives? Pensa en l'equivalència entre massa i energia, $E = m\cdot c^{2}$.

En un mateix orbital caben com a màxim $2$ electrons i, segons el principi d'exclusió de Pauli, s'han de diferenciar en el seu espín: un amb espín $+\frac{1}{2}$ i l'altre amb espín $-\frac{1}{2}$ (pots imaginar-t'ho com dos sentits de gir sobre si mateixos).

1. a) Amb aquesta regla, quants electrons admet com a màxim un subnivell p, que té $3$ orbitals?
2. b) Quants electrons caben en total en el nivell $n = 2$, que té un subnivell s i un subnivell p?
3. c) Un alumne escriu: «L'orbital $2p$ és la trajectòria tancada que recorren els electrons del segon nivell». Corregeix la frase utilitzant el que saps del model quàntic.

El coure dels cables elèctrics és una mescla de dos isòtops, coure-63 i coure-65, amb massa mitjana $63,5\ \text{u}$.

1. a) Sense fer càlculs, raona quin dels dos isòtops és més abundant.
2. b) Planteja l'equació de la mitjana ponderada i calcula les abundàncies percentuals de tots dos isòtops.
3. c) En medicina nuclear s'utilitza de vegades coure-64, produït artificialment. Continua sent coure? Explica què és el que decideix que un àtom sigui de coure i no d'un altre element.

Repte del tema. Com sabem què hi ha dins de la matèria si no podem veure un àtom? Investiga l'escala atòmica i el pas del model de Thomson al quàntic mitjançant una experiència casolana.

1. Mesura experimental: Talla 5 quadrats de paper d'alumini de costats creixents ($L = 5,0\text{ cm}$; $8,0\text{ cm}$; $10,0\text{ cm}$; $12,0\text{ cm}$; $15,0\text{ cm}$), amb incertesa de $\pm 0,1\text{ cm}$. Mesura la massa de cadascun en una bàscula de precisió ($\pm 0,01\text{ g}$).

2. Tractament de dades: Construeix una taula amb àrea ($A = L^2$), massa ($m$) i incerteses associades. Representa la gràfica $m$ enfront de $A$. A partir del pendent i de la densitat de l'alumini ($2,70\text{ g/cm}^3$), calcula el gruix de la làmina i estima quants àtoms apilats conté ($d \approx 0,28\text{ nm}$).

3. Proposta raonada: Redacta un informe breu: explica per què les partícules $\alpha$ de Rutherford travessaven gairebé totes làmines similars amb desviacions mínimes mentre unes poques es desviaven molt o rebotaven, i per què aquestes grans desviacions van refutar el model de Thomson, i justifica com el model quàntic actual descriu aquest volum atòmic mitjançant orbitals i probabilitat electrònica.

Es valorarà:

• Rigor en la presa de mesures, taula amb incerteses i gràfica lineal.

• Correcció en el càlcul del gruix i estimació de capes atòmiques.

• Coherència científica en contrastar els models clàssics i el model quàntic.