Exercicis: Resolució de sistemes d'equacions

Resol el sistema d'equacions lineals següent pel mètode de substitució:

$\begin{cases} 3x - y = 5 \\ 2x + 3y = 18 \end{cases}$

Resol el sistema d'equacions següent emprant el mètode d'igualació:

$\begin{cases} x + 4y = 1 \\ x - 2y = 13 \end{cases}$

Resol el sistema d'equacions següent mitjançant el mètode de reducció:

$\begin{cases} 5x + 2y = 11 \\ 3x - 2y = 5 \end{cases}$

Simplifica els parèntesis i resol el sistema lineal següent:

$\begin{cases} 2(x + 1) - 3(y - 2) = 16 \\ 5x + y = 3 \end{cases}$

Resol el sistema no lineal següent, format per l'equació d'una paràbola i una recta:

$\begin{cases} y = x^2 - 4x + 3 \\ y = x - 1 \end{cases}$

Troba totes les solucions reals del sistema d'equacions de segon grau següent:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x^2 - y^2 = 7 \end{cases}$

Resol el sistema escalonat següent de tres equacions amb tres incògnites:

$\begin{cases} 2x - y + 3z = 14 \\ 5y - 2z = -3 \\ 4z = 16 \end{cases}$

La suma de dos nombres és $45$ i la seva diferència és $11$. Planteja un sistema d'equacions lineals i troba aquests nombres.

Observa amb atenció els dos sistemes d'equacions lineals següents:

Sistema A: $\begin{cases} x = 3y - 2 \\ 2x + 5y = 18 \end{cases}$

Sistema B: $\begin{cases} 4x + 3y = 11 \\ 4x - 5y = -5 \end{cases}$

1. a) Sense resoldre'ls encara, analitza l'estructura de tots dos i indica de manera raonada quin dels tres mètodes algebraics bàsics (substitució, igualació o reducció) resulta més ràpid i directe per a cadascun d'ells, explicant quin element visual de les equacions justifica la teva elecció.
2. b) Tria un dels dos sistemes i resol-lo aplicant el mètode que has seleccionat en l'apartat anterior, comprovant al final si la solució obtinguda verifica totes dues igualtats.

Una associació juvenil de Toledo organitza una sortida de voluntariat ambiental i compra a taquilla dos tipus de títols de transport interurbà: bitllets senzills per a trajectes curts a $1,80$ € cadascun i targetes multiviatge a $9,50$ € cadascuna. En total adquireixen $25$ títols de transport i la factura ascendeix exactament a $137,40$ €.

1. a) Defineix amb claredat quina magnitud representa cada incògnita i escriu el sistema de dues equacions lineals que modelitza aquesta compra.
2. b) Resol el sistema pel mètode que consideris més convenient i interpreta el resultat explicant quants bitllets senzills i quantes targetes multiviatge ha comprat l'associació.

Resol el sistema lineal següent operant prèviament amb els denominadors per obtenir equacions equivalents més senzilles:

$\begin{cases} \frac{x - 1}{3} + \frac{y + 2}{4} = 3 \\ \frac{2x + y}{7} - \frac{x - y}{2} = 3 \end{cases}$

Troba els punts d'intersecció entre la hipèrbola i la recta donades pel sistema no lineal següent:

$\begin{cases} x \cdot y = 12 \\ 2x + y = 10 \end{cases}$

Resol el sistema següent de tres equacions amb tres incògnites utilitzant el mètode de Gauss o per substitució successiva:

$\begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ 2x - y + 3z = 9 \\ 3x + y + z = 8 \end{cases}$

Troba les solucions del sistema d'equacions irracionals següent:

$\begin{cases} x - y = 5 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \end{cases}$

Resol el sistema d'equacions exponencials següent:

$\begin{cases} 2^x + 3^y = 17 \\ 2^{x+1} - 3^{y-1} = 13 \end{cases}$

Un avi diu al seu nét: "Fa $5$ anys, la meva edat era el quíntuple de la teva, però d'aquí a $10$ anys només serà el doble". Planteja un sistema d'equacions lineals i determina l'edat actual de cadascun.

El perímetre d'una parcel·la rectangular mesura $140$ metres. Si la base disminuís en $5$ metres i l'altura augmentés en $5$ metres, la parcel·la es convertiria en un quadrat. Calcula les dimensions actuals de la parcel·la.

En un laboratori químic s'han barrejat dues solucions àcides. La primera té una concentració del $20\%$ i la segona del $50\%$. Si es volen obtenir $60$ litres d'una nova solució al $30\%$, quants litres de cada tipus s'han de barrejar?

La Lucía ha intentat resoldre a la pissarra el següent sistema d'equacions amb denominadors:

$\begin{cases} \frac{x+1}{2} - \frac{y-2}{3} = 2 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$

En la seva llibreta ha deixat escrit aquest desenvolupament:

• Pas 1 (treure denominadors multiplicant la primera equació per $6$): $3 \cdot (x + 1) - 2 \cdot (y - 2) = 12 \implies 3x + 3 - 2y - 4 = 12 \implies 3x - 2y = 13$.

• Pas 2 (aïllar $y$ a la segona equació): $y = 2x - 1$.

• Pas 3 (substituir a la primera simplificada): $3x - 2 \cdot (2x - 1) = 13 \implies 3x - 4x - 2 = 13 \implies -x = 15 \implies x = -15$.

• Pas 4 (calcular la incògnita restant): $y = 2 \cdot (-15) - 1 = -31$.

1. a) La Lucía ha comès dos errors habituals amb els signes en treure parèntesis. Localitza en quins passos es troben i explica amb precisió quina propietat o regla matemàtica no ha respectat en cadascun.
2. b) Corregeix el procediment i resol adequadament el sistema per trobar els valors correctes de $x$ i $y$.

Una família de València amb tarifa elèctrica regulada (PVPC) analitza el terme de consum d'energia de les seves dues últimes factures bimestrals. En la primera van consumir $250\text{ kWh}$ en període punta i $180\text{ kWh}$ en període vall, amb un cost total per energia de $81,60$ €. En la segona factura van consumir $150\text{ kWh}$ en punta i $220\text{ kWh}$ en vall, resultant un cost de $62,40$ €. El preu unitari del kWh en punta ($p$) i en vall ($v$) es va mantenir constant en tots dos mesos.

1. a) Sense resoldre encara el sistema, raona quin dels dos preus ($p$ o $v$) ha de ser superior i estima un rang de preus versemblant en euros per kWh (o cèntims d'euro) per a cada període tenint en compte el cost habitual de l'electricitat a les llars espanyoles.
2. b) Planteja el sistema d'equacions lineals que descriu la situació i resol-lo per reducció per obtenir els preus exactes de $p$ i $v$ en €/kWh.
3. c) Compara els resultats exactes amb la teva estimació prèvia i valora críticament si les xifres obtingudes confirmen la teva previsió inicial.

Resol el sistema d'equacions següent amb fraccions algebraices aplicant un canvi de variable adequat:

$\begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 2 \\ \frac{4}{x} - \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \end{cases}$

Troba la solució del sistema d'equacions logarítmiques següent:

$\begin{cases} \log(x) + \log(y) = 2 \\ x - 4y = 0 \end{cases}$

Resol el sistema exponencial següent:

$\begin{cases} 3^x + 2^y = 17 \\ 3^{x+1} - 2^{y+2} = -5 \end{cases}$

Una empresa de transports té tres tipus de furgonetes: A, B i C. La furgoneta A pot transportar $2$ tones, la B $3$ tones i la C $5$ tones. Un determinat dia es van utilitzar $12$ furgonetes en total per transportar $38$ tones de mercaderia. Si el nombre de furgonetes del tipus A utilitzades és igual a la suma de les furgonetes dels tipus B i C, planteja i resol un sistema de tres equacions per saber quantes furgonetes de cada tipus es van utilitzar.

Resol el sistema no lineal simètric següent:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 58 \\ x \cdot y = 21 \end{cases}$

Dos ciclistes parteixen al mateix temps des de dues ciutats, A i B, separades per $90$ km, i van a trobar-se. Si viatgen a velocitats constants, es creuen al cap de $3$ hores. Si el ciclista que parteix d'A hagués sortit una hora abans que el de B, s'haurien trobat $2$ hores i $40$ minuts després de la sortida del ciclista de B. A quina velocitat circula cada ciclista?

Determina el valor del paràmetre $k$ perquè el sistema lineal següent sigui incompatible, i justifica la posició relativa que tindrien les dues rectes que el formen en el pla cartesià:

$\begin{cases} 3x - (k+1)y = 5 \\ 6x - 8y = 12 \end{cases}$

Un estadi d'atletisme té una pista formada per un rectangle central i dos semicercles als extrems. El perímetre total de la línia interior de la pista és de $400$ metres i l'àrea del rectangle central és de $5600$ metres quadrats. Planteja un sistema d'equacions no lineals per trobar el radi $R$ dels semicercles i la longitud $L$ del tram recte. Pren $\pi \approx 3$.

Imagina que formes part de l'equip que redacta les proves d'avaluació diagnòstica de 4t d'ESO i has de dissenyar un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites ($x$ i $y$) que compleixi alhora les tres condicions següents:

1. La seva solució única ha de ser exactament $x = 3$, $y = -2$.

2. Cap dels coeficients de les incògnites ni dels termes independents pot ser $0$, $1$ ni $-1$.

3. En aplicar el mètode de reducció sumant directament les dues equacions membre a membre (sense necessitat de multiplicar prèviament cap equació per un altre nombre), una de les incògnites s'ha d'eliminar completament.

1. a) Escriu el sistema que has construït i justifica pas a pas per què satisfà cadascuna de les tres condicions.
2. b) Modifica la segona equació del teu sistema perquè el nou sistema resultant sigui incompatible (no tingui cap solució). Explica de manera raonada la justificació algebraica i la interpretació geomètrica (posició relativa de les rectes) de per què aquest canvi impedeix que hi hagi solució.

En una planta comarcal de classificació de residus a Galícia es gestionen setmanalment tres tipus de materials reciclables: plàstic, paper/cartó i vidre. Durant una setmana de mostreig es van recopilar les dades següents:

1. Entre els tres materials es van tractar en total $180\text{ tones}$.

2. La suma de les tones de paper/cartó i de vidre va duplicar exactament la quantitat de plàstic processat.

3. El cost logístic de reciclatge és de $40$ € per tona de plàstic, $20$ € per tona de paper/cartó i $10$ € per tona de vidre, i el cost total de tractament d'aquella setmana va ascendir a $4300$ €.

1. a) Assigna una incògnita a cada material i formula un sistema canònic de tres equacions lineals amb tres incògnites que representi la situació.
2. b) Aplica el mètode de Gauss per transformar el sistema en un d'escalonat equivalent, indicant amb claredat les operacions elementals realitzades entre files.
3. c) Resol el sistema escalonat de baix cap a dalt per determinar quantes tones de cada residu es van processar i analitza si les quantitats guarden una proporció lògica en el context de la recollida selectiva urbana.