Exercicis: Resolució de problemes mitjançant sistemes

La suma de les edats de la Salma i el seu avi és $72$ anys. Fa $6$ anys, l'edat de l'avi era el quíntuple de l'edat de la Salma. Planteja un sistema d'equacions i troba les edats actuals de tots dos.

La diferència entre dos nombres és $14$. Si al nombre major li sumem el doble del menor, el resultat és $53$. Troba tots dos nombres plantejant un sistema d'equacions.

En una papereria, $3$ quaderns i $2$ bolígrafs costen $12$ euros, mentre que $4$ quaderns i $1$ bolígraf costen $13,50$ euros. Quin és el preu d'un quadern i el d'un bolígraf?

El perímetre d'un rectangle mesura $54 \text{ cm}$. Es sap que la base és $3 \text{ cm}$ major que el doble de l'altura. Determina les dimensions del rectangle.

En un aparcament hi ha motocicletes i cotxes. En total es compten $35$ vehicles i $114$ rodes (sense comptar les de recanvi). Calcula quantes motocicletes i quants cotxes hi ha a l'aparcament.

Una guardiola conté $45$ monedes que sumen un total de $14,40$ euros. Si totes les monedes són de $20 \text{ cèntims}$ i de $50 \text{ cèntims}$, esbrina quantes monedes hi ha de cada tipus.

En un examen tipus test de $30$ preguntes, s'atorguen $5$ punts per cada resposta correcta i es resten $2$ punts per cada resposta incorrecta o en blanc. Un estudiant ha obtingut $94$ punts. Quantes preguntes ha respost correctament?

Un comerciant vol preparar $50 \text{ kg}$ d'una barreja de cafè. Utilitza un cafè de $6 \text{ €/kg}$ i un altre de $8 \text{ €/kg}$. Si vol que el preu de la barreja sigui exactament $7,20 \text{ €/kg}$, quants quilos de cada tipus de cafè ha de fer servir?

A les taquilles del Museu del Prado de Madrid, l'entrada general individual costa $15\text{ \euro}$ i la tarifa reduïda per a estudiants costa $7,50\text{ \euro}$. Un grup escolar de batxillerat juntament amb els seus acompanyants suma un total de $24$ persones i han abonat exactament $210\text{ \euro}$ per totes les entrades.

1. a) Defineix amb precisió què representa cada incògnita ($x$ i $y$) indicant les seves unitats.
2. b) Planteja el sistema de dues equacions lineals que descriu la situació.
3. c) Resol el sistema per calcular quantes entrades de cada tipus es van adquirir.
4. d) Raona, sense necessitat de resoldre un nou sistema, per què hauria estat impossible que la recaptació total d'aquestes $24$ persones fos de $215\text{ \euro}$ mantenint els mateixos preus individuals.

L'Hugo intenta resoldre el problema següent del seu llibre: «La Marta té actualment el triple de l'edat del seu germà Lucas. D'aquí a $4$ anys, l'edat de la Marta serà només el doble de la que tingui en Lucas. Quants anys tenen en l'actualitat?». Per resoldre'l, l'Hugo planteja aquest sistema anomenant $x$ l'edat actual de la Marta i $y$ la d'en Lucas:

En restar $4$ a tots dos membres de la segona equació, l'Hugo obté $x = 2y$, la qual cosa xoca frontalment amb la primera equació ($x = 3y$). L'Hugo afirma aleshores que «l'enunciat està mal redactat i no té solució lògica a la realitat».

1. a) Localitza l'error conceptual que ha comès l'Hugo en traduir al llenguatge algebraic la condició «d'aquí a $4$ anys».
2. b) Explica amb les teves paraules per què el seu plantejament és incorrecte i escriu la segona equació de manera adequada.
3. c) Resol el sistema corregit i comprova que les edats obtingudes compleixen al peu de la lletra les dues frases de l'enunciat original.

La suma de les xifres d'un nombre de dues xifres és $12$. Si invertim l'ordre de les seves xifres, obtenim un nou nombre que és $18$ unitats més gran que el nombre original. De quin nombre es tracta?

Un arquitecte dissenya una habitació rectangular l'àrea de la qual ha de ser de $108 \text{ m}^2$. A més, per ajustar-se al pressupost dels zòcols, el perímetre de l'habitació ha de ser exactament de $42 \text{ m}$. Planteja un sistema d'equacions i calcula les dimensions de l'habitació.

Si al numerador i al denominador d'una fracció se'ls suma $2$, la fracció resultant és equivalent a $\frac{2}{3}$. Si, en canvi, se'ls resta $1$ a tots dos, la fracció és equivalent a $\frac{1}{2}$. Troba la fracció original.

Una inversora reparteix un capital de $20\,000 \text{ €}$ en dos fons d'inversió. El primer ofereix una rendibilitat anual del $4\%$ i el segon del $6\%$. Al cap d'un any, els beneficis totals de tots dos fons ascendeixen a $1\,050 \text{ €}$. Quina quantitat va invertir en cada fons?

En una fruiteria, $1 \text{ kg}$ de pomes, $2 \text{ kg}$ de peres i $1 \text{ kg}$ de plàtans costen $8,50 \text{ €}$. A més, $2 \text{ kg}$ de pomes i $1 \text{ kg}$ de peres costen $6 \text{ €}$. Si el preu de $1 \text{ kg}$ de plàtans és igual al preu de $1 \text{ kg}$ de pomes més $1 \text{ kg}$ de peres, quin és el preu de cada tipus de fruita?

En un triangle rectangle, la hipotenusa mesura $25 \text{ cm}$ i la suma dels seus catets és $35 \text{ cm}$. Planteja un sistema d'equacions no lineals per determinar la longitud de cada catet.

Un dipòsit es pot omplir mitjançant dues aixetes, A i B. Si s'obren totes dues alhora, el dipòsit s'omple en $6$ hores. Es sap que l'aixeta A, per si sola, triga $5$ hores menys que l'aixeta B a omplir el dipòsit complet. Planteja un sistema d'equacions i troba quant de temps trigaria cada aixeta a omplir-lo per separat.

En una almàssera cooperativa de Jaén s'envasaran $1\,000\text{ litres}$ d'un cupatge (barreja) especial d'oli d'oliva verge extra combinant dues varietats autòctones: picual (el cost d'obtenció de la qual és de $6,50\text{ \euro/l}$) i arbequina (amb un cost de $8,50\text{ \euro/l}$). La cooperativa necessita que el cost mitjà resultant del litre de barreja sigui d'exactament $7,90\text{ \euro/l}$.

1. a) Abans de fer càlculs algebraics, estima de manera raonada quina varietat ha d'aportar més litres al dipòsit (picual o arbequina?). Justifica la teva resposta fixant-te únicament en la distància entre els preus unitaris i el preu final desitjat.
2. b) Planteja un sistema de dues equacions amb dues incògnites ($x$: litres de picual, $y$: litres d'arbequina) i resol-lo pel mètode que prefereixis.
3. c) Comprova si els valors obtinguts coincideixen amb l'estimació que has fet a l'apartat a) i interpreta el resultat en el context de la producció d'oli.

El departament d'Educació Física d'un centre educatiu compra material esportiu a un distribuïdor oficial amb dues comandes successives:

• En la primera comanda adquireixen $3$ pilotes de bàsquet i $4$ pilotes de voleibol per un import total de $146\text{ \euro}$.

• En la segona comanda compren $5$ pilotes de bàsquet i $4$ pilotes de voleibol per un import total de $194\text{ \euro}$.

1. a) Planteja el sistema d'equacions lineals corresponent, anomenant $x$ el preu d'una pilota de bàsquet i $y$ el preu d'una pilota de voleibol.
2. b) Analitza els tres mètodes algebraics habituals (substitució, igualació i reducció). Justifica quin d'ells estalvia més comptes i minimitza el risc d'error en resoldre aquest sistema en concret.
3. c) Resol el sistema aplicant el mètode que has seleccionat a l'apartat b) i comprova el resultat en els imports originals de totes dues comandes.

Les àrees de tres de les cares d'un prisma recte de base rectangular (ortoedre) que concorren en un mateix vèrtex són $24 \text{ cm}^2$, $32 \text{ cm}^2$ i $48 \text{ cm}^2$. Planteja un sistema d'equacions amb les dimensions de les seves aristes i calcula el volum del prisma.

Un nombre està format per tres xifres que sumen $18$. La xifra de les centenes és igual a la suma de les xifres de les desenes i les unitats. Si s'inverteix l'ordre de les xifres, el nombre resultant és $396$ unitats menor que el nombre original. Determina de quin nombre es tracta.

Un orfebre disposa de dos aliatges d'or. El primer conté un $80\%$ d'or i el segon un $60\%$ d'or. Vol fondre parts de tots dos per obtenir $50 \text{ grames}$ d'un nou aliatge que tingui un $75\%$ d'or. Quants grams de cada aliatge ha d'utilitzar?

L'àrea d'un rombe és de $120 \text{ cm}^2$ i la suma de les seves diagonals és $34 \text{ cm}$. Planteja un sistema d'equacions no lineals per trobar la longitud de les diagonals i, posteriorment, calcula el perímetre del rombe.

Tres treballadors, Alba, Bernat i Carlos, han de pintar un edifici. Si treballen l'Alba i en Bernat junts, triguen $12$ dies. Si treballen en Bernat i en Carlos junts, triguen $20$ dies. Si treballen l'Alba i en Carlos junts, triguen $15$ dies. Planteja un sistema d'equacions per esbrinar quant de temps trigaria cadascun treballant sol. (Suggeriment: utilitza com a incògnites la fracció d'obra que fa cadascun en un dia).

Un agricultor vol tancar un terreny rectangular. Disposa de $100 \text{ m}$ de tanca per al perímetre. Sabent que un dels costats del terreny ha de mesurar almenys $15 \text{ m}$ i que l'àrea del terreny ha de ser estrictament més gran que $600 \text{ m}^2$, planteja un sistema d'inequacions per a la mida de la base i l'altura, i determina entre quins valors pot oscil·lar la mida del costat major.

Un ciclista surt de la ciutat A cap a la ciutat B a una velocitat constant. Una hora més tard, un motorista surt de A en la seva persecució a una velocitat que és $15 \text{ km/h}$ superior a la del ciclista, i l'atrapa just en arribar a B. Si la distància entre A i B és de $60 \text{ km}$, planteja un sistema d'equacions per trobar les velocitats de tots dos i el temps que va trigar el ciclista a fer el recorregut.

Un tècnic municipal de mobilitat d'una capital espanyola dissenya una campanya per fomentar el transport públic. Per equilibrar el pressupost d'un usuari mitjà, estableix com a solució idònia que una persona adquireixi a l'any exactament $x = 12$ bitllets senzills i $y = 4$ abonaments mensuals combinats.

1. a) Redacta l'enunciat complet d'un problema realista d'economia domèstica en què es combinin el nombre total de títols comprats a l'any ($16$ títols en total) i una despesa anual total prefixada (assignant un preu d'$1,50\text{ \euro}$ al bitllet senzill i $35\text{ \euro}$ a l'abonament mensual), de manera que el seu plantejament condueixi de manera inequívoca a aquesta solució.
2. b) Escriu el sistema d'equacions associat al problema que has redactat i comprova analíticament que la seva solució única és, en efecte, $(12, 4)$.
3. c) Imagina que substitueixes la condició de la despesa total per aquesta altra: «el triple de bitllets senzills més el triple d'abonaments mensuals és igual a $48$». Raona per què amb aquesta nova condició és impossible determinar si l'usuari va comprar $(12, 4)$ o una altra combinació diferent, explicant què li passa matemàticament al sistema.

Dos vehicles surten simultàniament a les $09:00\text{ h}$ per cobrir el trajecte entre Madrid i Saragossa ($315\text{ km}$ al llarg de l'autovia A-2) viatjant en sentits oposats: un turisme surt de Madrid cap a Saragossa i una furgoneta de repartiment surt de Saragossa cap a Madrid. A causa de la càrrega i del tipus de vehicle, la velocitat mitjana del turisme supera en $15\text{ km/h}$ la de la furgoneta. Tots dos vehicles es creuen a l'autovia després d'exactament $1\text{ hora i } 30\text{ minuts}$ ($1,5\text{ hores}$) de trajecte continu.

1. a) Defineix les incògnites indicant amb precisió les seves unitats de mesura.
2. b) Utilitzant la relació física $d = v \cdot t$, planteja un sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites que modeli la diferència de velocitats i la suma de distàncies recorregudes fins a l'instant de l'encreuament.
3. c) Resol el sistema per determinar la velocitat mitjana de cada vehicle.
4. d) Interpreta el resultat: raona si tots dos conductors han respectat el límit genèric legal de velocitat en autovies a Espanya ($120\text{ km/h}$) i calcula a quina distància de Madrid s'ha produït la trobada.

Repte del tema. Com optimitzar la despesa energètica i l'espai a la teva llar?

1. Dades reals i tarifes: Consulta al web de Red Eléctrica de España (REE) el preu mitjà del kWh avui i busca a internet una tarifa comercial amb quota fixa mensual. Modela el cost mensual $y$ segons els kWh consumits $x$ mitjançant dues equacions lineals amb dues incògnites.

2. Resolució lineal i GeoGebra: Planteja el sistema lineal resultant. Resol-lo de manera algebraica (per reducció, igualació o substitució) i grafica'l a GeoGebra per trobar el llindar de consum en què ambdues opcions empaten.

3. Espai solar (sistema no lineal): Mesura amb un metre el contorn disponible en una finestra o balcó de casa teva per obtenir el seu perímetre real ($2x + 2y = p$). Si la placa solar necessita una superfície de captació de $x \cdot y = 1,2$ $\text{m}^2$, planteja i resol el sistema no lineal per determinar les dimensions possibles ($x$, $y$).

4. Informe final: Redacta un informe breu que inclogui la taula de dades, les captures de GeoGebra, les solucions d'ambdós sistemes i la teva recomanació justificada per estalviar a casa.

Es valorarà:

• Plantejament i resolució matemàtica correcta dels sistemes lineal i no lineal.

• Ús rigorós de GeoGebra per a la representació i interpretació gràfica de les solucions.

• Precisió en la recollida de dades reals (mesuraments i web) i claredat en les conclusions de l'informe.