Exercicis: Sistemes no lineals

Resol el sistema d'equacions no lineals següent:

$ \begin{cases} x - y = 2 \\ x^2 + y^2 = 34 \end{cases} $

Resol el sistema:

$ \begin{cases} x + y = 7 \\ x \cdot y = 12 \end{cases} $

Determina les solucions del sistema:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} $

Calcula dos nombres enters positius sabent que la seva suma és $15$ i el seu producte és $56$.

El perímetre d'un rectangle mesura $28 \text{ cm}$ i la seva àrea és $48 \text{ cm}^2$. Determina la longitud dels seus costats plantejant un sistema d'equacions.

Resol el sistema següent amb radicals:

$ \begin{cases} \sqrt{x} + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $

Resol el sistema amb fraccions algebraices:

$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \\ x + y = 5 \end{cases} $

La diferència de dos nombres naturals és $3$ i la diferència dels seus quadrats és $33$. De quins nombres es tracta?

En Marcos està resolent aquest sistema no lineal per trobar dos nombres desconeguts:

$ \begin{cases} x + y = 9 \\ x^2 + y^2 = 41 \end{cases} $

En la seva llibreta ha desenvolupat el procediment següent:

«Aïllo $y$ a la primera equació: $y = 9 - x$. Substitueixo a la segona:

$x^2 + (9 - x)^2 = 41 \implies x^2 + 81 - x^2 = 41 \implies 81 = 41$.

Com que em dóna una igualtat absurda ($81 = 41$), concloc que el sistema no té solució real.»

1. a) Troba i explica de manera raonada l'error algebraic que ha comès en Marcos en operar la potència.
2. b) Corregeix el seu plantejament, resol l'equació de segon grau resultant i troba les parelles de solucions $(x, y)$.
3. c) Comprova si les solucions obtingudes compleixen les dues condicions del sistema original.

L'Ajuntament de Sevilla ha posat en marxa un pla d'horts urbans i ha assignat a una associació veïnal una parcel·la rectangular de $60\text{ m}^2$ de superfície. Per protegir els cultius dels conills, l'associació disposa d'un rotlle tancat de $32\text{ metres}$ de tanca metàl·lica per voltar exactament tot el perímetre exterior.

1. a) Anomena $x$ la llargària i $y$ l'amplada de la parcel·la i planteja un sistema d'equacions no lineal que reculli la informació del perímetre i de l'àrea.
2. b) Resol el sistema pel mètode de substitució aïllant una incògnita a l'equació de primer grau.
3. c) Interpreta el resultat: obtindràs dues parelles de solucions matemàtiques $(x, y)$, però quantes parcel·les rectangulars diferents representen sobre el terreny real? Justifica la teva resposta.

Resol el sistema d'equacions exponencials següent:

$ \begin{cases} 2^x + 3^y = 17 \\ 2^{x+1} - 3^{y-1} = 13 \end{cases} $

Troba la solució del sistema logarítmic:

$ \begin{cases} \log(x) + \log(y) = 2 \\ x - y = 15 \end{cases} $

Les diagonals d'un rombe difereixen en $4 \text{ cm}$ i la seva àrea és de $96 \text{ cm}^2$. Calcula la longitud de totes dues diagonals.

Un grup d'amics decideix comprar junts un regal d'aniversari que costa $120$ €. En l'últim moment s'uneixen $2$ amics més al grup, la qual cosa fa que cadascun dels inicials hagi de pagar $3$ € menys. Planteja un sistema d'equacions i troba quants amics eren al principi.

Resol el sistema d'equacions irracionals:

$ \begin{cases} \sqrt{x+y} = 4 \\ x - \sqrt{y} = 2 \end{cases} $

Resol el sistema no lineal següent:

$ \begin{cases} x^2 + xy = 24 \\ y^2 + xy = 12 \end{cases} $

Una furgoneta realitza un trajecte de $300 \text{ km}$. Si augmentés la seva velocitat mitjana en $10 \text{ km/h}$, trigaria una hora menys a completar el viatge. Determina la velocitat original i el temps que empra.

Si la base d'un rectangle augmenta en $2 \text{ cm}$ i la seva altura augmenta en $1 \text{ cm}$, l'àrea s'incrementa en $22 \text{ cm}^2$. Sabent que la base original mesura el doble que l'altura, troba les dimensions inicials del rectangle.

Una cooperativa agrícola d'El Ejido (Almeria) construirà una nau hivernacle de planta rectangular. El projecte tècnic estipula que el perímetre exterior dels fonaments ha de ser exactament de $90\text{ metres}$ i la superfície útil interior ha d'arribar als $450\text{ m}^2$.

1. a) Estima: Abans de resoldre cap equació, proposa almenys dues parelles de mesures enteres (llargària i amplada) la suma de les quals sigui $45\text{ metres}$ (el semiperímetre). Calcula mentalment o de manera aproximada l'àrea de cada parella i indica quina de les teves propostes s'acosta més als $450\text{ m}^2$.
2. b) Planteja el sistema d'equacions no lineal corresponent al perímetre i a l'àrea, i resol-lo algebraicament per substitució.
3. c) Comprova: Contrasta les solucions exactes amb les teves estimacions de l'apartat a) i raona si les dimensions resultants són viables per permetre el pas i la maniobra d'un tractor agrícola d'$1,80\text{ metres}$ d'amplada al seu interior.

Per trobar els punts de tall entre una trajectòria parabòlica i una rampa rectilínia, es planteja el sistema d'equacions següent:

$ \begin{cases} y = x^2 - 4x + 1 \\ x + y = 5 \end{cases} $

Tres integrants d'un equip de treball proposen tres camins diferents per resoldre'l:

• L'Aitana proposa aïllar $x$ a la segona equació ($x = 5 - y$) i substituir-la en les dues $x$ de la primera equació.

• En Borja proposa aïllar $y$ a la segona equació ($y = 5 - x$) i igualar totes dues expressions d'$y$.

• La Carla suggereix dibuixar la paràbola i la recta sobre paper mil·limetrat per llegir directament els punts de tall.

1. a) Compara els procediments de l'Aitana i d'en Borja: justifica quin dels dos mètodes algebraics és més ràpid i té menys risc de cometre errors amb els signes i les potències.
2. b) Resol el sistema seguint l'estratègia més eficient que has triat i troba les coordenades dels punts d'intersecció.
3. c) Avalua la proposta gràfica de la Carla: explica quin avantatge visual ofereix i quina és la seva principal limitació enfront del càlcul algebraic si els punts de tall no tinguessin coordenades enteres.

Troba les dimensions d'un triangle rectangle la hipotenusa del qual fa $13 \text{ cm}$, sabent que si tots dos catets augmenten la seva longitud en $2 \text{ cm}$, l'àrea del triangle augmenta en $19 \text{ cm}^2$.

Resol el sistema mixt següent:

$ \begin{cases} \log_2(x) - \log_2(y) = 1 \\ 3^{x-y} = 81 \end{cases} $

Dues mànegues omplen juntes un dipòsit en $6$ hores. Si la primera mànega triga $5$ hores menys que la segona a omplir el dipòsit per si sola, quant de temps necessita cada mànega per omplir-lo de manera individual?

Resol el sistema racional:

$ \begin{cases} \frac{x+y}{x-y} = 5 \\ \frac{x^2}{y} = 9 \end{cases} $

Un filferro de $40 \text{ cm}$ de longitud es talla en dos trossos. Amb cada tros es forma un quadrat. Si la suma de les àrees de tots dos quadrats és de $58 \text{ cm}^2$, quina és la longitud de cada tros de filferro?

Resol el sistema irracional mitjançant un canvi de variable o una manipulació algebraica adequada:

$ \begin{cases} \sqrt{x-1} + \sqrt{y+2} = 5 \\ x + y = 12 \end{cases} $

Troba els punts d'intersecció entre la circumferència d'equació $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 11 = 0$ i la recta $x - y = 1$. Representa gràficament la situació.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una empresa fabrica dos tipus de peces. El cost de produir $x$ peces del tipus A i $y$ peces del tipus B ve donat per la relació $C = x^2 + y^2$. Sabem que fabriquen un total de $14$ peces i que el cost total és de $100$ €. Quantes peces de cada tipus fabriquen si es sap que produeixen més peces del tipus A que del B?

En la programació d'un videojoc, el salt d'un personatge descriu la paràbola $y = -x^2 + 6x$, mentre que una barrera làser mòbil es desplaça seguint la recta $y = 2x + k$, on $k$ és un paràmetre que gradua l'altura inicial del raig.

1. a) Planteja el sistema d'equacions no lineal format per la paràbola i la recta, i obtén l'equació de segon grau que resulta després d'aplicar el mètode de substitució (deixant la lletra $k$ indicada).
2. b) Problema invers: Determina quin valor exacte ha de tenir $k$ perquè el raig làser sigui tangent a la trajectòria del salt, és a dir, perquè el sistema tingui una ÚNICA solució real (el personatge frega el làser exactament en un sol punt sense travessar-lo). Troba les coordenades $(x, y)$ d'aquest punt de contacte.
3. c) Analitza quins valors pot prendre $k$ perquè el personatge passi netament per sota del làser sense tocar-lo mai (el sistema no tingui cap solució real). Justifica la teva resposta analitzant el signe del discriminant.

Una comunitat de propietaris de Madrid instal·larà panells solars al terrat pla del seu edifici, que té forma rectangular amb una superfície total de $180\text{ m}^2$. D'acord amb el Codi Tècnic de l'Edificació (CTE), és obligatori deixar lliure un passadís perimetral de seguretat d'$1\text{ metre}$ d'amplada a tot el contorn exterior per a tasques de manteniment i evacuació. En descomptar aquest passadís, l'àrea rectangular central útil reservada per als panells queda reduïda a $130\text{ m}^2$.

1. a) Si anomenem $x$ la llargària total de la teulada i $y$ la seva amplada total, escriu l'expressió algebraica de les dimensions útils interiors (restant el passadís per tots dos costats) i planteja el sistema d'equacions no lineal que relaciona l'àrea total amb l'àrea útil.
2. b) Desenvolupa l'equació de l'àrea útil i utilitza la de l'àrea total per transformar el sistema en una equació lineal equivalent entre $x$ i $y$.
3. c) Resol el sistema per calcular les dimensions exteriors del terrat ($x$ i $y$) i les dimensions de la zona útil per als panells.
4. d) Sabent que cada panell fotovoltaic estàndard fa $2\text{ m} \times 1\text{ m}$, calcula el nombre teòric màxim de panells que caben per superfície a la zona útil i explica per què a la pràctica la distribució real de files i columnes podria encabir algun panell menys.