Exercicis: Equacions lineals amb dues incògnites

Comprova si els parells de valors $(1, 2)$, $(3, -1)$ i $(0, 4)$ són solució de l'equació lineal $3x + 2y = 7$.

Donada l'equació lineal amb dues incògnites $5x - 2y = 10$, aïlla la incògnita $y$ en funció de $x$.

Troba tres solucions diferents per a l'equació lineal $-2x + 4y = 8$.

Esbrina el valor que ha de tenir el coeficient $c$ perquè el parell de valors $(-2, 5)$ sigui solució de l'equació $4x - 3y = c$.

Tradueix al llenguatge algebraic mitjançant una equació lineal amb dues incògnites el següent enunciat: «El preu de tres entrades de cinema d'adult més el preu de dues entrades infantils suma un total de 34 euros».

Indica raonadament quines de les següents equacions són equacions lineals amb dues incògnites:

• a) $x^2 + y = 7$

• b) $3x - \frac{y}{4} = 1$

• c) $x \cdot y = 12$

• d) $-x + 6y = 0$

Donada l'equació $7x + 3y = 21$, troba el valor de $y$ quan $x = 0$, i el valor de $x$ quan $y = 0$.

Escriu dues equacions que siguin equivalents a $6x - 9y = 15$, obtenint-ne una en multiplicar tots els seus termes per un nombre enter i l'altra en dividir-los.

En el transport urbà en autobús d'una ciutat espanyola, el bitllet senzill costa $1,50$ € i el viatge pagat amb targeta multiviatge costa $0,80$ €. Un grup d'amics ha gastat en total exactament $12$ € combinant tots dos mitjans de pagament durant una tarda.

1. a) Escriu l'equació lineal amb dues incògnites ($x$ = nombre de bitllets senzills, $y$ = nombre de viatges amb targeta) que representi la despesa total.
2. b) Abans de fer càlculs exactes, estima mentalment si és possible que hagin adquirit $10$ bitllets senzills amb aquest pressupost i raona la teva resposta.
3. c) Comprova si el parell de valors amb $x = 4$ i $y = 7,5$ és solució numèrica de l'equació i explica raonadament per què no pot ser una solució vàlida en el context real d'aquest problema.

En Mateo vol simplificar l'equació lineal amb dues incògnites $2x + 4y = 12$ per trobar parelles de solucions amb més comoditat. Al seu quadern fa el següent:

«Divideixo entre $2$ perquè els nombres siguin més petits: $x + 2y = 12$.

Ara trio el valor $y = 3$ i substitueixo: $x + 2 \cdot 3 = 12 \implies x + 6 = 12 \implies x = 6$.

Per tant, la parella $(6, 3)$ és una solució de l'equació original».

1. a) Identifica l'error que ha comès en Mateo en buscar una equació equivalent i explica per què el seu procediment vulnera la regla de la balança.
2. b) Comprova, substituint en l'equació original $2x + 4y = 12$, si la parella $(6, 3)$ obtinguda per en Mateo és realment una solució vàlida.
3. c) Escriu l'equació simplificada correcta i troba una parella $(x, y)$ que sí que sigui solució real.

En l'equació lineal $4x - y = 18$, troba la solució en la qual totes dues incògnites tenen exactament el mateix valor (és a dir, $x = y$).

Un examen consta de preguntes tipus test que sumen 2 punts cadascuna i problemes a desenvolupar que sumen 5 punts cadascun. Planteja una equació lineal que relacioni el nombre de preguntes de cada tipus per obtenir una puntuació màxima de 30 punts. Troba una solució en què el nombre de preguntes tipus test sigui exactament el quíntuple que el de problemes.

Troba una equació lineal de la forma $ax + by = c$ que tingui com a solucions els parells de valors $(2, 3)$ i $(4, -1)$.

Observa la recta representada en el següent pla cartesià.

Determina l'equació lineal amb dues incògnites que correspon a aquesta recta, expressant-la en la forma $ax + by = c$ amb coeficients enters. A partir de l'equació obtinguda, troba el valor de $y$ quan $x = 12$.

Una empresa de lloguer de bicicletes cobra una tarifa fixa per l'assegurança més un import per cada hora d'ús. Si llogar una bicicleta durant 3 hores costa 14 euros i durant 5 hores costa 22 euros, planteja una equació lineal que relacioni el cost total ($y$) amb les hores d'ús ($x$). Quin és el valor de la tarifa fixa?

Donada l'equació lineal amb coeficients fraccionaris $\frac{x - 1}{2} + \frac{2y + 3}{5} = 1$, expressa-la en la seva forma general $ax + by = c$ eliminant els denominadors. Després, troba una solució en què $x$ sigui un nombre enter negatiu.

Calcula l'àrea del triangle que forma la representació gràfica de l'equació $8x + 5y = 40$ en tallar els eixos de coordenades $X$ i $Y$.

Determina el valor dels coeficients $a$ i $b$ de l'equació lineal $ax + by = 12$ sabent que la recta passa pel punt $(2, -1)$ i que, en aïllar la incògnita $y$, el pendent de la recta resultant és $4$.

Una recta dibuixada en un pla cartesià conté totes les solucions d'una equació lineal amb dues incògnites de la forma $ax + by = c$, on els coeficients $a$, $b$ i $c$ son nombres enters sense divisors comuns.

1. a) Determina els valors d'$a$, $b$ i $c$ sabent que la recta passa pel punt $(2, -1)$ i talla l'eix horitzontal en el punt $(4, 0)$. Escriu l'equació lineal obtinguda.
2. b) A partir de la teva equació, troba una solució $(x, y)$ diferent de les dues anteriors en la qual el valor d'$y$ sigui un nombre enter positiu.
3. c) Justifica quantes solucions té aquesta equació en total i explica per què geomètricament es corresponen amb els punts d'una recta.

En un municipi espanyol s'aplica una bonificació a la taxa d'escombraries per premiar la separació de residus. Segons el programa municipal, cada quilogram d'envasos lleugers reciclats (contenidor groc, $x$) genera un estalvi de $0,30$ €, i cada quilogram de paper i cartó (contenidor blau, $y$) suposa un estalvi de $0,20$ €. Una comunitat de veïns s'ha fixat com a objectiu assolir un estalvi total exacte de $60$ € en un mes.

1. a) Escriu l'equació lineal amb dues incògnites que descriu la relació entre els quilograms reciclats de cada residu i l'estalvi fixat.
2. b) Calcula els dos punts de tall amb els eixos: quan no es recicla gens de cartó ($y = 0$) i quan no es recicla gens d'envasos ($x = 0$). Explica el significat que té cadascun d'aquests dos casos en la vida quotidiana de la comunitat.
3. c) Un portaveu dels veïns afirma que aportant $100\text{ kg}$ d'envasos i $150\text{ kg}$ de cartó aconseguiran exactament la bonificació de $60$ €. Justifica mitjançant càlculs si l'afirmació és园 vertadera o falsa.

En la figura següent es mostren tres rectes corresponents a tres equacions lineals amb dues incògnites de la forma $ax + by = c$.

Relaciona cada recta (A, B i C) amb una de les condicions següents sobre els seus coeficients, justificant matemàticament la teva resposta:

• Condició 1: $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$

• Condició 2: $a > 0$, $b < 0$, $c = 0$

• Condició 3: $a = 0$, $b > 0$, $c > 0$

En una botiga d'electrònica es venen memòries USB a 14 € i targetes SD a 9 €. Un centre educatiu ha gastat exactament 195 € en aquests dispositius. Escriu l'equació lineal corresponent i troba TOTES les possibles combinacions de memòries i targetes que han pogut comprar, sabent que n'han adquirit almenys una de cada tipus.

Demostra raonadament que l'equació lineal $15x + 21y = 43$ no pot tenir cap solució en què $x$ i $y$ siguin tots dos nombres enters. (Pista: fixa't en la divisibilitat dels coeficients).

Dues bombes d'aigua omplen un dipòsit. La primera aboca $x$ litres per minut i la segona $y$ litres per minut. Si obrim la primera durant 12 minuts i la segona durant 18 minuts, el dipòsit rep 420 litres. Si les obrim totes dues simultàniament durant 15 minuts, el dipòsit rep 375 litres. Planteja una equació lineal per a cada situació, simplifica-les i determina si representen equacions equivalents.

La relació entre la temperatura en graus Celsius ($C$) i graus Fahrenheit ($F$) ve donada per una equació lineal amb dues incògnites. Sabent que l'aigua es congela a $0^\circ \text{C}$ (que equival a $32^\circ \text{F}$) i bull a $100^\circ \text{C}$ (que equival a $212^\circ \text{F}$), troba l'equació general que les relaciona. Existeix alguna temperatura en què totes dues escales marquin exactament el mateix valor numèric? Si és així, calcula-la.

Donada l'equació lineal paramètrica $(k-1)x + (k+2)y = 3k$, troba el valor del paràmetre $k$ perquè la recta corresponent sigui paral·lela a l'eix d'ordenades ($Y$). Per a aquest valor de $k$, quina és l'equació resultant i quina particularitat tenen totes les seves solucions?

Un agricultor vol envasar exactament 173 litres d'oli d'oliva utilitzant garrafes de 5 litres i ampolles de 3 litres. Expressa aquesta situació mitjançant una equació lineal amb dues incògnites. Si vol utilitzar el menor nombre total de recipients possible sense que sobri ni falti oli, quants recipients de cada tipus haurà de fer servir?

Considera l'equació lineal $ax + by = c$ amb coeficients enters. Si sabem que el punt $(p, q)$ és una solució entera de l'equació (és a dir, $a \cdot p + b \cdot q = c$), demostra algebraicament que qualsevol punt de la forma $(p + n \cdot b, q - n \cdot a)$, on $n$ és un nombre enter qualsevol, també és una solució de l'equació.

Per representar en una quadrícula l'equació lineal $3x - 5y = 30$ i trobar solucions amb nombres enters, dues alumnes proposen aïllar una incògnita diferent:

• Mètode de la Lucía: aïllar $x$ en funció d'$y$, obtenint $x = \frac{30 + 5y}{3}$.

• Mètode de la Carmen: aïllar $y$ en funció d'$x$, obtenint $y = \frac{3x - 30}{5}$.

1. a) Analitza els denominadors de totes dues expressions i justifica quin dels dos mètodes resulta més senzill i ràpid per generar valors enters sense que apareguin decimals, basant-te en els criteris de divisibilitat del 3 i del 5.
2. b) Utilitzant el mètode que has seleccionat com a més eficient, calcula tres parelles de solucions amb nombres enters (positius, negatius o zero) que no siguin els punts de tall amb els eixos.
3. c) A partir de l'expressió del mètode de la Carmen, raona matemàticament per què cada vegada que la variable $x$ augmenta en $5$ unitats, la variable $y$ ha d'augmentar obligatòriament en $3$ unitats perquè la igualtat es mantingui.

Segons les dades del Ministeri per a la Transició Ecològica sobre emissions en el transport urbà, un turisme de gasolina emet de mitjana $0,12\text{ kg}$ de $\text{CO}_2$ per quilòmetre recorregut, mentre que una furgoneta dièsel de repartiment emet $0,18\text{ kg}$ de $\text{CO}_2$ per quilòmetre. Una empresa de missatgeria local vol fixar un límit diari conjunt d'exactament $36\text{ kg}$ de $\text{CO}_2$ entre els quilòmetres recorreguts pel seu turisme ($x$) i els de la seva furgoneta ($y$).

1. a) Escriu l'equació lineal amb dues incògnites que tradueix aquesta situació ambiental.
2. b) Transforma l'equació anterior en una equació equivalent amb coeficients enters com més reduïts millor. Explica per què totes dues equacions comparteixen exactament les mateixes parelles de solucions.
3. c) Si durant una jornada el turisme ha recorregut $150\text{ km}$, utilitza l'equació equivalent per calcular quants quilòmetres pot recórrer la furgoneta per complir justament la quota d'emissions fixada.
4. d) L'empresa avalua una jornada de treball en què la furgoneta realitza sempre el doble de distància que el turisme ($y = 2x$). Calcula quants quilòmetres hauria de recórrer cada vehicle per esgotar la quota fixada i raona si aquestes distàncies són raonables i viables per a un dia de repartiment urbà de 8 hores.