Exercicis: Perímetre, longitud i àrea de figures planes

Un pentàgon té un perímetre de $45\text{ cm}$. Si es construeix un altre pentàgon semblant amb una raó de semblança $k = 3$, calcula el perímetre del nou pentàgon.

La superfície d'un senyal de trànsit triangular és de $1200\text{ cm}^2$. Si es fabrica una rèplica a escala amb una raó de semblança $k = \frac{1}{4}$, determina l'àrea de la rèplica.

Dos hexàgons irregulars són semblants. El perímetre del primer és $60\text{ cm}$ i el del segon és $15\text{ cm}$. Troba la raó de semblança per passar de l'hexàgon gran al petit.

L'àrea d'un rectangle és $50\text{ cm}^2$ i l'àrea d'un rectangle semblant a ell és $200\text{ cm}^2$. Quina és la raó de semblança dels seus costats?

En un mapa, la distància entre dues ciutats és de $8\text{ cm}$. Si l'escala del mapa és $1:500\,000$, calcula la distància real en quilòmetres.

Una fotografia de $10\text{ cm}$ d'amplada per $15\text{ cm}$ d'altura s'amplia multiplicant les seves dimensions per $2,5$. Calcula l'àrea de la fotografia ampliada.

Dos triangles isosceles són semblants. El costat desigual del primer mesura $8\text{ cm}$ i la seva àrea és $24\text{ cm}^2$. Si el costat desigual del segon mesura $24\text{ cm}$, quina és la seva àrea?

Sabent que la raó entre els perímetres de dos polígons semblants és $\frac{3}{5}$, quina serà la raó entre les seves àrees?

La Lucía treballa en el disseny dels cartells per a la campanya de reciclatge del seu institut a Madrid. Ha creat un cartell inicial en format digital que fa $30\text{ cm}$ d'amplada per $40\text{ cm}$ d'alçària (amb una àrea de $1200\text{ cm}^2$). Per a l'acte central a la sala d'actes, li encarreguen imprimir una lona semblant però el doble d'ample, és a dir, amb un factor d'ampliació $k = 2$ ($60\text{ cm}$ d'amplada per $80\text{ cm}$ d'alçària).

La Lucía sap que la impressió del cartell original costa $4{,}50\text{ €}$ i raona el següent: «Com que les dimensions dels costats es multipliquen per $2$, la superfície serà el doble ($2400\text{ cm}^2$) i, per tant, la lona em costarà el doble: $9\text{ €}$».

1. a) Assenyala l'error de raonament comès per la Lucía i explica amb les teves pròpies paraules per què l'àrea no es duplica quan dupliquem les longituds dels costats d'una figura plana.
2. b) Corregeix els càlculs de la Lucía: determina l'àrea real que tindrà la lona gran i el cost exacte que cobrarà la copisteria si el preu és proporcional als metres quadrats impresos.

Una empresa constructora d'instal·lacions esportives a Sevilla adapta pistes infantils a partir de la normativa tècnica de la Federació Espanyola de Bàsquet (FEB). Una pista reglamentària oficial de bàsquet fa $28\text{ m}$ de llargada per $15\text{ m}$ d'amplada, amb una superfície de joc de $420\text{ m}^2$.

Per al pati d'una escola d'educació infantil dissenyen una minipista semblant a la reglamentària aplicant una raó d'escala $k = 0{,}5$ a totes les seves longituds.

1. a) Sense calcular prèviament les mesures dels nous costats de la pista infantil, utilitza les propietats de la semblança per deduir directament l'àrea que tindrà la minipista escolar.
2. b) Si el cost de pintar i aplicar la resina antilliscant a la pista reglamentària completa ascendeix a $3360\text{ €}$, quant costarà pintar la minipista si s'aplica la mateixa tarifa per metre quadrat?
3. c) Quin percentatge del cost de la pista oficial representa la despesa de la pista infantil? Justifica per què aquest percentatge coincideix exactament amb el valor de $k^2$ expressat en tant per cent.

En el plànol d'un arquitecte, dibuixat a escala $1:150$, la sala d'estar d'una casa ocupa una superfície de $12\text{ cm}^2$. Calcula l'àrea real de la sala d'estar en metres quadrats.

Un artista pinta un esbós en un llenç de $20\text{ cm}$ d'amplada per $30\text{ cm}$ d'altura fent servir $15\text{ ml}$ de pintura blava. Si després reprodueix exactament el mateix dibuix en un mural semblant de $3\text{ m}$ d'altura, quants litres de pintura blava necessitarà?

Es tenen dos rombes semblants. La suma dels seus perímetres és $140\text{ cm}$ i la raó de semblança entre ells és $k = 2,5$. Determina el perímetre de cadascun dels rombes.

Una pizzeria ven una pizza mitjana de $20\text{ cm}$ de diàmetre per $8\text{ €}$. Si el preu és estrictament proporcional a la quantitat de pizza (la seva àrea), quant hauria de costar una pizza familiar de $40\text{ cm}$ de diàmetre elaborada amb la mateixa recepta?

Observa la figura:

La raó entre les àrees de dos octògons regulars és $\frac{16}{9}$. Si l'apotema de l'octògon menor mesura $6\text{ cm}$, calcula la longitud de l'apotema de l'octògon major.

En un parc hi ha un estany circular. En un plànol del parc, l'estany té una àrea de $15\text{ cm}^2$. Si el plànol està a escala $1:2000$, determina l'àrea real de l'estany en hectàrees ($1\text{ ha} = 10\,000\text{ m}^2$).

Un triangle $\triangle ABC$ d'àrea $72\text{ cm}^2$ és tallat per un segment $DE$ paral·lel a la base $BC$, i forma un triangle més petit $\triangle ADE$ a la part superior. Si l'altura del triangle petit és la tercera part de l'altura del triangle original, calcula l'àrea del trapezi $DBCE$.

El club de natació d'una localitat costanera de Cantàbria encarregarà lones tèrmiques protectores semblants per a les seves dues piscines rectangulars descobertes per tal d'evitar la pèrdua de calor durant les nits.

La lona per a la piscina de xipolleig té un perímetre de $30\text{ m}$ i una superfície de $50\text{ m}^2$. La lona per a la piscina d'entrenament és semblant a la petita i el seu contorn exterior té un perímetre de $60\text{ m}$.

1. a) Abans de fer operacions amb fórmules, estima raonadament: en haver-se duplicat el perímetre, l'àrea de la lona gran serà el doble ($100\text{ m}^2$), el triple ($150\text{ m}^2$) o el quàdruple ($200\text{ m}^2$)? Escriu la teva predicció justificada en una frase.
2. b) Comprova la teva estimació mitjançant el càlcul matemàtic: troba la raó de semblança $k$ a partir dels perímetres, calcula l'àrea exacta de la piscina d'entrenament i determina quants metres quadrats totals de lona ha d'adquirir el club per cobrir ambdues piscines.
3. c) Compara el resultat obtingut amb la teva estimació inicial i reflexiona: per què el sentit comú sol fallar en estimar com augmenta la superfície d'una figura quan se'n dupliquen les longituds?

A la Seu Electrònica del Cadastre d'Espanya, un agricultor consulta les dades d'una parcel·la d'olivar tradicional a la comarca de La Loma (Jaén). En la cartografia oficial descarregada a escala $1:2000$, la parcel·la apareix representada com una figura poligonal que tanca una superfície de $18{,}5\text{ cm}^2$ al plànol, amb un perímetre dibuixat de $19\text{ cm}$.

Per poder accedir a una subvenció agrària de la Junta d'Andalusia, la normativa exigeix que l'explotació tingui una superfície real mínima de $0{,}7\text{ hectàrees}$ ($1\text{ ha} = 10\,000\text{ m}^2$).

1. a) Identifica la raó de semblança $k$ que relaciona les mesures de longitud del terreny real amb les del plànol cadastral.
2. b) Dedueix la superfície real de la parcel·la en metres quadrats utilitzant la relació entre àrees de figures semblants (recorda que $1\text{ m}^2 = 10\,000\text{ cm}^2$) i converteix el resultat a hectàrees.
3. c) Justifica si la finca compleix el requisit de superfície per sol·licitar l'ajut autonòmic.
4. d) Si l'agricultor decideix encarregar una tanca metàl·lica per envoltar tot el perímetre de la finca, quants metres de tanca ha de comprar a la ferreteria?

Un terreny agrícola té forma de triangle amb una àrea de $4500\text{ m}^2$. Es divideix en dues parcel·les mitjançant una tanca recta paral·lela a un dels seus costats, de manera que la parcel·la resultant que comparteix un vèrtex amb l'original és un triangle semblant al terreny complet. Si la longitud de la tanca és $\frac{2}{3}$ de la longitud del costat al qual és paral·lela, calcula l'àrea de cadascuna de les dues parcel·les resultants.

Si es duplica l'àrea d'un polígon regular mantenint la seva forma (és a dir, creant-ne un de semblant), en quin percentatge aproximat s'incrementa el seu perímetre?

Dos hexàgons regulars estan disposats de manera concèntrica com es mostra a la figura. L'hexàgon menor té els seus vèrtexs en els punts mitjans dels costats d'un hexàgon intermedi, i aquest al seu torn té els seus vèrtexs en els punts mitjans dels costats de l'hexàgon major. Si l'àrea de l'hexàgon menor és $12\text{ cm}^2$, troba l'àrea de l'hexàgon major.

Un projector de cinema emet una imatge rectangular sobre una pantalla. A una distància $d$, la imatge té una àrea de $2,4\text{ m}^2$. Si allunyem el projector $1,5\text{ m}$ més de la pantalla, l'àrea de la imatge projectada passa a ser de $5,4\text{ m}^2$. Sabent que la raó de semblança de les longituds de la imatge és proporcional a la distància a la pantalla, calcula la distància inicial $d$.

La diferència entre les àrees de dos polígons semblants és de $105\text{ cm}^2$. Si es sap que la raó entre els seus perímetres és $\frac{4}{3}$, determina l'àrea de cadascun dels polígons.

En un triangle rectangle $\triangle ABC$, rectangle en $A$, es traça l'altura $AH$ sobre la hipotenusa $BC$. Això divideix el triangle original en dos triangles semblants $\triangle HBA$ i $\triangle HAC$. Si el catet $AB$ mesura $15\text{ cm}$ i el catet $AC$ mesura $20\text{ cm}$, calcula l'àrea dels dos triangles petits utilitzant la raó de semblança entre ells.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La coberta d'un llibre antic mesura $15\text{ cm} \times 22\text{ cm}$. Es vol fer una edició de butxaca semblant a l'original. Per estalviar costos, l'àrea de la coberta de l'edició de butxaca ha de ser exactament el $60\%$ de l'àrea original. Calcula les dimensions de la coberta de l'edició de butxaca arrodonint a dues xifres decimals.

Un rombe té diagonals que mesuren $16\text{ cm}$ i $12\text{ cm}$. S'inscriu un rectangle dins del rombe de manera que els seus costats siguin paral·lels a les diagonals i els seus vèrtexs se recolzin sobre els costats del rombe. Si el rectangle inscrit és semblant a un altre rectangle de dimensions $4\text{ cm}$ i $3\text{ cm}$, determina l'àrea d'aquest rectangle inscrit.

La figura mostra la construcció descrita:

Un equip d'aparadoristes d'uns grans magatzems a Barcelona dissenya dos panells decoratius poligonals semblants. El pressupost de pintura especial per al panell gran és exactament $5{,}76$ vegades el pressupost del panell petit, ja que el consum de pintura depèn exclusivament de l'àrea de cada figura. A més, per restriccions del muntatge, se sap que el perímetre del panell gran ha de superar en $11{,}2\text{ m}$ el perímetre del panell petit.

1. a) Dedueix la raó de semblança lineal $k$ entre ambdós panells a partir de la dada de l'increment de l'àrea.
2. b) Escriu una equació de primer grau la incògnita de la qual sigui el perímetre $P$ del panell petit i la solució de la qual permeti calcular aquest perímetre perquè es compleixin les condicions del projecte.
3. c) Resol l'equació plantejada i troba el valor del perímetre del panell petit i del panell gran.
4. d) Sabent que el panell petit té forma de romboide, proposa les longituds dels seus costats contigus perquè compleixi el perímetre obtingut i justifica per què la teva proposta és geomètricament viable.

L'àrea d'Urbanisme de l'Ajuntament de Saragossa licitarà les obres per pavimentar una placeta de vianants amb forma de trapezi, semblant a una altra plaça ja existent a la ciutat. La plaça original té una base major de $40\text{ m}$, una base menor de $24\text{ m}$ i una alçària de $15\text{ m}$. El projecte de la nova placeta redueix totes les dimensions amb una escala de raó $k = 0{,}75$.

Per calcular els metres quadrats de paviment que cal encarregar, dos tècnics municipals plantegen procediments diferents:

• Mètode 1 (Escalat de cotes): Multiplicar primer cadascuna de les tres dimensions (bases i alçària) per $0{,}75$ per obtenir les mesures reduïdes de la nova plaça i, després, aplicar la fórmula de l'àrea del trapezi amb aquests nous valors.

• Mètode 2 (Escalat de superfície): Calcular directament l'àrea de la plaça original amb les seves mesures i multiplicar el resultat per la raó d'àrees ($k^2 = 0{,}75^2$).

1. a) Desenvolupa pas a pas ambdós mètodes i comprova si s'arriba exactament a la mateixa superfície en metres quadrats.
2. b) Si el preu de licitació del paviment drenant és de $32\text{ €/m}^2$, calcula el pressupost total de l'obra per a la nova plaça.
3. c) Si l'Ajuntament hagués de pressupostar $15$ places de diferents mides, totes semblants a l'original, quin dels dos mètodes és més àgil i eficient per a la feina del tècnic? Quin mètode triaries si la raó d'escala fos un nombre periòdic com $k = \frac{2}{3}$ per evitar errors d'arrodonyiment? Justifica ambdues respostes.