Exercicis: Successos independents

Es llença una moneda equilibrada i un dau cúbic normal (amb cares numerades de l'1 al 6). Quina és la probabilitat d'obtenir "Creu" a la moneda i un "5" al dau?

Dos successos $A$ i $B$ d'un experiment aleatori compleixen que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ i $P(A \cap B) = 0,2$. Són independents els successos $A$ i $B$? Justifica la teva resposta matemàticament.

En una urna hi ha 3 boles vermelles i 4 boles blaves. S'extreu una bola, se n'anota el color, es retorna a la urna i s'extreu una segona bola. Calcula la probabilitat que la primera bola sigui vermella i la segona sigui blava.

Dos arquers, Ana i Carlos, tiren a una diana. La probabilitat que l'Ana encerti al centre és $0,7$ i la que en Carlos encerti és $0,6$. Si tots dos tiren de manera independent, quina és la probabilitat que tots dos encertin al centre de la diana?

En una ruleta europea hi ha 18 caselles vermelles, 18 negres i 1 verda (el zero). Si es fa girar la ruleta dues vegades consecutives, quina és la probabilitat que la bola caigui en una casella negra en tots dos girs?

Es sap que dos successos $A$ i $B$ són independents. Si la probabilitat que es produeixi $A$ és $P(A) = 0,3$ i la probabilitat que es produeixi $B$ és $P(B) = 0,8$, calcula la probabilitat que es produeixi almenys un dels dos, és a dir, $P(A \cup B)$.

Un estudiant respon completament a l'atzar un breu test de 3 preguntes. Cada pregunta té 4 opcions de resposta i només una és correcta. Quina és la probabilitat que encerti totes les preguntes?

D'una baralla espanyola de 40 cartes s'extreu una carta, se n'anota el valor, es torna a introduir al mall i s'extreu una segona carta. Troba la probabilitat de treure un "Rei" en la primera extracció i una carta del coll de "Copes" en la segona.

En una classe de 4t d'ESO, la Sara i el seu grup fan un experiment amb una urna que conté 4 boles vermelles i 6 boles negres. L'experiment consisteix a treure una bola, anotar-ne el color, retornar-la a l'urna (mostreig amb reemplaçament) i treure una segona bola.

La Sara afirma el següent: «Com que retornem la bola, les dues extraccions són successos independents. La probabilitat de treure vermella a la primera és $\frac{4}{10} = 0,4$ i a la segona també és $0,4$. Per tant, la probabilitat de treure dues boles vermelles és $0,4 + 0,4 = 0,8$, ja que en ser independents només cal sumar les probabilitats».

1. a) Identifica i explica raonadament l'error conceptual de la Sara. Per què sumar probabilitats no té sentit lògic aquí (pensa què passaria si fes 3 extraccions)?
2. b) Corregeix el càlcul aplicant la propietat correcta dels successos independents per obtenir la probabilitat exacta d'extreure dues boles vermelles consecutives.

Segons dades de puntualitat publicades sobre la xarxa de Renfe Cercanías a Madrid, la probabilitat que un tren matinal en una línia determinada arribi puntual a la seva destinació és de $0,92$ ($92\,\%$). S'assumeix que les incidències tècniques i els retards en dies laborables diferents funcionen com a successos independents. Un estudiant de 4t d'ESO agafa aquest tren el dilluns i el dimarts per anar al seu institut.

1. a) Justifica què significa en aquest context de la vida real que la puntualitat del dilluns i la del dimarts siguin successos «independents».
2. b) Modela matemàticament la situació i calcula la probabilitat que el tren sigui puntual tots dos dies.
3. c) Calcula la probabilitat que el tren arribi amb retard almenys un dels dos dies.

En una fàbrica, dues màquines de control de qualitat revisen els productes de manera independent. La màquina 1 detecta un defecte amb una probabilitat de $0,9$, mentre que la màquina 2 ho fa amb una probabilitat de $0,85$. Si un producte defectuós passa per totes dues màquines, quina és la probabilitat que almenys una de les dues detecti el defecte?

En una població, la probabilitat de tenir el genotip per a ulls blaus és $0,25$ i la probabilitat de tenir el genotip per a cabell ros és $0,15$. Assumint que l'herència de tots dos trets és independent, calcula la probabilitat que una persona triada a l'atzar tingui exactament un dels dos trets.

Un jugador de bàsquet té un percentatge d'encert en tirs lliures del $80\%$. Si llença 3 tirs lliures de manera independent, quina és la probabilitat que encistelli exactament dos d'ells?

Un sistema informàtic d'un hospital compta amb 3 servidors independents per evitar caigudes en el servei. La probabilitat que un servidor falli un dia qualsevol és $0,05$. Quina és la probabilitat que el sistema continuï funcionant (és a dir, que almenys un servidor no falli) durant un dia sencer?

Siguin $A$ i $B$ dos successos independents d'un experiment aleatori. Es sap que la probabilitat de la unió és $P(A \cup B) = 0,85$ i que $P(A) = 0,6$. Calcula el valor de la probabilitat del succés $B$, és a dir, $P(B)$.

La probabilitat que plogui un dilluns de tardor és $0,3$. De manera independent, la probabilitat que l'autobús escolar arribi tard aquell mateix dia és $0,2$. Quina és la probabilitat que el pròxim dilluns no plogui i l'autobús arribi tard?

Una joieria té dos sistemes d'alarma independents. Durant un intent de robatori, l'alarma principal sona amb una probabilitat de $0,95$, i l'alarma secundària sona amb una probabilitat de $0,90$. Quina és la probabilitat que durant un robatori soni només una de les dues alarmes?

Una estudiant es presenta a dos exàmens d'idiomes: anglès i francès. La probabilitat d'aprovar anglès és $0,7$. Es sap que la probabilitat d'aprovar tots dos exàmens és $0,56$. Assumint que els resultats de totes dues proves són independents, quina és la probabilitat que suspengui l'examen de francès?

En l'examen teòric per obtenir el permís de conduir de la Dirección General de Tráfico (DGT), moltes preguntes són d'opció múltiple amb 3 respostes possibles ($A$, $B$ i $C$), de les quals només una és correcta. Imagina una persona que no ha estudiat el temari i respon completament a l'atzar a un bloc de 4 preguntes consecutives. La resposta triada en cada pregunta és independent de les altres.

1. a) Estima: Sense fer operacions detallades amb calculadora, creus que la probabilitat d'encertar les 4 preguntes per pur atzar serà superior al $5\,\%$, o creus que quedarà per sota del $2\,\%$? Escriu la teva intuïció inicial i explica breument en què et bases.
2. b) Comprova: Aplica la regla del producte per a successos independents i calcula el valor exacte de la probabilitat d'encertar les 4 preguntes seguides. Expressa el resultat en forma de fracció irreductible, en nombre decimal i en percentatge arrodonit a dues xifres decimals.
3. c) Compara el valor obtingut amb la teva estimació prèvia i valora si és raonable confiar en l'atzar en un examen tipus test.

A partir de les sèries climatològiques històriques de l'Agencia Estatal de Meteorología (AEMET) per al mes de novembre en una localitat del nord peninsular com Santander, la probabilitat que un dia qualsevol es desperti plovent és de $0,45$ ($45\,\%$). Per organitzar una sortida de cap de setmana (dissabte i diumenge), un grup escolta modelitza el temps considerant que el clima del dissabte i el del diumenge es comporten com a successos independents.

1. a) Modela la situació i calcula la probabilitat que el grup escolta pugui dur a terme les seves activitats a l'aire lliure sense pluja cap dels dos dies.
2. b) Calcula la probabilitat que plogui almenys un dels dos dies del cap de setmana.
3. c) Raona críticament: en la meteorologia real, si dissabte entra una borrasca atlàntica sobre la cornisa cantàbrica, és realista assumir que el temps del diumenge és matemàticament independent del dissabte? Explica com influeix això en la fiabilitat del model matemàtic.

Un avió quadrimotor de càrrega té 4 motors que operen de manera completament independent. La probabilitat que un motor falli durant un vol transoceànic és $p = 0,01$. L'avió pot completar el vol de manera segura si almenys 2 dels seus motors funcionen correctament. Quina és la probabilitat que l'avió pateixi un accident a causa d'una fallada múltiple als motors?

Dos successos $A$ i $B$ són independents. Es sap que la probabilitat que en passi almenys un és $P(A \cup B) = 0,76$ i la probabilitat que passin tots dos simultàniament és $P(A \cap B) = 0,24$. Troba els valors exactes de $P(A)$ i $P(B)$, sabent que el succés $A$ és més probable que el succés $B$.

Demostra matemàticament que si dos successos $A$ i $B$ són independents, aleshores els seus successos contraris $\overline{A}$ i $\overline{B}$ també són independents. Utilitza les propietats fonamentals de la probabilitat i la definició formal d'independència.

Dos amics, Santiago i Diana, llencen un dau equilibrat alternativament. El primer que tregui un "6" guanya la partida i el joc s'acaba. Si en Santiago llença primer, calcula la probabilitat exacta que en Santiago guanyi la partida. (Pista: considera els torns com una sèrie geomètrica infinita).

Siguin $A$, $B$ i $C$ tres successos mútuament independents en un experiment de laboratori. Les seves probabilitats d'èxit són $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ i $P(C) = 0,6$. Calcula la probabilitat que es produeixin exactament dos dels tres successos.

Un tirador olímpic amb arc encerta al centre absolut de la diana amb una probabilitat $p = 0,2$ en cada tir. Els tirs són successos independents entre si. Quin és el nombre mínim de fletxes que ha de tirar perquè la probabilitat d'encertar al centre almenys una vegada sigui més gran que $0,99$?

L'urna A conté $x$ boles blanques i $4$ boles negres. L'urna B conté $3$ boles blanques i $y$ boles negres. S'extreu una bola de cada urna de manera independent. Sabent que la probabilitat que totes dues boles siguin blanques és $\frac{1}{8}$ i la probabilitat que totes dues siguin negres és $\frac{5}{12}$, determina el nombre de boles blanques a l'urna A ($x$) i el nombre de boles negres a l'urna B ($y$).

Un circuit electrònic està format per tres components, $A$, $B$ i $C$, que funcionen de manera independent. El component $A$ està connectat en sèrie amb un bloc format per $B$ i $C$ en paral·lel. Les probabilitats que cada component funcioni correctament sense fallar són $P(A) = 0,9$, $P(B) = 0,8$ i $P(C) = 0,7$. Calcula la probabilitat que el corrent elèctric pugui passar d'un extrem a l'altre del circuit.

Una petita empresa de comerç electrònic de València emmagatzema les còpies de seguretat de les seves comandes en tres discs durs externs idèntics i independents. Per desgast i ús continu, la probabilitat que un disc dur falli durant la nit és de $0,05$ (i de $0,95$ que funcioni correctament). Perquè l'empresa pugui operar l'endemà sense perdre informació, n'hi ha prou que funcioni almenys un dels tres discs.

Per calcular la probabilitat que el sistema conservi les dades fora de perill, dos tècnics proposen camins diferents:

• Mètode de la Laura (directe): Calcular i sumar per separat la probabilitat que funcioni exactament un disc (3 casos possibles), exactament dos discs (3 casos possibles) i tots tres discs (1 cas).

• Mètode d'en Carlos (succés contrari): Calcular la probabilitat que fallin tots tres discs alhora i restar aquest valor a 1.

1. a) Compara tots dos mètodes i justifica quin dels dos és preferible en aquest problema i per què.
2. b) Aplica el mètode més eficient per calcular la probabilitat exacta que l'empresa conservi les seves còpies de seguretat aquella nit.
3. c) Si l'empresa creixés i passés a tenir 8 discs durs independents en lloc de 3, quin dels dos mètodes mantindria una dificultat de càlcul similar i quin es tornaria pràcticament inassumible a mà? Justifica la teva resposta.

En una residència de gent gran d'Andalusia, la normativa de seguretat exigeix instal·lar detectors de fum autònoms als passadissos de les habitacions. Els detectors funcionen amb piles de manera totalment independent entre si. Les especificacions tècniques del fabricant indiquen que cada detector individual té una probabilitat d'activació correcta del $0,80$ davant la presència real de fum (és a dir, una probabilitat de fallada del $0,20$).

La direcció del centre exigeix una garantia de seguretat global: la probabilitat que almenys un dels detectors col·locats en un passadís doni l'alarma davant d'un conat d'incendi ha de ser com a mínim del $99\,\%$ ($0,99$).

1. a) Si es col·loquen $n$ detectors independents al passadís, escriu l'expressió algebraica (en funció de $n$) que representa la probabilitat que cap dels detectors funcioni davant del fum.
2. b) Planteja laTarget ineqüació corresponent a la condició de seguretat: $P(\text{almenys un funcioni}) \ge 0,99$.
3. c) Mitjançant comprovació successiva per a $n = 1, 2, 3, \dots$, determina quin és el nombre mínim de detectors independents que s'han de col·locar a cada passadís per complir l'exigència de seguretat i interpreta el resultat.