Exercicis: Operacions amb polinomis

Donats els polinomis $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1$ i $Q(x) = -x^3 + 4x^2 - 5x + 3$, calcula les expressions resultants de les operacions $P(x) + Q(x)$ i $P(x) - Q(x)$.

Efectua la multiplicació del monomi $-4x^2$ pel polinomi $2x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 3x - 5$ i ordena el resultat de major a menor grau.

Calcula el producte dels polinomis següents i redueix els termes semblants: $(2x - 3) \cdot (x^2 + 4x - 1)$.

Desenvolupa la següent expressió aplicant la fórmula de les identitats notables per al quadrat d'una suma: $(3x + 5y)^2$.

Aplica l'identitat notable corresponent per desenvolupar el quadrat d'aquesta diferència: $(\frac{1}{2}x^2 - 4)^2$.

Calcula el resultat de la següent operació utilitzant l'identitat notable de suma per diferència: $(7a + 2b) \cdot (7a - 2b)$.

Suma els polinomis $A(x) = x^2 - 3x + 2$ i $B(x) = 2x^2 + x - 5$. Un cop obtingut el polinomi resultant, calcula el seu valor numèric per a $x = -2$.

En multiplicar el polinomi $A(x) = 5x^4 - 3x + 2$ pel polinomi $B(x) = -2x^3 + x^2$, indica quin serà el grau del polinomi resultant i el valor del seu coeficient principal, sense necessitat de fer tota la multiplicació completa.

L'Elena necessita calcular el material sobrant en un procés de tall i per a fer-ho ha de simplificar l'expressió algebraica $(3x - 2)^2 - (4x^2 - 6x + 7)$. En el seu examen escriu el desenvolupament següent:

• Pas 1: $(3x - 2)^2 = 9x^2 - 4$

• Pas 2: $9x^2 - 4 - 4x^2 - 6x + 7$

• Pas 3: Resultat final $= 5x^2 - 6x + 3$

1. a) Identifica i explica raonadament els dos errors conceptuals que ha comès l'Elena (un en el desenvolupament de la identitat notable i un altre en suprimir el parèntesi precedit pel signe menys).
2. b) Fes el desenvolupament correcte pas a pas fins a obtenir el polinomi reduït.
3. c) Comprova que la teva solució és coherent substituint $x = 0$ tant en l'expressió inicial com en el teu polinomi final.

El servei municipal de lloguer de bicicletes elèctriques d'una ciutat espanyola factura mensualment a cada usuari en funció dels minuts addicionals consumits, representats per la variable $x$.

• La quota base d'abonament respon al polinomi $C(x) = 12 + 0,10x$ euros.

• El suplement d'assegurança i manteniment és $S(x) = 5 + 0,05x$ euros.

• Com a incentiu de mobilitat sostenible, l'ajuntament aplica un descompte directe expressat per $D(x) = 3 + 0,02x$ euros.

1. a) Planteja l'operació amb polinomis que permet calcular el cost final mensual $G(x) = C(x) + S(x) - D(x)$.
2. b) Suprimeix els parèntesis, canvia els signes que corresponguin i redueix els termes semblants per a obtenir l'expressió simplificada de $G(x)$.
3. c) Si una persona ha registrat $x = 100$ minuts addicionals en el mes, calcula quant pagarà en total i interpreta quin significat té a la vida real el terme independent del polinomi que has obtingut.

Un jardí rectangular té unes dimensions que depenen d'un valor $x$. La seva llargada és $3x + 2$ metres i la seva amplada és $x + 5$ metres. Expressa l'àrea total del jardí mitjançant un polinomi en $x$ i calcula quants metres quadrats tindrà si $x = 4$.

Una caixa sense tapa es construeix a partir d'una làmina de cartró rectangular de $30 \text{ cm}$ de llargada per $20 \text{ cm}$ d'amplada. Per fer-ho, es retallen quatre quadrats idèntics de costat $x$ a les cantonades i es doblen les solapes cap amunt. Expressa el volum de la caixa resultant com un polinomi en la variable $x$.

Una fàbrica de components electrònics assumeix uns costos fixos mensuals de $500$ euros. A més, el cost de producció per cada lot de peces és de $40 - 2x$ euros, on $x$ representa el nombre de lots. Si en un mes es produeixen exactament $x^2 + 5x$ lots, expressa el cost total mensual de la fàbrica mitjançant un polinomi en $x$.

Desenvolupa i simplifica al màxim la següent expressió algebraica aplicant les identitats notables corresponents:

$(2x + 3)^2 - (2x - 3)^2 + (x - 1) \cdot (x + 1)$

Ats els polinomis $A(x) = x^3 - 4x^2 + x - 1$ i $B(x) = 2x^3 + x^2 - 5$, determina l'expressió d'un polinomi desconegut $P(x)$ que compleixi la següent igualtat:

$2 \cdot A(x) - P(x) = B(x)$

En efectuar la multiplicació dels polinomis $P(x) = x^2 + kx - 3$ i $Q(x) = 2x^2 - 5x + 1$, s'observa que el coeficient del terme de grau $2$ del polinomi resultant és $-13$. Planteja l'equació corresponent i determina el valor del paràmetre $k$.

En un experiment de física, l'altura en metres d'un projectil $A$ ve donada pel polinomi $H(t) = -5t^2 + 20t + 2$, i la d'un projectil $B$ per $G(t) = -5t^2 + 15t + 10$, on $t$ és el temps transcorregut en segons. Troba el polinomi que expressa la diferència d'altures entre el projectil $A$ i el $B$, i determina en quin instant exacte tots dos projectils es troben a la mateixa altura.

Observa la següent figura que representa un quadrat de costat $a+b$ subdividit en quatre regions rectangulars. Escriu la suma de les àrees de les quatre regions i demostra de forma geomètrica el desenvolupament de l'identitat notable $(a+b)^2$.

Per a simplificar l'expressió $E(x) = (3x + 4)^2 - (3x - 4)^2$, dos companys de classe proposen estratègies diferents:

• La Lucía proposa desenvolupar cada terme per separat fent servir les identitats notables del quadrat d'una suma i del quadrat d'una diferència, i després restar els polinomis resultants.

• En Mateo proposa interpretar tota l'expressió com una diferència de quadrats de la forma $A^2 - B^2 = (A + B) \cdot (A - B)$, prenent $A = 3x + 4$ i $B = 3x - 4$.

1. a) Aplica el mètode de la Lucía escrivint amb claredat els desenvolupaments intermedis i la resta final dels termes.
2. b) Aplica el mètode d'en Mateo substituint $A$ i $B$ a la fórmula de suma per diferència i reduint els factors abans de multiplicar.
3. c) Compara els dos camins: s'obté el mateix resultat? Raona quin dels dos mètodes et sembla més ràpid i en quin consideres que hi ha menys probabilitat de cometre errors amb els signes.

En una explotació agrícola de Castella-la Manxa instal·laran plaques solars sobre la teulada d'una nau per a autoconsum. La zona rectangular destinada als panells té una amplada de $(x + 3)$ metres i una longitud de $(3x + 5)$ metres, on $x$ és una mesura en metres associada a la potència requerida.

1. a) Obtén el polinomi desenvolupat $S(x)$ que representa la superfície total en metres quadrats multiplicant totes dues dimensions.
2. b) Estima mentalment: si per a cobrir el consum de la nau cal fixar $x = 10\text{ m}$, arrodoneix mentalment cada dimensió a la desena més propera i anticipa si la superfície estarà més a prop de $300\text{ m}^2$, $450\text{ m}^2$ o $600\text{ m}^2$. Explica com has fet el teu arrodoniment.
3. c) Calcula el valor numèric exacte de $S(10)$ substituint $x = 10$ en el polinomi desenvolupat a l'apartat a), i valora si la teva estimació prèvia ha estat encertada calculant la diferència entre el valor exacte i l'estimat.

Troba tots els valors possibles per als paràmetres $a$, $b$ i $c$ de manera que la següent igualtat polinòmica es compleixi per a qualsevol nombre real $x$:

$(ax + b)^2 + cx = 9x^2 - 24x + 16$

En una placa metàl·lica rectangular de dimensions $4x + 6$ i $2x + 1$ mil·límetres, es perforen tres forats circulars idèntics de radi $r = x$. Expressa l'àrea de la placa metàl·lica resultant, un cop fets els forats, com un polinomi en $x$ (deixa el nombre $\pi$ indicat en els coeficients que ho requereixin).

Demostra algebraicament que el producte de la suma de dues variables per la seva diferència, multiplicat per la suma dels quadrats d'aquestes mateixes variables, és igual a la diferència de les seves quartes potències. Per fer-ho, desenvolupa i simplifica pas a pas l'expressió: $(x - y) \cdot (x + y) \cdot (x^2 + y^2)$.

Una empresa de programari estima que si ven la seva nova aplicació a un preu de $p(x) = 120 - x$ euros, aconseguirà vendre una quantitat de $q(x) = 500 + 10x$ llicències. Sabent que els ingressos totals es calculen multiplicant el preu per la quantitat venuda, i que els costos fixos i variables de l'empresa ascendeixen a $C(x) = 2000 + 50x$ euros, obtén el polinomi de beneficis $B(x)$ en la seva forma més reduïda.

Considera el polinomi $P(x) = (2x^2 - 3x + 2)^3 \cdot (x^2 - x + 1)^2$. Sabent que la suma de tots els coeficients d'un polinomi (inclòs el terme independent) es pot obtenir avaluant aquest polinomi en $x = 1$, calcula la suma exacta dels coeficients del polinomi resultant que s'obtindria en desenvolupar per complet l'expressió de $P(x)$.

El polinomi $M(x) = x^4 - 2x^3 + ax^2 + bx + c$ és el resultat exacte d'elevar al quadrat el polinomi $N(x) = x^2 - x - 3$. Efectua l'operació $N(x)^2$, agrupa els termes del mateix grau i determina els valors numèrics corresponents als paràmetres $a$, $b$ i $c$.

Un cilindre massís de radi $r = x+1$ i altura $h = 3x$ s'introdueix verticalment dins d'un prisma buit de base quadrada, el costat de la base del qual mesura $L = 2x+2$ i té la mateixa altura $3x$. Expressa mitjançant un polinomi en $x$ el volum de l'espai que queda lliure entre el cilindre i les parets del prisma.

Un mag demana a un espectador que pensi un nombre qualsevol $x$. A continuació, li dóna les instruccions següents: "Suma 3 al teu nombre, eleva el resultat al quadrat, resta-li el quadrat del nombre original, resta-li 9 i finalment divideix tot el que et quedi entre 6". Demostra pas a pas, utilitzant operacions amb polinomis, que el resultat final d'aquest truc sempre és exactament el nombre original $x$ que va pensar l'espectador.

Reconstrueix dos polinomis de primer grau amb coeficients enters, $P(x)$ i $Q(x)$, a partir de les pistes següents sobre les seves operacions:

1. El seu producte és el polinomi de segon grau: $P(x) \cdot Q(x) = 2x^2 + 5x - 3$.

2. La seva suma és el polinomi: $P(x) + Q(x) = 3x + 2$.

3. El coeficient principal (terme en $x$) de $P(x)$ és estrictament més gran que el coeficient principal de $Q(x)$.

1. a) Dedueix quins han de ser necessàriament els coeficients de grau 1 de tots dos polinomis analitzant com es generen el terme $2x^2$ en la multiplicació i el terme $3x$ en la suma.
2. b) Analitza les possibles parelles de nombres enters el producte dels quals sigui $-3$ i comprova quina compleix alhora que la seva suma sigui $+2$ i que el producte creuat generi el terme central $+5x$.
3. c) Escriu les expressions finals de $P(x)$ i $Q(x)$ i calcula la resta $P(x) - Q(x)$ expressant-la en la seva forma reduïda.

Una pime de fleca artesanal a Toledo estudia la viabilitat econòmica del seu obrador. Els costos i ingressos mensuals depenen del nombre de fornades setmanals elaborades, representat per $x$ (amb $x \ge 10$):

• Cost de matèries primeres (farines ecològiques, llavors, llevats): $M(x) = 2x^2 + 30x + 180$ euros.

• Cost energètic i manteniment de forns de llenya i electricitat: $E(x) = x^2 + 20x + 120$ euros.

• Ingressos bruts per vendes a la botiga i repartiment: $I(x) = 4x^2 + 10x - 200$ euros.

1. a) Obtén el polinomi simplificat que representa els costos totals mensuals, $C(x) = M(x) + E(x)$.
2. b) Modela el benefici net mensual mitjançant la resta $B(x) = I(x) - C(x)$, reduint tots els termes semblants.
3. c) Un assessor diu: «Com que el terme independent del benefici és $-500$, com més produeixi la fleca més grans seran les pèrdues perquè aquest terme negatiu sempre resta». Rebat algebraicament l'afirmació de l'assessor: explica quin terme domina quan la producció $x$ és gran, calcula per a quin nombre exacte de fornades setmanals el benefici net és nul ($B(x) = 0$) i raona a partir de quin volum de producció el negoci resulta rentable.