Exercicis: Monomis

Identifica el coeficient, la part literal i el grau del monomi $-\frac{3}{5}x^2y^3z$.

Realitza la suma i resta de monomis semblants següent i simplifica el resultat:

$7a^2b - 3a^2b + \frac{1}{2}a^2b$

Multiplica els monomis següents i expressa el resultat de la forma més simplificada possible:

$(-4x^3y) \cdot (5xy^4)$

Divideix els monomis següents indicant clarament el coeficient i la part literal del resultat:

$\frac{18p^5q^3}{3p^2q}$

Calcula la potència del monomi següent aplicant les propietats de les potències:

$(-2m^3n^4)^5$

Troba el valor numèric del monomi $M(x,y) = 4x^2y^3$ per als valors $x = -2$ i $y = 3$.

Escriu el monomi que representa matemàticament l'enunciat següent: "La meitat del producte del quadrat d'un nombre pel cub d'un altre nombre diferent".

Comprova si els monomis $A = 5x^2y$ i $B = -2yx^2$ són semblants. En cas afirmatiu, calcula la seva suma $A + B$ i la seva diferència $A - B$.

[ERROR D'ALTRI] En Lucas està repassant per a la prova de Matemàtiques i escriu la següent afirmació al seu quadern:

«Els monomis $A = -4x^3y^2$ i $B = 7x^2y^3$ són semblants perquè tots dos estan formats per les lletres $x$ i $y$ i els dos tenen grau $5$. Per això, podem sumar-los directament obtenint $3x^5y^5$».

1. a) Localitza i explica detalladament els dos errors conceptuals que ha comès en Lucas (un sobre la definició de monomis semblants i un altre sobre el procediment per a sumar monomis).
2. b) Escriu un monomi $C$ que sí que sigui semblant a $A$, el coeficient del qual sigui una fracció negativa irreductible, i troba el seu valor numèric per a $x = -1$ i $y = 2$.

[MODELITZA] Segons dades de seguretat viària de la Dirección General de Tráfico (DGT), l'energia cinètica d'un vehicle en moviment es modelitza mitjançant la fórmula física $E_c = \frac{1}{2}m \cdot v^2$, on $m$ representa la massa del vehicle en quilograms ($\text{kg}$) i $v$ la velocitat a la qual circula en metres per segon ($\text{m/s}$).

Un furgó de repartiment de mercaderies a Madrid té una massa fixa de $m = 2400\text{ kg}$.

1. a) Escriu l'expressió de l'energia cinètica del furgó com un monomi en funció de la variable $v$. Identifica clarament el seu coeficient, la seva part literal i el seu grau.
2. b) En un carrer residencial amb límit de $30\text{ km/h}$, el furgó circula a uns $v = 8\text{ m/s}$. Què passaria amb el valor de l'energia cinètica si el conductor doblés la seva velocitat a $16\text{ m/s}$? Raona la teva resposta a partir del grau de la variable $v$, sense necessitat de realitzar tot el càlcul complet de nou.

Una piscina té forma de prisma rectangular amb les dimensions mostrades a la figura. Expressa el volum de la piscina com un monomi. A continuació, calcula la quantitat d'aigua (en litres) que conté quan està totalment plena si $x = 3$ metres. (Recorda que $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ litres}$).

L'energia cinètica d'un objecte en moviment es calcula mitjançant l'expressió $E_c = \frac{1}{2}mv^2$. Si la massa d'una partícula ve donada pel monomi $m = 4t^2$ kg i la seva velocitat és $v = 3t^3$ m/s, expressa la seva energia cinètica com un monomi simplificat en funció del temps $t$.

Una empresa tecnològica determina que el cost de fabricar un component electrònic ve donat pel monomi $C(x) = 1,5x^3$ euros, on $x$ és el nombre de lots produïts. Si els ingressos obtinguts per vendre aquests lots s'expressen mitjançant el monomi $I(x) = 4,2x^3$ euros, escriu el monomi que representa el benefici $B(x)$ i calcula aquest benefici si es produeixen $x = 10$ lots.

Simplifica la següent expressió combinada de monomis, realitzant primer el producte del numerador i després la divisió:

$\frac{(3a^2b^3) \cdot (-4a^4b)}{6a^3b^2}$

Realitza l'operació combinada següent respectant la jerarquia de les operacions i agrupa els termes semblants:

$(2x^2y)^3 - 5x^6y^3 + (-x^2y)^3$

Troba el monomi $M(x)$ que falta perquè la igualtat següent sigui certa, justificant els passos seguits:

$M(x) \cdot (7x^4) = -35x^9$

El grau absolut del monomi $P(x,y) = -8x^{2m}y^{m+1}$ és $13$. Planteja una equació de primer grau, troba el valor del paràmetre $m$ i escriu l'expressió final del monomi.

Un marc de fotos té forma de corona circular. Si el radi exterior és $R = 5x$ i el radi interior és $r = 3x$, expressa l'àrea total del marc com un monomi en funció de $x$. (Deixa el resultat en funció del nombre $\pi$).

[PROBLEMA INVERS] Troba dos monomis, als quals anomenarem $P$ i $Q$, que compleixin alhora totes i cadascuna de les condicions següents:

1. La part literal de tots dos monomis està formada exclusivament per les variables $a$, $b$ i $c$.

2. El monomi $P$ té grau global $7$. En ell, l'exponent de $a$ és el doble que el de $b$, i l'exponent de $c$ és igual a $1$.

3. El coeficient de $P$ és el nombre enter negatiu $-3$.

4. El monomi $Q$ és semblant a $P$, i el seu coeficient és un nombre enter positiu $k$.

5. El valor numèric del monomi suma $(P + Q)$ quan substituïm $a = 1$, $b = -1$ i $c = 2$ és exactament igual a $8$.

Mostra pas a pas el raonament seguit per a deduir els exponents i calcula el valor del coeficient $k$ de $Q$. Justifica a més si seria possible trobar un valor enter per a $k$ si el resultat numèric exigit hagués estat $7$ en lloc de $8$.

[MODELITZA + ESTIMA I COMPROVA] En una comunitat de regants de la vall del Guadalquivir s'instal·la un sistema automatitzat de reg per degoteig per a optimitzar l'aigua en època de sequera. El volum mensual d'aigua consumida $V$ (en metres cúbics, $\text{m}^3$) es modelitza mitjançant el monomi:

on $n$ és el nombre de sectors de reg oberts, $h$ són les hores diàries de funcionament i $d$ és el diàmetre interior de les canonades principals (mesurat en decímetres, $\text{dm}$).

1. a) Quin és el grau total del monomi? Explica quin significat geomètric real té que la variable $d$ aparegui elevada al quadrat en la fórmula.
2. b) Estima abans de calcular: Si la comunitat decideix renovar la instal·lació i substituir les canonades de $d = 1\text{ dm}$ per unes altres de $d = 2\text{ dm}$, mantenint iguals els sectors ($n$) i les hores ($h$), un agricultor afirma que «la despesa d'aigua simplement es duplicarà». Realitza una estimació qualitativa raonada: té raó l'agricultor o l'augment serà més gran? Justifica-ho segons l'estructura del monomi.
3. c) Comprova: Calcula el valor numèric exacte de $V$ en tots dos casos per a una finca amb $n = 5$ sectors i $h = 4$ hores diàries. Determina per quant es multiplica realment el consum d'aigua en duplicar el diàmetre.

S'introdueix una esfera de radi $r = x^2$ dins d'un cilindre de radi de la base $R = x^2$ i altura $h = 2x^2$, de manera que l'esfera hi encaixa perfectament. Expressa el volum de l'espai buit que queda entre el cilindre i l'esfera com un monomi simplificat en funció de $x$ i $\pi$.

Donats els monomis $A = k \cdot x^a y^5$ i $B = 4x^2 y^b$, se sap que el seu producte és el monomi $M = -12x^7 y^8$. Determina els valors numèrics dels paràmetres $k$, $a$ i $b$. Un cop trobats, calcula el valor numèric del monomi que resulta de la divisió $\frac{A}{B}$ per a $x = -1$ i $y = 2$.

La força d'atracció gravitatòria entre dos cossos ve donada per $F = G \frac{m_1 m_2}{d^2}$, on la constant de gravitació universal és $G = 6,67 \cdot 10^{-11}$. Expressa la força $F$ com un monomi en funció de $x$ sabent que $m_1 = 5 \cdot 10^5 x^3$, $m_2 = 2 \cdot 10^4 x^2$ i la distància que els separa és $d = 10^2 x$. Simplifica el coeficient utilitzant notació científica.

Demostra algebraicament que si al quadrat del monomi $3x^n y^m$ se li resta el producte dels monomis $5x^{n+1} y^{m-1}$ i $x^{n-1} y^{m+1}$, el resultat sempre és un monomi semblant a $x^{2n} y^{2m}$. Determina quin és exactament aquest monomi resultant.

Troba un monomi $M(a,b)$ que satisfaci l'equació algebraica següent, detallant el procés de resolució:

$\frac{(M(a,b))^3}{2a^4b} = -32a^5b^8$

Es vol construir un dipòsit obert per dalt amb forma de prisma recte de base quadrada. El costat de la base mesura $3x^2$ metres i l'alçària mesura $\frac{1}{2}x$ metres. Expressa la superfície total de xapa necessària per construir-lo (sense la tapa superior) com un polinomi. A continuació, calcula el valor numèric d'aquesta superfície si se sap que el volum del dipòsit és de $144$ metres cúbics.

El monomi $A = \sqrt{18} x^3 y^4$ es multiplica pel monomi $B = \sqrt{2} x^5 y^2$. Expressa el producte $A \cdot B$ com un monomi simplificat extraient arrels si és possible. A continuació, troba un monomi $C$ tal que en efectuar la divisió $\frac{A \cdot B}{C}$ el resultat sigui exactament $3x^2 y$.

En un estudi de dinàmica de fluids, el cabal $Q$ que travessa una canonada es modela matemàticament com el producte de la secció transversal $S$ i la velocitat del fluid $v$. Si la secció és circular de radi $r = \frac{1}{2}t^2$ i la velocitat augmenta de forma no uniforme segons $v = \frac{8}{\pi}t^3$, obtén el monomi que defineix el cabal $Q$ en funció del temps $t$. Quin és el grau absolut d'aquest monomi resultant?

[TRIA EL MÈTODE] Per a avaluar una expressió algebraica al laboratori, s'ha de calcular el valor numèric de la següent operació amb monomis per a $x = -2$, $y = 3$ i $z = -1$:

Dos estudiants proposen camins diferents per a arribar a la solució:

• Mètode d'Alba: Substituir directament els valors $x = -2$, $y = 3$, $z = -1$ en cadascun dels tres monomis entre parèntesis, calcular el resultat numèric de cada factor i, finalment, multiplicar els tres nombres obtinguts.

• Mètode de Bruno: Multiplicar i simplificar primer els tres monomis aplicant les propietats de les potències per a obtenir un únic monomi reduït (amb el seu signe, coeficient fraccionari i exponents definitius) i, únicament al final, substituir els valors de $x$, $y$, $z$.

1. a) Resol l'exercici seguint el mètode d'Alba i després seguint el mètode de Bruno, mostrant els passos intermedis en tots dos.
2. b) Compara els dos mètodes: quin d'ells minimitza el risc de cometre errors amb els signes negatius i les potències? Justifica la teva resposta indicant quantes potències i canvis de signe has hagut de gestionar en cada camí.
3. c) Si haguessis de programar un full de càlcul per a calcular aquest valor en $100$ mesuraments experimentals diferents de $(x, y, z)$, quin dels dos mètodes triaries com a base de l'algorisme i per què?

[MODELITZA] Una empresa de paqueteria i logística urgent amb seu a Zaragoza classifica les seves tarifes mitjançant models algebraics basats en el volum i el pes. Per a un enviament massiu de caixes cúbiques d'aresta $a$ (en metres), el cost de gestió interna $C$ (en euros) a la cinta classificadora s'ajusta al monomi:

on $N$ representa el nombre total de paquets processats, $a$ és la longitud de l'aresta de cada caixa cúbica (en metres) i $t$ és el temps mitjà de processament per escàner (en segons).

1. a) Interpreta el significat físic del factor $a^3$ dins del context del problema i indica el grau total del monomi respecte al conjunt de les seves variables ($N$, $a$, $t$).
2. b) Per a abaratir els costos d'una campanya, l'equip d'operacions planteja dues opcions alternatives mantenint el temps d'escàner $t$ constant:

• Opció 1: Reduir a la meitat la mida de les caixes, usant arestes de longitud $\frac{a}{2}$, transportant el mateix nombre $N$ de paquets.

• Opció 2: Mantenir la mida original de les caixes ($a$), però reduir el nombre de paquets a una quarta part ($\frac{N}{4}$).

Demostra algebraicament, substituint en la fórmula del monomi, quina de les dues opcions aconsegueix una reducció més gran del cost $C$ i determina per quin factor es divideix el cost en cada cas.

1. c) Un empleat novell proposa sumar directament el cost anterior $C$ amb el cost d'etiquetatge $E(N, a, t) = 1,2 \cdot N \cdot a^2 \cdot t^3$ per a obtenir un únic monomi de cost total. Argumenta matemàticament per què aquesta suma no es pot reduir a un únic monomi i explica quina conseqüència pràctica té això a l'hora de pressupostar el servei.